2021届贵州省普通高等学校招生高三理数适应性测试（3月）试卷及答案

这是一份2021届贵州省普通高等学校招生高三理数适应性测试（3月）试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数适应性测试〔3月〕试卷
一、单项选择题
1.集合 ，集合 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2. 为虚数单位，复数 的虚部为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C.                                            D. 
3.小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2，加上这个数后的这组数据〔    〕
A. 平均数等于10，方差等于2
B. 平均数等于10，方差小于2
C. 平均数大于10，方差小于2
D. 平均数小于10，方差大于2
4.2021年3月，中共中央国务院印发了?关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见?，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯穿大中小学各学段，贯穿家庭､学校､社会各方面，与德育､智育､体育､美育相融合，紧密结合经济社会开展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式〞.贵州省某学校结合自身实际，推出了?职业认知??家政课程??田地教育??手工制作??种植技术?五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格前方能获得相应学分.甲､乙两人进行选课，那么仅有一门课程相同的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
5.设 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
6.双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ､ ， 的一条渐近线与抛物线 ： 的一个交点为 (异于原点).点 在以线段 为直径的圆上，那么 的值为〔    〕
A.                                           B. 3                                          C.                                           D. 
7.如图， ， ， ， 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么在以下列图形中 的是〔    〕
A.                                      B. 
C.                                    D. 
8.数列 中， ， .假设数列 是等差数列，那么 的最大项为〔    〕
A. 9                                         B. 11                                         C.                                          D. 12
9.在平行四边形 中， ， ， ，假设 ，且 ，那么 的值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
10.假设关于 的方程 在区间 上有两个不等的实根，那么实数 的取值范围为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某三棱锥的三视图，那么该三棱锥外接球的外表积为〔    〕

A.                                 B.                                 C. 17π                                D. 68π
12.函数 ，有如下四个结论：
①函数 的图象关于点 对称；②函数 的图象的一条对称轴为 ；③ ，都有 ，那么 的最小值为3；④ ，使得 ，那么 的最大值为-1 .其中所有正确结论的编号是〔    〕
A. ①③                                  B. ②④                                  C. ①②③                                  D. ②③④
二、填空题
13.假设 ， 满足约束条件 ，那么 的最大值为________.
14.函数 ，假设 ，那么 ________.
15.数列 中， ，其前 项和 满足 ，那么 的通项公式为________.
16.Cassini卵形线是由法田天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点 ， 的距离的乘积等于常数 . 是正常数，设 ， 的距离为 ，如果 ，就得到一个没有自交点的卵形线；如果 ，就得到一个双纽线；如果 ，就得到两个卵形线.假设 ， .动点 满足 .那么动点 的轨迹 的方程为________；假设 和 是轨迹 与 轴交点中距离最远的两点，那么 面积的最大值为________.

三、解答题
17.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 的面积为 ， .
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕假设 为 边的中点，求线段 长的最小值.
18.如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期､指数期､稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量(到达稳定期时的细菌数量)与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌 的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：
培养基质量x(克)
20
40
50
60
80
细菌A的最大承载量Y(单位)
300
400
500
600
700

参考数据： ， ， ， .参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .
〔1〕建立Y关于x的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量；
〔2〕研究发现，细菌 的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量 (单位)与细菌 被植入培养基的时间 近似满足函数关系 ，试估计在100克培养基上培养细菌 时指数期的持续时间(精确到1小时).
19.三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， ， 为 中点，点 在棱 上(端点除外).过直线 的平面 与平面 垂直，平面 与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.

〔1〕在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；
〔2〕假设 .求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. ， 是椭圆 ： 的左，右焦点， 是 上一点， ， 的面积为 .
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕过 作两条互相垂直的直线与 分别交于 和 ，假设 分别为 和 的中点.证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标.
21.函数 .
〔1〕设函数 ，求 的单调区间；
〔2〕判断函数 与 的图象是否存在公切线，假设存在，这样的切线有几条，为什么？假设不存在，请说明理由.
22.直角坐标系 中，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕曲线 与直线 ： 交于 ， 两点，求 ；
〔2〕曲线 的参数方程为 ( ， 为参数)，当 时，假设 与 有两个交点，极坐标分别为 ， ，求 的取值范围，并证明 .
23.函数 的最小值为 .
〔1〕求 ；
〔2〕设正实数 ， ， 满足 ，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 ，所以 ．
故答案为：C．

【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】解：复数 的虚部为1，
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。
3.【解析】【解答】解：设这组数据为 ， ，…， ，它的平均数为10，方差为2，
所以 ， ，
添上数据10后，这组数据的平均数为 ，
方差为 ．
所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2
故答案为：B．

【分析】根据方差和平均数的定义，计算出加上数据10后这组数据的平均数以及方差的值即可。
4.【解析】【解答】甲､乙两人进行选课的总方法数为 ，仅有一门相同的方法数为 ，
所求概率为 ．
故答案为：D．

【分析】 根据题意首先求出甲、乙两人进行选课，根本领件总数 其中仅有一门课程相同包含的根本领件个数 ，再由概率的公式求出仅有一门课程相同的概率．
5.【解析】【解答】由对数函数的性质，可得 ，所以 ，
又由指数函数的性质，可得 ，即 ，
所以 .
故答案为：C.

【分析】根据题意由指数、对数函数的单调性即可比较出大小。
6.【解析】【解答】由题意，双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
由点 在以线段 为直径的圆上，可得 ，
又由 ，可得 ，解得 .
故答案为：A.

【分析】首先 联立渐近线方程与抛物线的方程，求得A的坐标，再由题意可得AF1⊥AF2 ， 运用两直线垂直的条件可得p的方程，解方程可得所求值．
7.【解析】【解答】解：对于A，假设 ，可得 ， ， ， 四点共面，那么直线 ， 共面，
这与 ， 异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得B，C中的两直线 ， 为异面直线；
由 ， 为中点，可得 ，且 ，那么四边形 为平行四边形，
D中的两直线为平行直线.
故答案为：D.

【分析】根据题意由三棱柱的几何性质结合线面平行的性质定理以及异面直线的定义对选项逐一判断即可得出答案。
8.【解析】【解答】解：令 ，又 ， ，
∴ ， ，
∴数列 的公差为 ，
那么 ，
∴ ，
又 ，∴当 或4时， 有最大值为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由求出等差数列的公差，进一步求其通项公式，可得{an}的通项公式，再由配方法求最值．
9.【解析】【解答】 ，
,
所以
 
,
解得 .

故答案为：C

【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量线性运算整理即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：原问题可转化为 在区间 上有两个不等的实根，
令 ，
∵ ，∴ ，
函数 的局部图象如下列图，
 
假设有两个不等的实根，那么 ，
∴实数 的取值范围为 ，
故答案为：C.

【分析】首先由两角和的余弦公式整理函数的解析式，再由余弦函数的图象与性质即可得出答案。
11.【解析】【解答】根据给定的几何体的三视图，可得几何体的直观图为一个三棱锥 ，
如下列图，其中 ，

因为该几何体为长方体的一局部，且长方体的长、宽、高分别为 ，
其中该几何体的外接球与对应的长方体的外接球为同一个球，
根据长方体的对角线长等于外接球的直径，
可得该几何体的外接球的半径 满足 ，解得 ，
所以外接球的外表积为 .
故答案为：C.

【分析】 首先利用转换关系把三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的外接球的半径，最后利用球的外表积公式的应用求出结果．
12.【解析】【解答】对于①， ， ，
的图象关于点 对称，①正确；
对于②，令 ，
当 时， ， ，
此时 无意义， 不是 的对称轴，②错误；
对于③④， ，
当 时， ；
当 时， 〔当且仅当 时取等号〕；又 ， ， ；
当 时， 〔当且仅当 时取等号〕；又 ， ， ；
综上所述： ；
假设 ，都有 ，那么 ，即 最小值为 ，③正确；
假设 ，使得 ，那么 ，即 最大值为 ，④错误.
故答案为：A.

【分析】 利用函数的奇偶性判断①；化简函数的解析式，利用x的值判断函数的最大值判断②；利用根本不等式求解最大值判断③；结合③的结论判断④；
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立 ，得 ，
由 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，
直线在 轴上的截距最小， 有最大值为3.
故答案为：3.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
14.【解析】【解答】根据题意，函数 ，那么 ，
那么 ，故有 ，
又由 ，那么 ，
故答案为：-1

【分析】根据题意整理原式即可得到进而得出由此计算出答案。
15.【解析】【解答】由题意，数列 中，前 项和 满足 ，
因为 ，可得 ，那么 ，
所以数列 是首项为1，公比为3的等比数列，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，不适合上式，
故 ，
故答案为： .

【分析】 根据递推关系得到数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，再结合数列通项公式和前n项和之间的关系即可求解结论．
16.【解析】【解答】解：设 ，
，
，即 ，
动点 的轨迹 的方程为： ；
令 ，可得 ，解得 或 ，所以 ，
由对称性，只考虑第一象限的局部，
为定值，
面积最大时，即点 的纵坐标最大，
又 ，
，
令 ，那么 ，因为 ，所以 ， ，
令 ，
当 时， 取得最大值 ，即 ，
，
，
面积的最大值为 ．
故答案为： ； ．

【分析】根据题意 设 ，，化简即可得到动点P的轨迹C的方程；求出A，A'的坐标，然后将问题转化为求解点P的纵坐标的最大值，求出点P的纵坐标的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求解最值，然后再利用面积公式求解即可．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕由正弦定理化简等式可得， 结合条件利用三角形的面积公式可求b，c的值，进而根据余弦定理可得a的值。
(2) 由利用三角形的面积公式可求bc=6 由题意两边平方整理 ，利用平面向量数量积的运算，根本不等式即可求解线段AD长的最小值．
18.【解析】【分析】 〔1〕先求出样本中心，然后利用公式求解和， 从而得到回归方程，再将x=100代入方程计算即可；
〔2〕利用题中给出的函数关系结合〔1〕中的结果，列出关于t的等式，求解即可得到答案．
19.【解析】【分析】 〔1〕根据题意取AB的中点M，连结DM，DE，作MF∥DE交PB于点F，连结MF，EF，那么四边形DMFE即为所求；
〔2〕结合条件建立适宜的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面α的法向量，然后利用点到面的距离公式计算即可．
20.【解析】【分析】(1)根据题意由勾股定理以及椭圆的定义和三角形的面积公式即可得出关于a与b的方程组，求解出其值即可得出椭圆的方程。
(2) 由条件分直线和直线的斜率存在，直线或的斜率不存在两种情况，讨论直线MN是否会经过定点即可.
21.【解析】【分析】 (1)首先求出函数的导数，再解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
〔2〕根据题意分别表示出f〔x〕和g〔x〕的切线，整理得方程根的个数即为两曲线的公切线的条数，设根据函数的单调性判断即可．
 
 
22.【解析】【分析】(1)根据题意 直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果.
 
 
23.【解析】【分析】(1)由绝对值不等式的性质即可求出函数f(x)的最小值，进而求出m的值。
(2)利用作差法和因式分解结合完全平方数大于等于零，即可得证出结论。