2021届贵州省贵阳市高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届贵州省贵阳市高三理数二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A. {2}                                   B.                                    C.                                    D. 
2.在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为 〔i为虚数单位〕，那么点D对应的复数为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.在空间中，以下命题是真命题的是〔    〕
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一平面的两直线相互平行
C. 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D. 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
4.双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 的等边三角形〔 为原点〕，那么双曲线的方程为〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
5.对于函数 ，局部x与y的对应关系如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…
3
7
5
9
6
1
8
2
4
…
数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图象上，那么 〔    〕
A. 7576                                   B. 7575                                   C. 7569                                   D. 7564
6.如图，圆 ： 内的正弦曲线 与 轴围成的区域记为 〔图中阴影局部〕，随机往圆 内投一个点 ，那么点 落在区域 内的概率是〔   〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
7.设函数 是定义在R上的奇函数，且 ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
8.假设向量 、 满足 ， ，那么 在 方向上的投影为〔    〕
A. 1                                         B. -1                                         C.                                          D. 
9.如下列图，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为 ，那么 〔    〕

A. 40                                         B. 50                                         C. 34                                         D. 32
10.在 中， ，那么 的面积是〔    〕
A.                                      B. 40                                     C.                                      D. 20
11.圆 的方程 ， 是椭圆 上一点，过 作圆的两条切线，切点为 ， ，那么 的取值范围为〔   〕
A.                       B.                       C.                       D. 
12.函数 ，假设 且 ，那么 的最大值为〔   〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 1
二、填空题
13.点 为锐角 的终边与单位圆的交点， 逆时针旋转 得 ，点 的横坐标为________.
14.假设实数 满足 ，那么对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是________．
15.函数 ， 为奇函数，那么下述四个结论：
① ；
②假设 在 上存在零点，那么 的最小值为 ；
③ 在 上单调递增；
④ 在 有且仅有一个极大值点．
其中正确的选项是________．
16.四棱锥 各顶点都在球心为 的球面上，且 平面 ，底面 为矩形， ， ，那么球 的体积是________；设 、 分别是 、 中点，那么平面 被球 所截得的截面面积为________.
三、解答题
17.数列 中， ，且满足 ．
〔1〕证明：数列 是等差数列，并求 的通项公式
〔2〕求数列 的前n项和．
18.如下列图，在四棱锥 中， ，底面 是边长为2的菱形， ，点 分别为棱 的中点.

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设 ，求点C到平面 的距离.
19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如以下列图资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据检验.
附： .
〔1〕求选取的2组数据恰好相邻的概率；
〔2〕假设选取的是1月与6月的两组数据，请根据 月份的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
〔3〕假设线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据误差的绝对值都不超过2，那么认为得到的线性回归方程是理想的.试问该小组由〔2〕中得到的线性回归方程是否理想？
20.定点 ，曲线l上的任一点M都有 ．
〔1〕求曲线l的方程；
〔2〕点 ，动直线 与曲线L交于 ，与y轴交于点N，设直线 的斜率分别为 ．假设 ，证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
21.函数 ．
〔1〕求 的单调区间和最值；
〔2〕证明：对大于1的任意自然数n，都有 ．
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t为参数， 为直线的倾斜角).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
〔1〕写出曲线C的直角坐标方程；
〔2〕点 ，直线 与曲线C交于 两点，求证： .
23. 是正实数.
〔1〕证明： ；
〔2〕假设 ，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由x-1≥0得 ，所以 ，
由 得 ，又 ，所以 或 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B

【分析】首先由对数函数的单调性求出x的取值范围，再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为A，B，C对应的复数分别为 ，
故可得 ，设点 坐标为 ，
因为四边形 为平行四边形，
故可得 ，
解得 ，故可得 点坐标为 .
故D点对应的复数为 .
故答案为：D.

【分析】首先由复数代数形式的几何意义求出点的坐标，再由向量的坐标公式结合向量相等的定义求出点D的坐标即可。
3.【解析】【解答】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，A不符合题意；
平行于同一平面的两直线可能相交，B不符合题意；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，C不符合题意；
如果两个相交平面 垂直于同一个平面 ，且 ，那么在平面 、 内分别存在直线 垂直于平面 ，由线面垂直的性质可知 ，再由线面平行的判定定理得 ，由线面平行的性质得出 ，那么 ，D符合题意；
故答案为：D

【分析】 由平面的根本性质判定A；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由等角定理判定C；直接证明D正确．
4.【解析】【解答】设点 在直线 上，由于 是边长为 的等边三角形，那么 且 ，
所以， ，解得 ，
因此，该双曲线的方程为 .
故答案为：D.

【分析】首先由三角形的性质结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系，即可求出a与b的值由此得到椭圆的方程。
5.【解析】【解答】 ， ， ， ， ， ，
数列 满足 ，
那么 .
故答案为：A.

【分析】 由题意易得数列是周期为 4的函数，结合周期的定义计算出即可。
6.【解析】【解答】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为
正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，
根据图形的对称性得：面积为S= =-2cosx|0π=4，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，那么点A落在区域M内的概率P= ，
故答案为：A.

【分析】 先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S= =-2cosx|0π=4，代入几何概率的计算公式可求。
7.【解析】【解答】 是奇函数， ，即 ，
即 ， ， ，
.
故答案为：C.

【分析】根据题意由奇函数的定义求出函数f(x)的解析式，再由条件代入数值计算出结果即可。
8.【解析】【解答】由条件可得 ， ，
因此， 在 方向上的投影为 .
故答案为：D.

【分析】首先由数量积的运算公式结合题意再由投影的公式代入数值计算出答案即可。
9.【解析】【解答】∵二项式展开式第 项的系数为 ，
∴第 行的第14个和第15个的二项式系数分别为 与 ，
∴ ，整理得 ，解得 ，
故答案为：C.

【分析】根据题意由二项式系数的性质，结合组合数的计算公式即可求出m的值。
10.【解析】【解答】解：AC=8，BC=10，AC∠ABC，
如图，做∠BAD=∠ABC，D在BC上，那么∠CAD=∠BAC-∠ABC，
设AD=x，那么BD=x，DC=10-x，
由32cos(A-B)=31得cos(A-B)=， 所以，
在△ADC中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2×AO×AC×cos∠CAO，
即(10-x)2=x2+64-2×8x×， 解得x=8，
所以DC=2,
在△ADC中，， ，
所以△ABC的面积为
故答案为：A
【分析】由余弦定理、正弦定理求得边AD,BD,DC，再结合三角形面积公式求解即可.
11.【解析】【解答】设 ，设
,
设 ，由又
的取值范围为 ,

故答案为：C.

【分析】 利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出，再利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用根本不等式求出最值．
12.【解析】【解答】当 时， ，
求导 ，令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
如以下列图所示：

设点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交函数 于另一点 ，设点 的横坐标为 ，并过点 作直线 的平行线 ，设点 到直线 的距离为 ， ，
由图形可知，当直线 与曲线 相切时， 取最大值，
令 ，得 ，切点坐标为 ，
此时， ， ，
故答案为：B.

【分析】 根据题意由所求表达式的最值，转化为函数的图象的最值，转化函数的导数求解切线方程，平行线的距离．
二、填空题
13.【解析】【解答】设以射线 为终边的角为 ，那么 ，
设以射线 为终边的角为 ，那么 ，
故 ，
故 的横坐标为 .
故答案为： .

【分析】首先由任意角的定义代入数值计算出， 再由条件得出设以射线 为终边的角为 ，那么 ，结合两角和的余弦公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】由题意知， 方程 与 表示两条互相垂直的直线，且交点为 ，又 表示以 为圆心，1为半径的圆及其内部.
如图， 表示圆心角为 ，半径为1的扇形及其内部局部，即可行域面积为 个圆面积，那么面积为 .

故答案为： .

【分析】首先根据题意作出约束条件的可行域，再求解出可行域的面积即可。
15.【解析】【解答】① ，那么 ，
那么 ，
为奇函数，那么 ， ，
， ， ，①错误；
②由令可得  ，
假设 在 上存在零点，那么 的最小值为 ，②正确；
③，当 时， ，此时函数 单调递增，③正确；
④对于函数 ，由 ，可得 ，
所以，函数 在 内无极大值点，④错误.
故答案为：②③.

【分析】根据题意首先条件对函数求导由此得出函数的解析式，再由奇函数的定义、零点的定义、余弦函数的的大小以及导数和极值的关系对选项逐一判断即可得出答案。
16.【解析】【解答】由题设知球心 为 中点，

,
那么 ，
∴球 直径 ，
∴ ，
设球心 到平面 得距离为 ，截面圆半径为 ，
由题设球心 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
由等体积法得，
，
，
求得 ，
∴ ，
故截面面积为 .
故答案为： ， .
【分析】利用题意知 ，利用球的体积公式可得结果；设球心 到平面 得距离为 ，截面圆半径为 ，由等体积法即可得 ，利用勾股定理即可得到 ，即可得出结果.
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)首先由的数列的递推公式整理得到从而得出数列 是以2首项1为公差的等差数列，由数列的通项公式即可得出答案。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由错位相减法整理即可得出答案。
18.【解析】【分析】(1)首先根据题意作出辅助线再由中点的性质得出线线平行，由此得出 所以四边形 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意作出辅助线，由菱形以及线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形的计算关系得出 为正三角形，由高线的性质得出线线垂直，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得出  为点 到平面 的距离，由三角形中的几何计算关系计算出结果即可。
19.【解析】【分析】(1)由条件可知满足古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有15种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．
(2)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数， 把和x，y的平均数，代入求的公式，求出的值，写出线性回归方程．
(3)根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
20.【解析】【分析】(1)由向量的数量积，向量的求模公式，结合题意直接求轨迹方程即可
(2)此题考查圆锥曲线中的定点问题，联立直线l与曲线L的方程组，根据根与系数的关系，结合直线的斜率公式求解即可.
21.【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的的大小即可求出最值。
(2)根据题意即可得出 对任意 且 时恒成立时，即由特殊值法取 ， 整理得到即由此得证出结论成立。
22.【解析】【分析】(1)由极坐标方程与普通方程互化的公式整理即可得出答案。
(2)首先设出点的坐标，再由条件整理得到， 利用韦达定理结合弦长公式即可得出， 再由正弦函数的性质即可得证出结论。
23.【解析】【分析】(1)根据题意由根本不等式即可得证出结论。
(2)首先整理原式再由根本不等式即可得证出结论。