高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数综合训练题

专题28对数函数的图象和性质（二）

考点1对数函数的定义域和值域

1．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知:，解之得:且.

∵Z，∴的取值范围为.

故选：C.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数有意义等价于，所以定义域为

故选：D．

3．已知函数若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A．(1，2] B．(－∞，2]

C．(0，2] D．[2，＋∞)

【答案】A

【解析】因为当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，且为增函数，

所以当时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1，才能满足f(x)的值域为R，

所以，解得．

故选：A.

4．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】由题意可得，即，解得且.

因此，函数的定义域是.

故答案为：.

5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】由题意知的值域为，故要使的值域为，

则必有为增函数，且，

所以，且，解得.

故答案为：

6．函数的值域是________.

【答案】

【解析】解：由题可知，函数，

则，解得：，

所以函数的定义域为，

设，，

则时，为增函数，时，为减函数，

可知当时，有最大值为，

而，所以，

而对数函数在定义域内为减函数，

由复合函数的单调性可知，

函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，

∴函数的值域为.

故答案为：.

考点2 对数函数的参数求解问题

7．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；

当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；

故，函数单调递增，

若函数在上是减函数，则，据此可得．

故选：A．

8．设，且时，有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵函数，作出的图象如图所示，∵时，有，

∴0＜a＜1，c＞1，即f（a）＝|lga|＝﹣lga，f（c）＝|lgc|＝lgc，∵f（a）＞f（c），

∴﹣lga＞lgc，则lga+lgc＝lgac＜0，则.

故选：D．

9．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由的图象可知，，

所以，得，，

所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.

故选：B.

10．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．3

【答案】CD

【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.

故选：CD.

11．如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_____________．

【答案】b＞a＞1＞d＞c

【解析】解：由对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象可得：

loga2＞logb2＞0＞logc2＞logd2，

即

∴b＞a＞1＞d＞c．

故答案为：b＞a＞1＞d＞c．

12．已知函数.

（1）当时，求；

（2）求解关于的不等式；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.

【解析】（1）当时，

（2）由得：

或

当时，解不等式可得：或

当时，解不等式可得：或

综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为

（3）由得：

或

①当时，，

或，解得：

②当时，，

或，解得：

综上所述：的取值范围为

13．已知函数.

（1）若为奇函数，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求m，n的值.

【答案】（1）（2），

【解析】（1）为奇函数，，即，，解得（舍去）.

（2）由（1）知，则，即或

解得，即其定义域为.

时，为减函数，而在定义域内为增函数，

在其定义域内是减函数.又在上的值域为，，无意义，，.即，.

考点3对数函数的定点问题

14．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．

故选：C．

15．函数的图像恒过一定点______．

【答案】

【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点

故答案为：

16．已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】在函数的解析式中，令，可得，.

所以，函数的图象恒过定点，，，

则，由于函数在上单调递减，可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

17．函数（，且）的图象恒过点，则函数的图象恒过点______．

【答案】

【解析】由题意，得，

，

的图象恒过点．

故答案为

考点4 建立函数模型解决实际问题

18.下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是(　　)

A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系

C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系

D．信件的邮资与其重量间的函数关系

【答案】B

【解析】A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；

B：我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；

C：如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；

D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．

故选B.

19.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的(　　)

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设原来森林蓄积量是a，

则a(1＋10.4%)y＝ax,1.104y＝x，

所以y＝log1.104x，故选D.

20.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；

③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；

其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)

【答案】①②④

【解析】∵其关系为指数函数，

图象过(4,16)点，

∴指数函数的底数为2，故①正确；

当t＝5时，s＝32＞30，故②正确；

4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；

∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

∴有t1＋t2＝t3，故④正确．

综上可知，①②④正确．

故答案为①②④.

21.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．

【答案】因为a′＝a·e－kt，即＝e－kt.

两边取对数，得lg＝－ktlge．①

又知14C的半衰期是5570年，

即当t＝5570时，＝.

故lg＝－5570klge，即klge＝.

代入①式，并整理，得t＝－.

这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．

22.诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把资金总额平均分成6份，奖励在6个领域(物理学、化学、文学、经济学、医学或生理学、和平事业)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%，资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元，设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依此类推)．

(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；

(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．

(参考数据：1.03129≈1.32,1.031210≈1.36)

【答案】(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－

f(1)×6.24%

＝f(1)×(1＋3.12%)，

f(3)＝f(2)(1＋6.4%)－f(2)×6.24%

＝f(1)(1＋3.12%)2，

∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．

(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为

f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26107(万美元)．

2009年诺贝尔奖各项金额为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元．

故该新闻是假的．