数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试练习

第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1．（2020·浙江高一单元测试）若，，则的值可能是（    ）．

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】，，．故选：C.

2．（2020·浙江高一单元测试）    不等式(x＋3)2＜1的解集是(　　)

A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}

C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}

【答案】C

【解析】原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.选C.

3．（2020·浙江高一单元测试）若，则下列结论中不恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以所以，即，故A，B正确.因为，所以，所以故C正确.

当 时， ，故D错误.故选：D

4．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式的解集是，则的值为（    ）．

A．1 B． C．0 D．

【答案】C

【解析】由已知得，解得，故，故选：C．

5．（2020·浙江高一课时练习）已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】且，，且的符号不确定.

对于A选项，，，由不等式的基本性质可得，A选项中的不等式一定能成立；对于B选项，，则，又，，B选项中的不等式一定能成立；对于C选项，取，则，，；取，，，则，C选项中的不等式不一定成立；

对于D选项，，，则，，，D选项中的不式一定能成立.故选：C.

6．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知正实数x，y满足.则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，

因为x，y为正实数，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：D

7．（2020·安徽省舒城中学高二期末（文））如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ）

A．如果,那么 

B．如果,那么

C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立

D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立

【答案】C

【解析】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,故选C

8．（2020·全国高一）已知实数，满足，，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，，,

则

又，因此，故本题选B.

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9．（2020·浙江高一单元测试）已知函数，则该函数的（    ）．

A．最小值为3 B．最大值为3

C．没有最小值 D．最大值为

【答案】CD

【解析】，函数，当且仅当时取等号，该函数有最大值．无最小值．故选：CD．

10．（2020·江苏省天一中学高一期中）对于实数，下列说法正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】A.在三边同时除以得，故A正确；

B.由及得，故B正确；

C.由知且，则，故C正确；

D.若，则，，

，故D错误.故选：ABC.

11．（2020·湖南高新技术产业园区。衡阳市一中高二期末）（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故选AD.

12．（2020·浙江高一单元测试）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确

由选项A有，设，则在上单调递减.

所以，所以选项B正确

(当且仅当时取得等号)，

．所以选项C正确.

（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．故A，B，C正确故选：ABC

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．（2020·浙江高一单元测试）已知，则的最小值为______．

【答案】．

【解析】，当且仅当，解得，又因为，所以时等号成立．

故答案为：．

14．（2020·四川省开江中学高一月考）设，，若，则的最小值为__________．

【答案】16

【解析】，且且

∴

当且仅当取等号，

又，即，时取等号，故所求最小值为16．

故答案为：16

15．（2020·南昌市新建一中高一期中）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______

【答案】

【解析】不等式的解集为，故且，

故可化为即，

它的解为，填.

16．（2020·浙江高一单元测试）若关于x的不等式的解集为或，则_____，_____．

【答案】       

【解析】由不等式的解集为或，

可知不等式对应二次函数图像开口向下即，

且1，是方程的两根，

由根与系数的关系可得解得或

，，

故答案为：-3，-3

四、解答题（18题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2020·宁夏兴庆 银川一中高一期末）设函数．

（1）若不等式的解集，求的值；

（2）若，

①，求的最小值；

②若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）①9，②

【解析】由已知可知，的两根是

所以 ，解得.

（2）①

，

当时等号成立，

因为， 解得时等号成立，

此时的最小值是9.

②在上恒成立，

，

又因为 代入上式可得

解得：.

18．（2020·广东番禺.仲元中学高一期中）已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，，求此不等式的解集．

【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．

【解析】（1）由题意知，且1和5是方程的两根，

∴，且，

解得，，∴．

（2）若，，原不等式为，

∴，∴．

∴时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

综上所述：当时，原不等式解集为，

当时，原不等式解集为．

当时，原不等式解集为．

19．（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））设函数

（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：

【答案】（1）.（2）

【解析】（1）对恒成立，

若，显然成立，

若，则，解得.

所以，.

（2）对于，恒成立，即

对恒成立

对恒成立

∴对恒成立，

即求在的最小值，

的对称轴为，

，，，

可得即.

20．（2019·湖北武汉.高一月考）已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．

（1）求的解析式；

（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．

【答案】（1）．（2）.最小值

【解析】（1）是二次函数，且的解集是，

∴可设，

可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．

∵，，，

∴在区间上的最大值是，得．

因此，函数的表达式为．

（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，

①当时，即时，在上单调递减，

此时的最小值；

②当时，在上单调递增，

此时的最小值；

③当时，函数在对称轴处取得最小值，

此时，，

综上所述，得的表达式为，

当，取最小值

21．（2020·上海高一课时练习）某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？

【答案】15m

【解析】设水池的长为x米，则宽为米.

总造价：y=400（2x+）+100+200×60

=800（x+）+12000≥800+12000=36000，

当且仅当x=，即x=15时，取得最小值36000.

所以当净水池的长为15m时，可使总造价最低.

22．（2019·儋州市八一中学高一期中）已知关于的函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值

【答案】（1）或（2）

【解析】（1）当时，

∴原不等式为

对于方程

∴对于方程有两个不相等的实数根，

∴原不等式的解集为或

（2）要使对任意的恒成立

即对任意的恒成立

令

由基本不等式可得：

当且仅当即时，等号成立.

的最小值为

的最大值为