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2021届广东省肇庆市高三数学二模试卷及答案

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这是一份2021届广东省肇庆市高三数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷

一、单项选择题

1.图中阴影局部所对应的集合是〔〕

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数〔为虚数单位〕，那么对应的点的坐标为〔〕

A. B. C. D.

3.函数为奇函数，那么〔〕

A. -1 B. C. D. 1

4.牙雕套球又称“鬼工球〞，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在?格古要论·珍奇·鬼工毬?中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬〞.现有某“鬼工球〞，由外及里是两层外表积分别为和的同心球〔球壁的厚度忽略不计〕，在外球外表上有一点，在内球外表上有一点，连接线段 .假设线段不穿过小球内部，那么线段长度的最大值是〔〕

A. cm B. 9cm C. 3cm D. 2cm

5.二项式的展开式的常数项为60，那么的值为〔〕

A. 2 B. -2 C. ±2 D. ±3

6.曲线在处的切线方程为〔〕

A. B. C. D.

7.角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与以为圆心的单位圆相交于点.假设的横坐标为，那么〔〕

A. B. C. D.

8. ，分别为双曲线：〔，〕的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线存在点，使得，设的面积为 .假设，那么该双曲线的离心率为〔〕

A. B. C. D.

二、多项选择题

9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度〔单位：厘米〕，将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，那么对这100件产品，以下说法中正确的选项是〔〕

A. B. 长度落在区间内的个数为35
C. 长度的众数一定落在区间内 D. 长度的中位数一定落在区间内

10.函数〔〕的局部图象如下列图，那么〔〕

A. B. C. D.

11.两种不同型号的电子元件〔分别记为，〕的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如下列图〔〕

参考数据：假设，那么，

A.
B.
C.
D. 对于任意的正数，有

12.在长方体中，，，是线段上的一动点，那么以下说法正确的选项是〔〕

A. 平面
B. 与平面所成角的正切值的最大值是
C. 的最小值为
D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是

三、填空题

13.写出一个与向量共线的向量：________.

14.设函数，假设，那么 ________.

15.点是抛物线上的一个动点，那么点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为________.

16.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列〞，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵〔如梅花、飞燕草、万寿菊等〕的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，，那么是斐波那契数列中的第________ 项.

四、解答题

17.在中，内角，，的对边分别为，，，且 .

〔1〕求角；

〔2〕假设，，求的面积.

18.数列的前项和为，， .

〔1〕求证：是等差数列；

〔2〕求数列中最接近2021的数.

19.为落实中央“坚持五育并举，全面开展素质教育，强化体育锻炼〞的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 .

〔1〕求比赛结束时恰好打了7局的概率；

〔2〕假设现在是小明6：2的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望.

20.如图，在四边形中，，，， .沿将翻折到的位置，使得 .

〔1〕作出平面与平面的交线，并证明平面；

〔2〕点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.

21.椭圆：〔〕的离心率为，的长轴是圆：的直径.

〔1〕求椭圆的标准方程；

〔2〕过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.

22.函数 .

〔1〕当时，讨论的单调性；

〔2〕设是函数的导函数，讨论函数在上的零点个数.

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】图中阴影局部所对应的集合是两局部集合的并集，

即，

故答案为：C

【分析】根据题意由集合的韦恩图示结合集合交、并、补的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】因为，所以，

所以复数所对应的点的坐标为 .

故答案为：D.

【分析】由复数的运算性质化简整理再由复数的定义以及复数的几何意义即可得出答案。

3.【解析】【解答】解：函数的定义域为且

因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，那么，

所以，

因为，满足为奇函数，

故答案为：D.

【分析】首先求出函数的定义域再由奇函数的定义计算出a的值即可。

4.【解析】【解答】因为外球的外表积为，内球的外表积为，

所以外球的半径为，内球的半径为，

如图，以外球外表上一点、内球外表上有一点以及球心作截面，

因为线段不穿过小球内部，所以当线段与内球相切时线段的长度最大，

那么线段最长为，

故答案为：C.

【分析】根据题意由球的外表积公式求出半径的值，结合题意所以当线段与内球相切时线段的长度最大，结合勾股定理计算出答案。

5.【解析】【解答】，令，所以 .

令，解得，

故答案为：C.

【分析】首先由二项式定理求出二项展开式的通项公式，根据题意令求出r的值，并把其值代入到通项公式计算出结果即可。

6.【解析】【解答】，，，故切线方程为，即 .

故答案为：A.

【分析】根据题意对函数求导再把x=1代入导函数的解析式计算出导函数的值，即为切线的斜率再由点斜式求出直线的方程。

7.【解析】【解答】由三角函数的定义，可知，，那么，、均有两解

故答案为：B.

【分析】根据题意由任意角的三角函数的定义，结合题意代入数值计算出正余弦的值，再结合二倍角的正余弦以及正切公式计算出结果即可。

8.【解析】【解答】由，得 .

设， .

由，得，即 .

又，即，所以，所以，

故答案为：A.

【分析】根据题意由双曲线的定义结合三角形内的几何计算关系由勾股定理整理求出，再由双曲线里a、b、c的关系结合离心率的公式由整体思想求出答案即可。

二、多项选择题

9.【解析】【解答】对于A，由频率和为1，得，解得，

所以A符合题意.

对于B，长度落在区间内的个数为，所以B符合题意.

对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间内，所以C不符合题意.

对于D，有45个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以D符合题意.

故答案为：:ABD.

【分析】根据题意由频率之和为1，即可求出b的值，利用区间[93，94〕的频率乘以总数即可得到长度落在区间[93，94〕的个数，众数不一定落在区间[93，94〕内，根据频率的和即可判断中位数一定落在区间[93，94〕内．

10.【解析】【解答】根据图象，可得，设的最小正周期为

那么，解得，所以 .

将最低点的坐标代入中

得，那么〔〕

解得〔〕，所以 .

令，那么

故答案为：BC.

【分析】首先结合条件求出函数的周期进而求出的值，再由点的坐标代入函数的解析式计算出的值由此得到函数的解析式。

11.【解析】【解答】对于A，，A选项正确；

对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，B选项正确；

对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，C选项错误；

对于D，对于任意的正数，由图像知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确

故答案为：ABD.

【分析】根据题意结合的性质由条件可得正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长，然后逐一分析四个选项得答案．

12.【解析】【解答】对于A，在长方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，那么，

平面，平面，平面，同理可证平面，

，所以，平面平面，

平面，所以，平面，A选项正确；

对于B，平面，所以，与平面所成角为，

，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大，

由勾股定理可得，

由等面积法可得，

所以，的最大值为，B选项错误；

对于C，将沿翻折与在同一平面，如以下列图所示：

在中，为直角，，，

在中，，，

由余弦定理可得，那么为锐角，

可得，

，

由余弦定理可得，此时，

因此，的最小值为，C选项正确；

对于D，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，

由于平面，平面，，

，

所以交线为以为圆心，为半径的四分之一圆周，所以交线长是，D选项正确.

故答案为：ACD.

【分析】利用棱柱的结构特征，通过平面与平面平行，推出直线与平面平行，判断出选项A正确；利用直线与平面所成角由此判断出选项B错误；判断A1P+PC的最小值，判断出选项C正确；通过交线的轨迹，判断出选项D正确，由此得出答案。

三、填空题

13.【解析】【解答】与向量共线的向量为〔写出其中一个即可〕.

取，可得出一个与向量共线的向量为 .

故答案为：〔答案不唯一，满足即可〕.

【分析】由向量共线的坐标公式代入数值计算出的值由此得出结果即可。

14.【解析】【解答】∵ ，

∴ .

当时，即时，，那么，与相矛盾，应舍去.

当，即时，，那么，即，满足时.

故答案为： .

【分析】由分段函数的性质选择适宜的解析式计算出a的值即可。

15.【解析】【解答】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，那么 .

依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，

那么点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和

故答案为： .

【分析】根据题意设点P在抛物线的准线的投影为点M，然后由抛物线的定义可得|PM|=|PF|，再利用三点共线即可求解．

16.【解析】【解答】依题意，得，

故答案为：2022

【分析】根据题意由条件的递推公式整理化简计算出答案即可。

四、解答题

17.【解析】【分析】(1)结合正弦定理整理化简的代数式即可得到，再由余弦定理代入数值计算出cosC的值，结合角的取值范围即可求出角C的值。
(2)由余弦定理整理得到关于a与b的方程组求解出其值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。

18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和公式整理得到数列的通项公式，由此判断出数列为等差数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，结合数列的通项公式由二次函数的性质即可得出数列的单调性，由此代入数值计算出结果即可。

19.【解析】【分析】(1)根据题意由条件结合n次重复独立试验的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由n次重复独立试验的概率公式计算出对应的X的概率值，由此得到X的概率分布列，再把数值代入到期望公式计算出答案即可。

20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由勾股定理计算出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理得出线线垂直，结合线面垂直即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此计算出的值进而得出点是的中点，结合中点的性质把数值代入到体积公式计算出结果即可。