2021届北京市朝阳区高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届北京市朝阳区高三数学一模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


北京市朝阳区高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. {3}

2.如果复数 的实部与虚部相等，那么 〔    〕
A. -2                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 4



3.等差数列 的前 项和为 ， ，那么 〔    〕
A. 0                                          B. -1                                          C. -2                                          D. -3



4.圆 截直线 所得弦的长度为 ，那么实数 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



5.双曲线 的离心率为2，那么双曲线C的渐近线方程为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 



6.在 中，假设 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 



7.某三棱锥的三视图如下列图，网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥最长的棱长为〔    〕

A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 



8.在 中，“ 〞是“ 为钝角三角形〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件



9.抛物线 的焦点为F ， 准线为l ， 点P是直线l上的动点．假设点A在抛物线C上，且 ，那么 〔O为坐标原点〕的最小值为〔    〕
A. 8                                       B.                                        C.                                        D. 6



10.在棱长为1的正方体 中， 是线段 上的点，过 的平面 与直线 垂直，当 在线段 上运动时，平面 截正方体 所得的截面面积的最小值是〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 

二、填空题
11.在 的展开式中， 的系数为________．〔用数字作答〕
12.函数 那么 ________； 的值域为________．
13.向量 ，且 ，那么向量 的坐标可以是________．〔写出一个即可〕
14.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 商品获利8元．现方案在“五一〞期间对 商品进行广告促销，假设售出 商品的件数 〔单位：万件〕与广告费用 〔单位：万元〕符合函数模型 ．假设要使这次促销活动获利最多，那么广告费用 应投入________万元．
15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌〞的数学定义，由此开展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 ，令 ，假设存在正整数k使得 ，且当 时， ，那么称 是 的一个周期为k的周期点．给出以下四个结论：
①假设 ，那么 存在唯一一个周期为1的周期点；
②假设 ，那么 存在周期为2的周期点；
③假设 那么 不存在周期为3的周期点；
④假设 ，那么对任意正整数n ， 都不是 的周期为n的周期点．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题
16.函数 由以下四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 ；②最大值为2；③ ；④ ．
〔1〕写出能确定 的三个条件，并求 的解析式；
〔2〕求 的单调递增区间．
17.如图，在四棱锥 中，O是 边的中点， 底面 ．在底面 中， ．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
18.我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A ， B两个地区2021年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：

A地区
B地区
2021年人均年纯收入超过10000元
100户
150户
2021年人均年纯收入未超过10000元
200户
50户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．
〔1〕从A地区2021年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2021年人均年纯收入超适10000元的概率；
〔2〕在样本中，分别从A地区和B地区2021年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2021年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；
〔3〕从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2021年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2021年人均年纯收入超过10000元的户数相比2021年有变化？请说明理由．
C的短轴的两个端点分别为 ，离心率为 ．
〔1〕求椭圆C的方程及焦点的坐标；
〔2〕假设点M为椭圆C上异于A ， B的任意一点，过原点且与直线 平行的直线与直线 交于点P ， 直线 与直线 交于点Q ， 试判断以线段 为直径的圆是否过定点？假设过定点，求出定点的坐标；假设不过定点，请说明理由．
20.函数 ．
〔1〕求 的单调区间；
〔2〕假设直线 与曲线 相切，求证： ．
21.设数列 ，假设存在公比为q的等比数列 ： ，使得 ，其中 ，那么称数列 为数列 的“等比分割数列〞．
〔1〕写出数列 ：3，6，12，24的一个“等比分割数列〞 ；
〔2〕假设数列 的通项公式为 ，其“等比分割数列〞 的首项为1，求数列 的公比q的取值范围；
〔3〕假设数列 的通项公式为 ，且数列 存在“等比分割数列〞，求m的最大值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 ，所以 ．
故答案为：B．

【分析】利用集合交集的定义求解即可。
2.【解析】【解答】 ，所以实部为 ，虚部为 ，所以 ．
故答案为：A．

【分析】 利用复数的除法，以及复数的根本概念，求解即可．
3.【解析】【解答】因为 ，所以 ；
因为 也成等差数列，所以 .
故答案为：A.

【分析】 先由题设求得a5 ， 再利用等差数列的性质求得结果．
4.【解析】【解答】圆 圆心为 半径为
点 到直线 的距离为
那么弦长为 ，得
解得
故答案为：D．

【分析】 求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．
5.【解析】【解答】∵双曲线 的离心率为2
∴ ，即
∵
∴ ，即
∵双曲线 的渐近线方程为
∴双曲线 的渐近线方程为
故答案为：A

【分析】 根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得， 由此求解双曲线的渐近线方程．
6.【解析】【解答】由 可得 ，
由余弦定理可得 ，
，因此， .
故答案为：D.

【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果。
7.【解析】【解答】该三棱锥的直观图如下列图：

依题意得 ，
， ，
那么该三棱锥最长的棱长为
故答案为：C．

【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的个各棱长，从而确定结果．
8.【解析】【解答】 为钝角三角形.
∴在 中，“ 〞是“ 为钝角三角形〞的充要条件.
故答案为：C.

【分析】 为钝角三角形，即可判断出结论．
9.【解析】【解答】如下列图：作点 关于 的对称点 ，连接 ，设点 ，不妨设

由题意知 ，直线l方程为 ，那么 ，得
所以 ，得
由 ，当 三点共线时取等号，
又
所以 的最小值为
故答案为：B

【分析】设点 ，不妨设 ， 由题意知 ，直线l方程为 ，那么 ， 由 ，当 三点共线时取等号，可得的最小值。
10.【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如以下列图所示的空间直角坐标系，
 
那么 、 、 、 、 、 、 、 ，
设点 ，其中 .
①当 时，点 与点 重合， ， ， ，
所以， ， ，那么 ， ，
， 平面 ，此时平面 即为平面 ，
截面面积为 ；
②当 时，同①可知截面面积为 ；
③当 时， ， ，
， ，那么 ，
设平面 交棱 于点 ， ，
，可得 ，不符合题意.
设平面 交棱 于点 ， ，
，可得 ，符合题意，即 ，
同理可知，平面 交棱 于点 ，
，且 与 不重合，故四边形 为平行四边形，
， ， ，
那么 ，
所以，截面面积为 .
综上所述，截面面积的最小值为 .
故答案为：C.

【分析】 画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．
二、填空题
11.【解析】【解答】由题可知： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，那么 ，
所以 的系数为 ，
故答案为：28

【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出。
12.【解析】【解答】解： ；
当 时， ，
当 时， ，
所以 的值域为〔-∞，2〕
故答案为：1；〔-∞，2〕．

【分析】 根据分段函数的表达式直接代入即可求出f〔0〕，利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．
13.【解析】【解答】由题意 且 ，例如 就能满足此条件．
故答案为： 〔答案不唯一〕．

【分析】 利用条件画出图形，判断向量 的坐标的位置，即可写出结果．
14.【解析】【解答】设李明获得的利润为 万元，那么 ，
那么 ，
当且仅当 ，因为 ，即当 时，等号成立.
故答案为：3.

【分析】设李明获得的利润为 万元，求出关于x的表达式，利用根本不等式可求得的最小值及其对应的x的值。
15.【解析】【解答】①设 ，那么 ，显然 是增函数，由 得 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 时， ， 只有唯一解 ，
因此 只有唯一解 ，即 存在唯一一个周期为1的周期点，①正确；
② ， ， ，所以 是 的一个周期为2的周期点，②正确；
③ ，假设 ，那么 ， ， ，所以 存在周期为3的周期点，③错；
④ ，所以 无解，因此对任意正整数n ， 都不是 的周期为n的周期点，④正确．
故答案为：①②④．

【分析】 由周期点的定义，可得直线y=x与y=f〔x〕存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．
三、解答题
16.【解析】【分析】 〔1〕假设函数f〔x〕满足条件④，那么由f〔0〕=Asinφ=-2，推出与A＞0，   矛盾，可得函数f〔x〕不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω=2，由条件②，可得A=2，由条件③，可得 ，结合范围， 可求  ，可得函数解析式；
〔2〕利用正弦函数的单调性即可求解．
 
 
17.【解析】【分析】 〔1〕先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；
〔2〕建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
18.【解析】【分析】〔1〕直接由古典概型概率公式计算；
〔2〕   的可能取值为 ， 分别计算出概率后可得分布列，然后由期望公式计算出期望；
〔3〕根据概率的意义作答。
 
19.【解析】【分析】 〔1〕由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；
〔2〕设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y=3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y=3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕求出函数的导数，根据直线和f〔x〕相切，得到 ， 结合  的单调性证明结论成立即可．
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用 “等比分割数列〞 直接写出满足条件的等比数列即可；
〔2〕根据等比数列的通项公式可得再根据定义可得 ， 再根据“等比分割数列〞的定义可得 ， 由   指数函数的单调性即可求解；
〔3〕首先考虑当 不存在， 设  ， 根据 ，猜测m的值，验证即可求解。