2021届广东省揭阳市高三下学期数学教学质量测试试卷及答案

这是一份2021届广东省揭阳市高三下学期数学教学质量测试试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学教学质量测试试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ，那么 〔    〕
A.                   B.                   C.                   D. 
2.复数 ，那么 的虚部为〔    〕
A. 2                                         B. -2                                         C.                                          D. 
3.某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园〔不分先后顺序〕，请问进入校园的方式共有〔    〕
A. 6种                                     B. 12种                                     C. 24种                                     D. 32种
4.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段 等分为 ， ， ，如图2以 为底向外作等边三角形 ，并去掉线段 .在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段 的长度为1，那么图3曲线的长度为〔    〕

A. 2                                          B.                                           C.                                           D. 3
5.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原那么，总结临床经验，用假设干药物配制组成的药方，以到达取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤〞是由补气名方“四君子汤〞〔由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成〕和补血名方“四物汤〞〔由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成〕两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤〞的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤〞或“四物汤〞的概率是〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
6.在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量 〔单位：毫克〕随时间 〔单位：小时〕的变化情况如下列图.在药物释放的过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 〔 为常数〕.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在〔    〕〔参考数值 〕

A. 42分钟后                           B. 48分钟后                           C. 50分钟后                           D. 60分钟后
7.在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的动点，且满足 ，设 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 48                                         B. 49                                         C. 50                                         D. 51
8.函数 定义域为 ，满足 ，且对任意 均有 成立，那么满足 的 的取值范围是〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
二、多项选择题
9.一组直线为 ，那么以该组直线为渐近线的双曲线有〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
10.等比数列 的公比为 ，且 ，那么以下选项正确的选项是〔    〕
A.                   B.                   C.                   D. 
11.设函数 ， 在 上有且仅有1个极大值点，那么以下四个结论中正确的有〔    〕
A. 在 内有5个零点                               B. 在 有2个极小值点
C. 在 上单调递增                                D. 可以取
12.如图，设正方体 的棱长为2， 为 的中点， 为 上的一个动点，设由点 ， ， 构成的平面为 ，那么〔    〕

A. 平面 截正方体的截面可能是三角形
B. 当点 与点 重合时，平面 截正方体的截面面积为
C. 点 到平面 的距离的最大值为
D. 当 为 的中点时，平面 截正方体的截面为五边形
三、填空题
13.抛物线 的焦点坐标为________．
14.数列 满足： ，那么 的前100项和为________.
15.长为 的圆柱形木材有一局部镶嵌在墙体中，截面如下列图〔阴影为镶嵌在墙体内的局部〕.弦 ，弓形高 ，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为________ .

16. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ，那么 的面积的最大值为________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求 的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，  ▲  ？
18.数列 的前 项和为 ，且满足 .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕记 ，求数列 的前 项和 .
19.太阳能热水器因节能环保而深受广阔消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排〞的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照缺乏
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重缺乏
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为 ，日照缺乏的概率为 ，日照严重缺乏的概率为 .2021年这一年的日均气温的频率分布直方图如下列图，区间分组为 ， ， ， ， ， .

〔1〕求图中 的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
〔2〕用频率估计概率，该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？〔一年以365天计算〕
20.如图1，在梯形 中， ， ， .将 与 分别绕 ， 旋转，使得点 ， 相交于一点，设为点 ，形成图2，且二面角 与二面角 都是45°.

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，且梯形 的面积为 ，求二面角 的余弦值.
21.函数 ， .
〔1〕假设直线 是函数 的切线，求 的值；
〔2〕判断函数 的单调性，并证明.
22.椭圆 的离心率为 ，且经过点 .设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一个动点〔异于椭圆 的左、右端点〕.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过点 作椭圆 的切线 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，求 面积的最大值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】.因为 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求出集合A，再由交集的定义即可求出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，所以 的虚部为-2.
故答案为：B.
【分析】由复数的运算性质整理再由复数的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为学生只能从东门或西门进入校园，
所以3名学生进入校园的方式共 种.
因为教师只可以从南门或北门进入校园，
所以2名教师进入校园的方式共有 种.
所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有 种情况.
故答案为：D
【分析】根据题意由乘法计数原理结合条件计算出结果即可。
4.【解析】【解答】据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列 的前4项，
依题意得 ， ， ， .
所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度 .
故答案为：C.

【分析】结合题意由条件即可得出曲线长度组成的数列的项，再由数列项的性质求出结果即可。
5.【解析】【解答】记取到的四味药刚好组成“四君子汤〞或“四物汤〞为事件 .
依题意得 .
故答案为： A

【分析】根据题意由概率公式代入数据计算出结果即可。
6.【解析】【解答】把点 代入 中， ，解得 .
所以当 时，
因为当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室
所以 ，解得 .
至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合指数函数的解析式代入数据求出a的值由此得到函数的解析式，代入数值计算出t的值即可。
7.【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，

那么 ， ， ， ，
设 ， ，因为 ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为： B.

【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点的坐标，再由向量的线性运算结合根本不等式求出最小值即可。
8.【解析】【解答】因为函数 满足 ，所以函数 关于直线 对称，
因为对任意 均有 成立，所以函数 在 上单调递减.
由对称性可知 在 上单调递增.
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：D.

【分析】根据题意由条件即可得出函数的对称性，再由函数单调性的定义即可得出函数的单调性，结合对称性以及单调性即可得到关于x的不等式求解出x的取值范围即可得到答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A：由 可得 的渐近线方程为 ，即 ，A符合题意；
对于B：由 可得 的渐近线方程为 ，即 ，B符合题意；
对于C： 的渐近线方程为 ，即 ，C不符合题意；
对于D： 的渐近线方程为 ，即 ，D符合题意，
故答案为：ABD.

【分析】由条件结合双曲线的简单性质对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】因为等比数列 的公比为 ，且
所以 ， ， ， ，
因为 ，A符合题意；
因为 ，当 时式子为负数，B不符合题意；
因为 ，C符合题意；
因为 ，存在 使得 ，D不符合题意.
故答案为：AC

【分析】由等比数列的通项公式以及定义整理即可判断出选项A正确B错误，再结合等比数列法人通项公式整理即可判断出选项C正确D错误，由此即可得出答案。
11.【解析】【解答】因为函数 的最小正周期 ，又因为 在 上有且仅有1个极大值点，所以函数 的图象如下列图.

所以 在 内有4个零点， 在 有2个极小值点， 在 上单调递减，由 解得 ， .所以BD符合题意，AC不符合题意.
故答案为：BD.

【分析】首先由条件结合正弦函数的图象即可求出周期，结合周期公式计算出的值，由图所示即可求出零点的个数再结合条件即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出最值以及所对应的角的大小，由此得到答案。
12.【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系，延长 与 轴交于点 ，
连接 与 轴交于点 ，

那么平面 由平面 扩展为平面 .由此模型可知A不符合题意，B，D符合题意.
设点 的坐标为 ，
， ，
那么可知点 到直线 的距离为 ，
那么可得 的面积 .
，设点 到平面 的距离为 ，
利用等体积法 ，即
可得 .那么 ，
由 在 单调递增
所以当 时， 取到最大值为 .
故答案为：BCD

【分析】 根据题意以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于P点，连接PF与y轴交于点M,那么平面α由平面AEF扩展为平面APM,考虑F的位置，可判断AD；当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面为边长为的菱形，计算面积可判断B；由等积法VD-APM=VM-PAD,结合体积公式，计算可判断C，由此即可得出答案。
 
三、填空题
13.【解析】【解答】  焦点坐标为 .
【分析】由抛物线的简单性质即可求出结果。
14.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ， ， ， ， ， ，……可知数列 是以3为周期的周期数列，且 ，
所以


故答案为：1.

【分析】根据题意对n赋值求出数列的项结合周期的定义即可得出， 由此整理化简， 计算出结果即可。
15.【解析】【解答】设截面圆的半径为 ，点 在线段 上，
， ，
根据垂径定理可得 ，解得 ，
所以 ，那么有 ，故可得弧 ，
结合木材长 ，可得答案为 .
故答案为：

【分析】首先根据题意由圆的几何性质计算出边的大小再由垂径定理计算出圆的半径，再由圆心角的个数代入数值计算出结果即可。
16.【解析】【解答】由余弦定理可得 ，
化简得 ，那么 ，
那么 的面积 .
故答案为：

【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出cosA，再由同角三角函数的平方关系计算出sinA的值，并把数值代入到三角形的面积公式，结合根本不等式即可求出最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】根据题意首先 化简〔3c-2b〕cosA=2acosB可得cosA的值，条件①，利用辅助角公式可求得C，再利用正弦定理解题，条件②，可以利用二倍角公式计算sinC的值，再利用正弦定理解题．
条件③，可借助余弦定理构建一元二次方程，利用判别式△＜0判断三角形不存在．
18.【解析】【分析】(1)由数列的前n项和公式以及定义即可得出数列的通项公式由此判断出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式代入数值即可得出答案。
(2)由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，再由错位相减法即可得出答案。
19.【解析】【分析】(1)由条件的图表中的数据结合平均数的公式计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
20.【解析】【分析】(1)根据题意由三角形中的几何关系即可得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由条件结合二面角平面角的定义即可求出二面角的平面角，再由条件即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值 。
21.【解析】【分析】 〔1〕对函数f(x)求导可得f′(x)=ex-ln(x+m〕，设直线l：y=x+1关于函数f(x)的切点为〔n,t〕 结合题意得到m、n的方程组求解出m的值即可。
〔2〕由第〔1〕问可得f′(x)=ex-ln(x+m〕，令g(x)=ex-(x+1),利用导数可知g(x)在〔-∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增，于是有ex≥(x+1)恒成立；再构造函数h(x)=(x+1)-ln(x+2),利用导数可知h(x)在〔-2，-1〕上单调递减，在〔-1，+∞〕上单调递增，于是可得ln(x+2)≤x+1,恒成立，从而知当m≤2时，ln〔x+m〕≤ln(x+2)≤x+1成立，即有f′(x)≥0，函数f(x)为单调递增函数．
22.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的性质结合离心率的公式以及椭圆的 、 、 三者的关系 ，即可求出b与c的关系再把点的坐标代入即可求出椭圆的方程。
(2)根据题意设出直线的方程再联立椭圆的方程，消去y得到关于x的方程结合题意与二次函数的性质即可得到关于m的不等式，得到关于m和k的关系式；再由点斜式设出直线的方程联立两条直线的方程求出交点的坐标，结合圆的性质求出点的坐标并把数值代入三角形的面积公式计算出结果即可。