2021届广东省梅州市高三下学期数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省梅州市高三下学期数学二模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省梅州市高三下学期数学二模试卷
一、单项选择题
1.假设复数 满足 ( 为虚数单位)，那么 的共轭复数 为〔   〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
2.设 ， 是两个集合，那么“ 〞是“ 〞的〔   〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
3.设P是 所在平面内的一点， ，那么〔   〕
A.               B.               C.               D. 
4.， 是双曲线 的左，右焦点，点 在C上，且 ，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 
5.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最兴旺，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高 ，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径 ，外径 ，试估计该仿古玉琮的体积约为〔    〕〔单位： 〕

A. 3300                                   B. 3700                                   C. 3900                                   D. 4500
6.函数 的图象大致形状是〔    〕
A.                       B. 
C.                       D. 
7.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割〞的理论，利用尺规作图可画出线段的黄金分割点，具体方法如下：〔1〕取线段 ，过点 作 的垂线，并用圆规在垂线上截取 ，连接 ；〔2〕以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；〔3〕以 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 .那么点 即为线段 的黄金分割点.假设在线段 上随机取一点F，那么使得 的概率约为〔   〕〔参考数据： 〕

A. 0.618                                  B. 0.472                                  C. 0.382                                  
8.设 ， ， 均为正数，且 ， ， ，那么〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
二、多项选择题
9.假设 ，以下不等式中正确的选项是〔    〕
A.          B.          C.          D. 
10.函数 ，以下选项中说法正确的选项是〔    〕
A.                                   B. 的图象关于 对称
C. 假设 ，那么      D. 存在 ，使得
11.如图，在正方体 中， ，点M，N分别在棱AB和 上运动〔不含端点〕，假设 ，以下命题正确的选项是〔    〕

A.                                                       B. 平面
C. 线段BN长度的最大值为                                   D. 三棱锥 体积不变
12.曲线 为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出以下结论正确的选项是〔    〕

A. 曲线C只有两条对称轴
B. 曲线C经过5个整点〔即横、纵坐标均为整数的点〕
C. 曲线C上任意一点到标原点O的距离都不超过2
D. 曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2
三、填空题
13.二项式 展开式中含 项的系数为________．
14.为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了?进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案?，有序组织学生开展课外阅读活动，某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如以下列图．假设规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人〞称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手〞称号，其他学生得到“诗词爱好者〞称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，那么抽选的学生中获得“诗词能手〞称号的人数为________．

15.数列 的前n项和为 ，且满足 ，那么 ________．
16.F为抛物线 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 〔其中点O为坐标原点〕，那么 面积的最小值是________．
四、解答题
17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，C， ．
〔1〕求角C；
〔2〕假设CD是角C的平分线， ， ，求CD的长．
18.等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，满足 ， 成等比数列．
〔1〕求数列 的通项公式
〔2〕假设 ，判断 与 的大小，并说明理由．
19.2021年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供应根底上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为 〔单位：百台 ， 〕，数据作了初步处理；得到如下列图的散点图．






19
5
285
1095

注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中 ，
参考公式：回归直线方程是 ； ， ，
参考数据： ．
〔1〕从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；
〔2〕由散点图分析，样本点都集中在曲线 的附近，求y关于t的方程 ，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．
20.如图，在四棱锥 中，平面 平面ACDE， 是等边三角形，在直角梯形ACDE中， ， ， ， ，P是棱BD的中点．

〔1〕求证： 平面BCD；
〔2〕设点M在线段AC上，假设平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为 ，求MP的长．
21.函数
〔1〕当 时，求证：函数 没有零点；
〔2〕假设存在两个不相等正实数 ， ，满足 ，且 ，求实数a的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线 与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕是椭圆C的内接三角形，假设坐标原点O为 的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 所以
故答案为：D

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
2.【解析】【解答】假设 ，对任意 ，那么 ，又 ，那么 ，所以 ，充分性得证，假设 ，那么对任意 ，有 ，从而 ，反之假设 ，那么 ，因此 ，必要性得证，因此应选充分必要条件．
故答案为：C．

【分析】由利用交集与子集的概念，分别判断充分必要条件，即可得结论.
3.【解析】【解答】 移项得 .
故答案为：B

【分析】利用向量的加、减运算法那么对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】 、 是双曲线 的左、右焦点，
点 在双曲线 上， ，
所以， ， ，可得 ， ， ，
所以 ．
故答案为：A

【分析】根据题意由双曲线的性质结合条件即可得出， 再由点的坐标代入计算出a、b、c的值，由此求出双曲线的离心率的值。
5.【解析】【解答】根据题中条件可得：该玉琮的体积为底面边长为 、高为 的长方体的体积减去底面直径为 、高为 的圆柱的体积，
因此 .
结合该玉琮外面方形偏低且去掉雕刻的局部，可估计该玉琮的体积约为3300 .
故答案为：A.

【分析】 根据题意，利用棱柱体积减去内部圆柱体积，再结合实际情况得答案.
6.【解析】【解答】由 ，
得 ，
那么函数 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，
当 时 ，排除C，
故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A、B，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项C，由此得到答案。
7.【解析】【解答】由勾股定理可得 ，那么 ，
，所以 ，
由几何概型中的线段型可知使得 的概率约为 .
故答案为：D

【分析】 由勾股定理可得：， 由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为， 求解出答案即可。.
8.【解析】【解答】由 ， ， ，可得 ， ， ，
因此 ， ， 分别为函数 与 ， ， 交点的横坐标，
在同一直角坐标系中作出函数 ， ， ， 的大致图象如下：
 
由图象易知， .
故答案为：A.

【分析】 利用对数函数，指数函数的单调性，作出函数的图象，结合条件即可得到， ， 的取值范围即可.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为 ，所以 ；
A选项， ，即A符合题意；
B选项，假设 ， ，那么 ，B不符合题意；
C选项，因为 ， ， ，
所以 ，即C符合题意；
D选，假设 ， ，那么 ，D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】利用不等式根本性质即可判断出选项A、C正确，B错误；再由特殊值法代入即可判断出选项D错误，由此得出答案。
10.【解析】【解答】
A.
，故正确；
B. 因为 ，
且 ，故正确；
C. 因为 ，所以 ，因为 在 上递增，故正确；
D.由C知 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
，
因为 ，所以不存在 ，使得 ，故错误；
故答案为：ABC.

【分析】 首先利用三角函数的关系式的恒等变化，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质，单调性，对称性，函数的值的应用即可判断A、B、C、D的结论，由此得出答案即可。
11.【解析】【解答】在正方体 中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)， ，
，而
那么 ，
对于A选项： ，那么 ， ，A符合题意；
对于B选项： ， ，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项： ，那么线段BN长度 ，当且仅当 时取“=〞，C符合题意；
对于D选项：不管点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ，
三棱锥 体积为定值，即D符合题意.
故答案为：ACD

【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，由数量积的坐标公式计算出垂直由此判断出选项A正确；结合数量积的坐标公式以及二次函数的性质即可判断出选项B错误；由向量的模的坐标公式以及二次函数的性质即可得出选项C正确；利用三棱锥的体积公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；由此得出答案。
12.【解析】【解答】根据图形可得，曲线C有四条对称轴 ， ， ；即A不符合题意；
由 可得 ；即圆 与曲线 相切于点 ， ， ， ，
内切于圆 ；
故曲线C上任意一点到坐标原点O的距离的最大值为 ，即C符合题意；
又圆 位于第一象限的整点只有 ，但 ，所以曲线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在二三四象限也不过整点；
又 显然在曲线 上，所以曲线 只过一个整点，B不符合题意；
设曲线C上的任一点的坐标为 ，那么过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积 ；由 可得 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，即D符合题意.
故答案为：CD.

【分析】利用曲线图形的对称性即可判断出选项A错误；联立曲线与圆的方程求解出交点的坐标，再由内切的性质结合题意计算出结果由此判断出选项C正确；结合条件利用点与曲线的位置关系以及根本不等式即可判断出选项B错误，D正确，由此得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意 ， ， ，
展开式中的 项的系数 ，
故答案为：540.

【分析】根据题意求出二项式的通项公式，结合题意令求出r的值，再把数值代入到通项公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】由茎叶图可得，获得“诗词爱好者〞称号的学生总数为 ；获得“诗词能手〞称号的学生总数为 ；获得“诗词达人〞称号的学生总数为 人；
因此，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手〞称号的人数为 .
故答案为：6.

【分析】根据题意由茎叶图中的数据，结合分层抽样的原理即可得出答案。
15.【解析】【解答】由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
那么 ，所以 ，
所以
.
故答案为：502.

【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式以及等比数列前n项和公式计算出结果即可。
16.【解析】【解答】解：设直线 的方程为 ，点 ，直线 与 轴的交点为 ，
由 ，得 ，那么 ，
因为 ，所以 ，那么 ，即 ，
因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以 ，
所以 ，即 ，那么 ，
由抛物线 得焦点 ，
所以

，当 时取等号，
所以 面积的最小值是 ，
故答案为：

【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k、m的两根之和与两根之积的代数式，结合数量积的坐标公式整理得出由此得到即求出m的值，进而得到抛物线的方程，再结合抛物线的定义以及三角形的面积公式整理得到， 在意二次函数的性质即可求出最小值。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理结合两角和的正弦公式整理，得出， 由此求出cosC的值，进而得出角C的大小。
(2)结合角平分线的性质即可求出AD、BD的大小，再由正弦定理整理得出， 结合余弦定理代入计算出a与b的值,并把数值代入到三角形的面积公式整理得出CD的值。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由得出数列的通项公式整理条件，由此得到关于首项和公差的方程组，求解出答案，即可求出数列的通项公式。
(2)由(1) 的结论即可得出， 再验证n≤3时，， 构造函数， 利用导数，证明当n时，即可。
19.【解析】【分析】 (1)根据题意设事件A：所取2个点的日生产量都不高于300台，事件B：所取2个点的日生产量高于200台，利用条件概率公式计算即可.
(2)由求出回归系数，利用回归方程计算时，求出t的最小整数值即可.
20.【解析】【分析】 (1)作PQ//DC交BC于点Q，连接AQ，由得到AE//PQ，且AE=PQ，得到四边形AEPQ是平行四边形，即EP//AQ，再由平面与平面垂直的判定及性质可得直线AQ平面BCD，进一步可得EP平面BCD；
(2)根据题意建立如下列图的空间直角坐标系，求出平面EAB的法向量，设M(t,00)，其中， 再由t表示平面PEM的法向量，由题意列式求解t，可得M的坐标，由此求出MP的长即可.
21.【解析】【分析】 (1)将a=1代入，对函数f(x)求导，求出其单调性，可得f(x)>1，进而得证。
(2)根据题意整理得出， 整理得出， 令得到在 有解 ，构造函数并对其求导得到， 结合二次函数根的情况对判别式进行限制由此得出，求解出a的取值范围即可。
22.【解析】【分析】(1)利用椭圆的简单性质以及点到直线的距离公式，结合圆的方程整理即可得出， 再由三角形的几何性质整理得到， 由此求解出a、b、c的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出点B(m，n)，MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，易知点B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍，然后分MN斜率不存在及MN斜率存在两种情况讨论得解；当斜率存在时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m、n的两根之和与两根之积的代数式，把点的坐标代入结合点差法以及中点的坐标公式整理即可得出直线的斜率，由条件结合点到直线的距离公式整理得出 ， 再由不等式的性质即可得出， 由此得到即可。