人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精练

专题41 三角函数的应用

1.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是(　　)

A．60

B．70

C．80

D．90

【答案】C

【解析】∵T＝＝，∴f＝＝80.

2.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y).若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝sin

D．y＝sin

【答案】C

【解析】由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝＝.

设函数解析式为y＝sin(因为秒针是顺时针走动)，

∵初始位置为P0(，)，

∴t＝0时，y＝，

∴sinφ＝，

∴φ可取，

∴函数解析式为y＝sin.

3.如下图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．该质点的振动周期为0.7s

B．该质点的振幅为5cm

C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大

D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零

【答案】B

【解析】由题中图象可知振幅为5cm，故选B.

4.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝时，电流I为(　　)

A．5A

B．A

C．2A

D．－5A

【答案】B

【解析】把t＝代入关系式得I＝5sin(＋)＝5sinπ＝(A)，故选B.

5.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T等于(　　)

A．24.5天

B．29.5天

C．28.5天

D．24天

【答案】B

【解析】由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球以月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期.

6.如下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将如同(　　)

A．甲

B．丙

C．丁

D．戊

【答案】C

【解析】因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过周期，绳波正好从乙点传到丁点.又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，所以经过周期，乙点位置将移至它关于x轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同.

7.如下图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.

按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，

∴d＝2|sin(t－)|.

当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B.

8.如下图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置.风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为______米；风车翼片的端点离地面距离h(米)与启动时间t(分钟)之间的函数关系式为______.

【答案】14　h＝8sint＋10(t≥0)

【解析】由题意，T＝12，∴ω＝，设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0)，

则

∴A＝8，B＝10，∵当t＝0时，f(t)＝10，∴φ＝0，

∴f(t)＝8sint＋10，当t＝17时，f(17)＝14.

9.如下图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

【答案】(1)如下图所示建立直角坐标系，

设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角.

OP每秒钟内所转过的角为＝，则OP在时间t(s)内所转过的角为t.

由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.

当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.

(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，

令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4s.

10.如下图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

【答案】(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.

所以y＝40.5－40cost(t≥0).

(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.

所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).

11.下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).

以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴.

(1)描出散点图.

(2)用正弦曲线去拟合这些数据.

(3)这个函数的周期是多少？

(4)估计这个正弦曲线的振幅A.

(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

①＝cos；　②＝cos；

③＝cos；　④＝sin.

【答案】(1)(2)如下图所示.

(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.

(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.

(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，

代入①，得＝＞1≠cos，∴①错误；

代入②，得＝＜0≠cos，∴②错误；

同理④错误，∴③最适合这些数据.

12.某港口水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.

经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象.

(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶依靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间？(忽略进出港所需的时间)，

【答案】(1)由已知数据，描出曲线如图.

易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.

(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)，

由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，

∴sint≥.①

∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，②

由①②得≤t≤或≤≤.

化简得1≤t≤5或13≤t≤17.

∴该船在1：00至5：00或13：00到17：00能安全进港，故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时.

13.已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).

(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

【答案】(1)由图知A＝300，设t1＝－，t2＝，

则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，∴ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，即sin＝0，

而|φ|＜，∴φ＝.故所求的解析式为I＝300sin.

(2)依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，

∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.

14.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象.

(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中l在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正常整数ω的最小值是多少？

【答案】(1)由图知，A＝300.

设t0＝－，t1＝，t2＝.

∵T＝t2－t0＝－(－)＝，∴ω＝＝100π.

∴ω·(－)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴I＝300sin(100πt＋).

(2)由题意知T≤，即≤，

∴ω≥200π，∴最小的正整数ω＝629.