2021届北京市丰台区高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届北京市丰台区高三理数二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


北京市丰台区高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.在复平面内，复数 对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限

                           C. 第三象限                           D. 第四象限



2.以下函数中，在区间 上单调递增的是〔    〕
A.                             B. 

                            C.                             D. 



3.向量 ，假设 ，那么 〔    〕
A. -4                                         B.                                          C.                                          D. 4



4.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为 ，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



5. 是三个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，以下命题中正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么                                B. 假设 ，那么


C. 假设 ，那么                                 D. 假设 ，那么



6.“ 〞是“直线 与直线 相互垂直〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件

         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件



7.双曲线 的渐近线与圆 相切，那么 〔    〕
A. 3                                         B.                                          C.                                          D. 



8.将函数 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，那么 〔    〕
A.                       B. 

                      C.                       D. 



9.某中学举行“十八而志，青春万岁〞成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，那么语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是〔    〕
A. 15                                                      B. 45                                                      C. 60                                                      D. 75



10.如图，半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆〞，其中 . 和 分别是“果圆〞与x轴，y轴的交点.给出以下三个结论：

① ；②假设 ，那么 ；③假设在“果圆〞y轴右侧局部上存在点P ， 使用 ，那么 .
其中，所有正确结论的序号是〔    〕
A. ①②                                    B. ①③                                    C. ②③                                    D. ①②③



二、填空题
11.函数 的值域为________.
12.能够说明“假设a ， b ， m均为正数，那么 〞是假命题的一组整数a ， b的值依次为________.
13.点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，那么 ________.
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为?周髀算经?一书作序时，介绍了“赵爽弦图〞——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图〞，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 中，假设 ，那么 ________.

15.函数 是定义域为R的奇函数，满足 ，且当 时， ，给出以下四个结论：
① ；
② 是函数 的周期；
③ 函数 在区间 上单调递增；
④ 函数 所有零点之和为 .
其中，正确结论的序号是________.
三、解答题
16.数列 中， ，且满足___________.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕求数列 的前n项和 .
从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.某公司开发了一款 应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组： ，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

满意度的分数


满意度的等级
不满意
满意
〔1〕从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意〞的概率；
〔2〕用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意〞的人数，求X的分布列和数学期望.
18.如图，在多面体 中，四边形 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，点M为棱 上一点，平面 与棱 交于点N ．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求证： ；
〔3〕假设平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
19.函数 .
〔1〕假设 ，求 的最小值；
〔2〕求函数 的单调区间.
C： ，过点 的直线l交椭圆C于点A ， B.
〔1〕当直线l与x轴垂直时，求 ；
〔2〕在x轴上是否存在定点P ， 使 为定值？假设存在，求点P的坐标及 的值；假设不存在，说明理由.
S满足：①任意 ，有 ；②任意 ，有 或 ，那么称数集S具有性质P.
〔1〕判断数集 是否具有性质P ， 并说明理由；
〔2〕假设数集 且 具有性质P.
〔i〕当 时，求证： 是等差数列；
〔ii〕当 不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】
复数 在复平面内对应的点为 ，在第二象限
故答案为：B

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简原式再由复数的几何意义即可得出答案。
2.【解析】【解答】对于A选项：指数函数 ，底数 ，所以函数 在 上单调递减；对于B选项：幂函数 ， ，所以幂函数 在 上单调递减；对于C选项：二次函数 ，对称轴为 ，所以二次函数 在 上单调递减，在 上单调递增；对于D选项：对数函数 ，底数 ，所以对数函数 在 上单调递增.
故答案为：D.

【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：A

【分析】由向量共线的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】解：因为角 的终边与单位圆相交于点 ，所以 ，所以
故答案为：A

【分析】根据题意由任意角的三角函数的定义即可求出， 再由诱导公式即可得出答案。
5.【解析】【解答】A中，假设 ， 可能相交也可能平行，那么错误；
B中， ，根据线面垂直的性质可判断 ，那么正确；
C中，假设 ，a ， b的位置不定，那么错误；
D中，假设 ， 可能相交也可能平行，那么错误．
故答案为：B

【分析】根据题意由直线与平面的位置关系以及平面与平面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】因为直线 与直线 相互垂直，
所以 ，
所以 .
所以 时，直线 与直线 相互垂直，所以“ 〞是“直线 与直线 相互垂直〞的充分条件；
当直线 与直线 相互垂直时， 不一定成立，所以“ 〞是“直线 与直线 相互垂直〞的非必要条件.
所以“ 〞是“直线 与直线 相互垂直〞的充分非必要条件.
故答案为：A

【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可.
7.【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为1，
双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，
所以 ，化简得 ，解得 或 〔舍去〕，
故答案为：C

【分析】 由双曲线方程求得其一条渐近线方程，根据圆的方程求得圆心与半径，由题意可得：圆心到渐近线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，即可求得
a的值.
8.【解析】【解答】将函数 的图象向下平移1个单位长度,可得
再向右平移1个单位长度，可得
所以
故答案为：D

【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得出答案。
9.【解析】【解答】从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有 种选法.
语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有
故答案为：C

【分析】根据题意由排列组合以及乘法计数原理计算出结果即可。
10.【解析】【解答】由题可知 ，
所以 ， ； ， ，
故①正确；
由 得， ，又 ，
得 ， ， ，②正确.
以 为直径的圆 E: ，与“果园〞右侧有异于 公共点的公共点，
由方程组 ，得
显然方程已有一根 ，另一根为 ，那么 ，
， ，
解得 ，故③正确.
故答案为：D

【分析】 ①用放缩不等式法判断；②解方程组，求解判断；③用椭圆的参数方程，解不等式组，求解判断. 由|A1A2|＞|B1B2|可得a，b，c的二次齐次式，把c用a，b代替，得a，b的二次齐次式，可求出答案。
二、填空题
11.【解析】【解答】由题得 ，
所以当 时， ；
当 时， .
所以函数的值域为 .
故答案为：

【分析】首先由两角和的正弦公式整理得到函数的解析式，再由正弦函数的性质即可求出最值即函数的值域。
12.【解析】【解答】假设 是假命题，那么 ，
又 ， ， 都是正数， ，
， ，
故当 时， 是假命题，
故答案为：1，1〔答案不唯一〕．

【分析】根据题意由假命题的定义结合不等式的性质即可得出， 再由特殊值法即可得出答案。
13.【解析】【解答】设抛物线 的焦点为 ，那么 ，
根据抛物线的焦半径公式可知： ，
所以 ，代入抛物线方程得到： ，
故 .
故答案为： .

【分析】首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义代入数值计算出答案即可。
14.【解析】【解答】由题意 为等边三角形，那么 ,所以
根据条件 与 全等，所以
在 中，
 
 
所以
故答案为：

【分析】根据题意由三角形的几何性质整理得出边的大小再由余弦定理计算出结果即可。
15.【解析】【解答】对于①：由 可得 ，故①正确；
对于② ：由 可得 关于直线 对称，
因为 是定义域为R的奇函数，所以
所以 ，
所以函数 的周期为 ，故② 不正确；
对于③ ：当 时， 单调递增，且 ，
在 单调递减，且 ，
所以 在 单调递增，因为 是奇函数，
所以函数 在区间 上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由 可得 关于直线 对称，作出示意图
函数 所有零点之和即为函数 与 两个函数图象交点的横坐标之和，当 时，两图象交点关于 对称，此时两根之和等于 ，当 时两图象交点关于 对称，此时两根之和等于 ，当 时两图象交点关于 对称，此时两根之和等于 时两图象无交点 ，
所以函数 所有零点之和为 .故④ 正确；
故答案为：① ③ ④

【分析】 ①根据计算出由此判断出正确； ②用反证法判断；③用导数判断；④用周期函数性质判断. 由此得出答案。
三、解答题
16.【解析】【分析】(1)根据题意假设选①，由的数列的递推公式整理即可得出数列为等比数列由此得出是的通项公式； 假设选②由的数列的电影公司整理得出数列为等差数列，由此得出数列的通项公式； 假设选③，代入数值计算出结果即可。
(2) 假设选①， 由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等比数列的qiann项和公式计算出结果即可； 假设选② 由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等差数列以及等比数列的前n项和公式计算出结果即可； 假设选③，由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等差数列以及等比数列的前n项和公式计算出结果即可。
17.【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图，求出样本的频率，即可得到结果。
(2)X的所有可能取值,再由n次独立重复试验的概率公式求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.
 
 
18.【解析】【分析】(1)根据题意由条件即可得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证出结论即可。
(2)首先由线线平行即可得出 是平行四边，进而得出在意线面平行的判定定理即可得证出结论。
(3)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，由此解条件即可求出从而求出答案。
 
 
19.【解析】【分析】 (1)首先求出f(x)的导数，结合导函数的性质即可求出f(x)的极值点，可得随
x的变化，由此得出f(x)的变化情况，从而可求得f(x)的最小值。
(2)对f(x)求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调区间.
 
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意分情况讨论： 当直线l斜率不存在时，其方程为.联立直线与椭圆方程，求出AB坐标，然后由两点间的距离公式求解距离即可.
 
(2)根据题意分情况讨论： 当直线l与x轴不重合时 首先设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到数量积的坐标公式整理结合二次函数的性质整理求出t的值，由此得出 的值为定值 与 无关 ； 当直线l与x轴重合时 求出t的值再由数量积的坐标公式计算出结果由此判断出存在点 ，使得 为定值.
21.【解析】【分析】(1)由条件结合集合A中元素的性质即可得出结论。
(2) 〔i〕由条件即可得出数列 是单增数列，对n赋值结合单调性即可得出整理得到
同理即可得出从而得证出结论， 当 时，数列 是等差数列.
〔ii〕当 时，均可由〔i〕中方法证得数列 是等差数列，因为等差数列最少为3项，故数列 不是等差数列，n最大为2，从而得出答案。