2021届安徽省皖江名校高三文数5月最后一卷及答案

这是一份2021届安徽省皖江名校高三文数5月最后一卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三文数5月最后一卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
2.复数z满足 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
2021开始智慧课堂建设逐渐在全国各地中小学中推广，智慧课堂教学系统中，对学生的个性化教育分析全面及时，某市利用智慧课堂，对某次联考的两个学校的语文、数学，历史、地理和化学五科的平均成绩进行分析比较，得到如下的雷达图，以下说法正确的选项是〔    〕

A. A校各科的成绩较为均衡，各科的平均成绩相当
B. A校和B校在地理科上的成绩差距比在数学科目上的成绩差距大
C. A校和B校的历史成绩差距较大
D. A校语文、数学、地理，历史，化学这五门课的成绩都比B校差
4.函数 的大致图象为〔   〕
A.                              B. 
C.                                D. 
5.?九章算术?是中国古代的数学专著，在卷五?商功?重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答曰：四千三百七十尺.意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺.假设此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟外表铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，那么需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)〔    〕
A. 4375                    B.                     C.                     D. 
6.偶函数 满足 ，且在 时， ，那么 〔    〕
A.                               B. 1                              C.                               D. 
7.在 中， ， ， ，那么 〔    〕
A.                                            B. 1                                           C. 2                                           D. 3
8. ， 为锐角， ， ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
9. ， 是双曲线 上两点，直线 垂直于双曲线的实轴，原点 到直线 的距离为 ，且 ，那么双曲线的离心率为〔    〕
A.                       B.                       C. 或                       D. 或
10.函数 ，且函数 的最小正周期为 ，那么以下关于函数 的说法，
① ；
②点 是 的一个对称中心；
③直线 是函数 的一条对称轴；
④函数 的单调递增区间是 .
其中正确的〔    〕
A. ①②④                                B. ①②③                                C. ②③④                                D. ①③④
11.四边形ABCD是圆内接四边形， ，那么ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
12.函数 ，方程 有两解，那么 的取值范围是〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
二、填空题
13.抛物线 上一点 到点 的距离等于3，那么 ________．
14. ，那么曲线 在点 处的切线方程为________.
15.从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，我们称之为玄学，它充满了神秘色彩，我们常说“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦〞.以以下列图是伏羲先天八卦生成图.八卦是由 组合而成，八卦中的阳爻和阴爻这与计算机数制“二进制〞中的1和0分别对应，例如在二进制下“110001〞表示的“十进制〞数为 ，在八卦中益卦 代表的二进制数为“110001〞表示十进制数49，据此，恒卦 表示的十进制数字为________.
16.在三棱锥 中，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ， ， 与底面 所成的角的余弦值为 ，那么三棱锥 的外接球的外表积为________.
三、解答题
17.数列 中， ．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 假设数列 的前n项的和是 ，求证： ．
18.正方形 的边长为2，点 分别是 ， 的中点，沿 把 折起得到几何体 .

〔1〕当 时，求证： .
〔2〕当平面 平面 时，求三棱锥 的体积.
19.2021年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束.从11月1日开始进入普查的正式登记阶段.普查员要进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取10%的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息.整个登记工作持续到12月10日结束.某社区对随机抽取的10%住户普查长表信息情况汇总，发现其中30%的住户是租房入住，现对租房户按照住户家庭年人均收入情况绘制出如下的频率分布直方图(假设该社区内住户家庭年房租支出均在2到8万之间)：

〔1〕求出 的值
〔2〕假设抽取的10%住户中，家庭人均年收入在 万元的恰好有12户，那么该社区共有住户约多少户.
〔3〕假设从家庭年房租支出不到6万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取2户对其住房和医疗保健情况进行调查，求抽得的2户家庭年房租支出少于5万元不少于3万元的概率.
20.椭圆 的离心率为 ，右顶点 ，直线 与椭圆C相交于P，Q两点
〔1〕求椭圆C的方程．
〔2〕如果 ，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．
21. .
〔1〕当 时，求证：不等式 在 上恒成立；
〔2〕假设 ，是否存在实数 ，得 在 的最小值是3，假设存在，求 的值，假设不存在，请说明理由.
22.在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 〔 为参数〕.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
〔1〕求直线 的普通方程以及圆 的直角坐标方程；
〔2〕假设点 在直线 上，过点 作圆 的切线 ，求 的最小值.
23.函数 .
〔1〕假设 ，求不等式 的解集；
〔2〕假设不等式 的解集包含 ，求实数m的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ，
因此， 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合偶次根式函数的定义域和分式函数求定义域的方法，从而结合交集的运算法那么，从而求出集合M，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合N，再利用交集的运算法那么，从而求出集合M和集合N的交集。
2.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ， ， A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意。
故答案为：C

【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的加减法运算法那么结合复数求模公式，进而找出结论正确的选项。
3.【解析】【解答】由雷达图中的实线显示知，A校在本次模拟考试中，语文成绩超过90分，较好，地理成绩低于80分，接近70分，较低，所以各科成绩不均衡，A不符合题意；
由雷达图中的实线和虚线显示知，A校和B校相比较，地理成绩差距最大，比数学科目差距大，历史成绩相同，语文成绩A校比B校的好，数学、地理、化学科B校的成绩比A校好， B符合题意，CD不符合题意.
故答案为：B．

【分析】利用条件结合平均数公式和方差公式，再利用统计的方法，从而找出说法正确的选项。
4.【解析】【解答】由 ，得 ，解得 ， .故函数 的图象与 轴的两个交点坐标为 ， ，排除B、D．又 ，排除A，
故答案为：C．

【分析】求出函数的零点，结合f〔0〕的取值逐一排除即可.
5.【解析】【解答】依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱，

底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺，
因为该沟两边坡面破角相等，所以坡面宽为 ，
所以此沟外表为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺， 尺， 尺，所以面积共计为 平方尺。
故答案为：D

【分析】依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱，底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺，因为该沟两边坡面破角相等，再利用勾股定理求出坡面宽，所以此沟外表为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺， 尺， 尺，再利用矩形的面积公式结合求和法，从而求出需要水泥的面积。
6.【解析】【解答】因为函数是偶函数， ，
所以 = f(x)，
所以函数的周期为1，
所以 。
故答案为：A.

【分析】因为函数是偶函数且 ，再利用偶函数的定义，所以 = f(x)，再利用函数的周期性，从而求出函数的周期，再利用函数的周期性，从而求出函数值。
7.【解析】【解答】因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 。
故答案为：C

【分析】因为 ，因为 ，所以 ，即 ，再利用条件 ， 从而求出的值。
8.【解析】【解答】因为 ， 为锐角，所以 .所以 ， ，
又因为 ，
那么 。
故答案为：C.

【分析】因为 ， 为锐角， ，再结合同角三角函数根本关系式，所以 ， ，再利用二倍角的正切公式，从而求出的值，再利用两角差的正切公式，从而求出的值。
9.【解析】【解答】由点 到直线 的距离为 ，又直线 垂直于双曲线的实轴，可知 ，因为 ，所以根据等腰直角三角形及双曲线的对称性可知 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，同时除以 得 ，解得 ，因为 ，所以 。
故答案为：A.

【分析】利用几何法结合条件，得出点 到直线 的距离为 ，又因为直线AB垂直于双曲线的实轴，可知 ，因为 ，所以根据等腰直角三角形及双曲线的对称性可知 ，即 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以 ，再利用双曲线的离心率公式变形，从而结合双曲线的离心率取值范围，进而求出双曲线的离心率。
10.【解析】【解答】因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以①正确；
函数 没有对称中心，且对称轴方程为 ，所以当 时，对称轴方程为 ，故②不正确，③正确；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间是 ，故④正确.
故答案为：D.

【分析】利用条件结合三角型函数的最小正周期公式，从而求出的值；利用条件结合正弦型函数的图像结合折叠的方法，从而求出函数 的对称中心和对称轴；再利用正弦型函数的图像结合折叠的方法，从而判断出函数的单调性，进而求出函数 的单调递增区间，从而找出正确说法的选项。
11.【解析】【解答】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2 ， 那么 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图，

那么 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝〞，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积
。
故答案为：A

【分析】在△ABD中结合勾股定理，那么 ， ，而四边形ABCD是圆内接四边形，那么 ，再利用诱导公式得出 的值，再利用同角三角函数根本关系式，从而得出 ，在 中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取“＝〞，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，再利用三角形面积公式结合求和法，从而求出四边形ABCD的面积。
12.【解析】【解答】因为 ，所以 且 ，
当 时， 在 时单调递增，所以 ；
又 在 时单调递增，且 ，
因为方程 有两解，所以 ，所以 ；
当 时， 在 时单调递减， ；
又 在 时单调递增， ，
因为方程 要有两解，所以 ，此时不成立，
综上可得 。
故答案为：B.

【分析】因为 结合分类讨论的方法，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，从而判断出分段函数的单调性，进而求出函数的最大值，再利用函数的单调性结合 方程 有两解， 从而求出实数a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】由抛物线的定义可得 ，从而可得答案.
【分析】由抛物线的定义即可得出答案。
14.【解析】【解答】由 得 ， ，
那么曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因此所求切线方程为 ，即 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
15.【解析】【解答】六十四卦中符号“恒卦 〞表示二进制数的001110，对应十进制数的计算为 。

【分析】利用条件结合二进制与十进制的互化公式，从而求出恒卦 表示的十进制数字。
16.【解析】【解答】取 中点 ，那么 ， ，那么 平面 ，
为等腰直角 外接圆圆心，得 ， ， ， ，
在 内，作 于 ， ，那么 平面 ，
故 就是 与平面 所成角，故 ，
在 中，由余弦定理得， ，解得 ，
故 ， ，
所以 在线段 的延长线上，且 ，
取 中点 ，那么 ，故 平面 ，

而 为等腰直角 外接圆圆心，故 ，又 ，
故 为三棱锥外接球球心， 半径 ，
所以球的外表积为 。
故答案为： 。

【分析】取 中点 ，那么 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，那么 平面 ，因为为等腰直角 外接圆圆心，得 ， ， ， ，在 内，作 于 ，再利用 推出线面垂直，那么 平面 ，故 就是 与平面 所成角，故 ，在 中，由余弦定理得出 ，故 ， ，所以 在线段 的延长线上且 ，取 中点 ，那么 ，故 平面 ，而 为等腰直角 外接圆圆心，故 ，又因为 ，故 为三棱锥外接球球心，从而求出圆的半径，再利用球的外表积公式，从而求出球的外表积。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合递推关系变形，再结合等比数列的定义，从而求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式结合 ，从而求出数列 的通项公式， 根据指数增长特征知，对任意 恒成立，再利用裂项相消的方法结合放缩法，从而证出不等式 成立。
18.【解析】【分析】 〔1〕在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，又因为 ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出。
〔2〕 因为 是直角三角形，且正方形边长为2，从而结合三角形面积公式求出三角形 的面积为1，又因为 ，从而求出三角形 边 上的高 ，又因为平面 平面 ，从而推出边 上的高即为三棱锥 的高，又因为三角形 的面积为2，从而结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积。
 
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而求出a的值。
〔2〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，从而求出该社区共有的住户数。
〔3〕利用条件结合分层抽样的方法，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽得的2户家庭年房租支出少于5万元不少于3万元的概率。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合椭圆的右顶点为 ，从而求出a的值，再利用椭圆的离心率公式结合条件椭圆 的离心率为   ，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 设 ，再利用平行四边形法那么，那么 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，下利用向量的坐标运算求出， 从而求出点M的坐标，  再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理以及代入法，得出和 ，即 ，设 ，再利用中点坐标公式，从而求出MN中点坐标为 ，因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，从而求出 ， 由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出k的值。
21.【解析】【分析】〔1〕 当 时，从而求出函数的解析式，所以 等价于 ，又因为 ，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值， 所以 的极小值 ，令 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，所以 ，因此当 时，从而证出不等式 在 上恒成立。
〔2〕 因为 ，所以 ， 所以 ，假设存在实数 ，使得 在 的最小值是3，再利用导数的运算法那么求出其导函数，所以 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值， 进而推出存在实数 ，使得函数 在 的最小值是3 。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出直线 的普通方程以及圆 的直角坐标方程。
(2) 由〔1〕可知圆 的圆心为 ，半径 ， 再利用勾股定理求出 ， 再结合点到直线的距离公式结合几何法，得出 的最小值为圆心 到直线 的距离，从而求出 的最小值 。
23.【解析】【分析】〔1〕利用m的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，从而求出不等式 的解集。
〔2〕 由题意知，不等式 在 上恒成立，那么 ，再利用绝对值不等式求解方法，那么在 上恒成立，从而求出实数m的取值范围。