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2020-2021学年吉林省通化市通化县高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版
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这是一份2020-2021学年吉林省通化市通化县高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，非选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知p:∃x0∈R，3A.∀x∈R，3xx03
C.∀x∈R，3x≥x3D.∃x0∈R，3≥x03
2. 对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是（ ）
A.若m⊥n，n // α，则m⊥αB.若m // n，m⊥α，则n⊥α
C.若m // α，n⊂α，则m // nD.若m // α，n⊥α，则m // n
3. 过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为（ ）
A.2x−3y−1＝0B.2x+3y−7＝0C.3x−2y−4＝0D.3x+2y−8＝0
4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.46B.48C.36D.32
5. 已知A为抛物线C:y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（ ）
A.2B.3C.6D.9
6. 已知椭圆的焦点为(−1, 0)和(1, 0)，点P(2, 0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A.x24+y2=1B.x24+y23=1C.y24+x2=1D.y24+x23=1
7. 如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60∘
8. 曲线f(x)＝2x−ex在点（0, f(0)）处的切线方程是（ ）
A.2x−y−1＝0B.x−y+1＝0C.x−y＝0D.x−y−1＝0
9. “a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a−1)y−a+7=0平行”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
10. 若圆(x+1)2+y2＝m与圆x2+y2−4x+8y−16＝0内切，则实数m的值为（ ）
A.1B.11C.121D.1或121
二、非选择题：填空题共4道小题每题5分共20分：
已知双曲线C：＝1(a>0, b>0)的渐近线方程为y＝，则双曲线C的离心率为________．
已知的导函数为f′(x)，则f′(−1)＝________．
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．
下列各项中，描述正确的是________．（填序号）
①∀x∈R，不等式x2+2x>4x−3成立；
②两个相交平面组成的图形叫做二面角；
③命题“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
三、解答题：共5道小题，每题12分：
已知圆C:x2+y2−8y+12=0，直线l:ax+y+2a=0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，求直线l的方程．
已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f(x)的单调区间．
中心在原点，一焦点为F1(0, 52)的椭圆被直线y=3x−2截得的弦的中点横坐标是12，求此椭圆的方程．
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PD=BD=3AD，且PD⊥底面ABCD．
（1）证明：BC⊥平面PBD；
（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A−PBQ的体积．
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2, y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△OAB的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省通化市通化县高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
设过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，把点(2, 1)代入即可得出．
【解答】
设过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，
把点(2, 1)代入可得：4+3+m＝0，解得m＝−7．
∴ 要求的直线方程为：2x+3y−7＝0，
4.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】
A为抛物线C:y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+p2=12⇒p＝6；
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得c=1，a=2，b=3，
即有椭圆方程为x24+y23=1．
故选：B．
7.
【答案】
D
【考点】
三垂线定理
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
A中因为BD // B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1 // D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD＝45∘．
【解答】
解：A，因为BD // B1D1，所以BD // 平面CB1D1，故A正确；
B，因为AC⊥BD，由三垂线定理知AC1⊥BD，故B正确；
C，由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确；
D，显然异面直线AD与CB1所成的角为45∘，故D错误.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出函数的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【解答】
f(x)＝2x−ex的导数为f′(x)＝2−ex，
在点（0, f(0)）处的切线斜率为k＝2−1＝1，
切点为(0, −1)，
可得在点（0, f(0)）处的切线方程为y＝x−1．
9.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
若“a=3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到a=3或a=−2；利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】
解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x+2y+6=0与3x+2y+4=0，两直线平行；
反之，当“直线ax+2y+2a=0与直线3x+(a−1)y−a+7=0平行”成立时，有a3=2a−1，且2a≠−a+7，所以a=3或a=−2；
所以“a=3”是“直线ax−2y−1=0与直线6x−4y+c=0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
10.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、非选择题：填空题共4道小题每题5分共20分：
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−4
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
50π
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：32+42+52=52，
所以球的半径为：522；则这个球的表面积是：4π(522)2=50π．
【答案】
①③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共5道小题，每题12分：
【答案】
解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C:x2+y2−8y+12=0的圆心C(0, 4)半径r=1264−48=2，−−−−−−1分
∵ 直线l:ax+y+2a=0与圆相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−34．−−−5分
（2）∵ 圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，−−−−−7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−7或a=−1．
∴ 所求直线为7x−y+14=0或x−y+2=0．−−−−−−12分
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）圆C的圆心C(0, 4)半径r=2，由直线l:ax+y+2a=0与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出a的值．
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，再由圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，列出方程，求出a，由此能求出直线方程．
【解答】
解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C:x2+y2−8y+12=0的圆心C(0, 4)半径r=1264−48=2，−−−−−−1分
∵ 直线l:ax+y+2a=0与圆相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−34．−−−5分
（2）∵ 圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，−−−−−7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−7或a=−1．
∴ 所求直线为7x−y+14=0或x−y+2=0．−−−−−−12分
【答案】
解：（1）∵ f′(x)=3x2−6ax+2b，函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，
∴ f(1)=−1，f′(1)=0
∴ 1−3a+2b=−1，3−6a+2b=0
解得a=13，b=−12
∴ f(x)=x3−x2−x
（2）∵ f′(x)=3x2−2x−1
∴ 由f′(x)=3x2−2x−1>0得x∈(−∞, −13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2−2x−1<0得x∈(−13, 1)
∴ 函数f(x)的单调增区间为：(−∞, −13)，(1, +∞)，减区间为：(−13, 1)．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，即f(1)=−1，f′(1)=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，即可得函数f(x)的单调增区间与单调递减区间．
【解答】
解：（1）∵ f′(x)=3x2−6ax+2b，函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，
∴ f(1)=−1，f′(1)=0
∴ 1−3a+2b=−1，3−6a+2b=0
解得a=13，b=−12
∴ f(x)=x3−x2−x
（2）∵ f′(x)=3x2−2x−1
∴ 由f′(x)=3x2−2x−1>0得x∈(−∞, −13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2−2x−1<0得x∈(−13, 1)
∴ 函数f(x)的单调增区间为：(−∞, −13)，(1, +∞)，减区间为：(−13, 1)．
【答案】
解：设椭圆：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①
又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32−2=−12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒kAB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故椭圆的方程为：y275+x225=1．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
先根据焦点坐标得出a2−b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
【解答】
解：设椭圆：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①
又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32−2=−12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒kAB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故椭圆的方程为：y275+x225=1．
【答案】
证明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，
而VA−QBC=VQ−ABC=12VP−ABC=14VP−ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ=14．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）证明AD⊥BD，BC⊥BD．PD⊥BC．然后证明BC⊥平面PBD．
（2）利用三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，转化求解即可．
【解答】
证明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，
而VA−QBC=VQ−ABC=12VP−ABC=14VP−ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ=14．
【答案】
解：(1)根据题意，D(2, y0)在抛物线y2=2px上且|DF|=3，
由抛物线定义得2+p2=3，∴ p=2，
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)由方程组y=x−1，y2=4x，消去y得x2−6x+1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=6，
∵ 直线y=x−1过抛物线y2=4x的焦点F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直线y=x−1的距离d=22，
∴ △ABO的面积S=12|AB|d=22．
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
抛物线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
（1）根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；
（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2−6x+1=0，进而设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x−1，进而由三角形面积公式计算可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，D(2, y0)在抛物线y2=2px上且|DF|=3，
由抛物线定义得2+p2=3，∴ p=2，
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)由方程组y=x−1，y2=4x，消去y得x2−6x+1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=6，
∵ 直线y=x−1过抛物线y2=4x的焦点F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直线y=x−1的距离d=22，
∴ △ABO的面积S=12|AB|d=22．
1. 已知p:∃x0∈R，3
C.∀x∈R，3x≥x3D.∃x0∈R，3≥x03
2. 对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是（ ）
A.若m⊥n，n // α，则m⊥αB.若m // n，m⊥α，则n⊥α
C.若m // α，n⊂α，则m // nD.若m // α，n⊥α，则m // n
3. 过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为（ ）
A.2x−3y−1＝0B.2x+3y−7＝0C.3x−2y−4＝0D.3x+2y−8＝0
4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.46B.48C.36D.32
5. 已知A为抛物线C:y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（ ）
A.2B.3C.6D.9
6. 已知椭圆的焦点为(−1, 0)和(1, 0)，点P(2, 0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A.x24+y2=1B.x24+y23=1C.y24+x2=1D.y24+x23=1
7. 如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60∘
8. 曲线f(x)＝2x−ex在点（0, f(0)）处的切线方程是（ ）
A.2x−y−1＝0B.x−y+1＝0C.x−y＝0D.x−y−1＝0
9. “a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a−1)y−a+7=0平行”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
10. 若圆(x+1)2+y2＝m与圆x2+y2−4x+8y−16＝0内切，则实数m的值为（ ）
A.1B.11C.121D.1或121
二、非选择题：填空题共4道小题每题5分共20分：
已知双曲线C：＝1(a>0, b>0)的渐近线方程为y＝，则双曲线C的离心率为________．
已知的导函数为f′(x)，则f′(−1)＝________．
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．
下列各项中，描述正确的是________．（填序号）
①∀x∈R，不等式x2+2x>4x−3成立；
②两个相交平面组成的图形叫做二面角；
③命题“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
三、解答题：共5道小题，每题12分：
已知圆C:x2+y2−8y+12=0，直线l:ax+y+2a=0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，求直线l的方程．
已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f(x)的单调区间．
中心在原点，一焦点为F1(0, 52)的椭圆被直线y=3x−2截得的弦的中点横坐标是12，求此椭圆的方程．
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PD=BD=3AD，且PD⊥底面ABCD．
（1）证明：BC⊥平面PBD；
（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A−PBQ的体积．
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2, y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△OAB的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省通化市通化县高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
设过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，把点(2, 1)代入即可得出．
【解答】
设过点(2, 1)且与直线3x−2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，
把点(2, 1)代入可得：4+3+m＝0，解得m＝−7．
∴ 要求的直线方程为：2x+3y−7＝0，
4.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】
A为抛物线C:y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+p2=12⇒p＝6；
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得c=1，a=2，b=3，
即有椭圆方程为x24+y23=1．
故选：B．
7.
【答案】
D
【考点】
三垂线定理
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
A中因为BD // B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1 // D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD＝45∘．
【解答】
解：A，因为BD // B1D1，所以BD // 平面CB1D1，故A正确；
B，因为AC⊥BD，由三垂线定理知AC1⊥BD，故B正确；
C，由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确；
D，显然异面直线AD与CB1所成的角为45∘，故D错误.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出函数的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【解答】
f(x)＝2x−ex的导数为f′(x)＝2−ex，
在点（0, f(0)）处的切线斜率为k＝2−1＝1，
切点为(0, −1)，
可得在点（0, f(0)）处的切线方程为y＝x−1．
9.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
若“a=3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到a=3或a=−2；利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】
解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x+2y+6=0与3x+2y+4=0，两直线平行；
反之，当“直线ax+2y+2a=0与直线3x+(a−1)y−a+7=0平行”成立时，有a3=2a−1，且2a≠−a+7，所以a=3或a=−2；
所以“a=3”是“直线ax−2y−1=0与直线6x−4y+c=0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
10.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、非选择题：填空题共4道小题每题5分共20分：
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−4
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
50π
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：32+42+52=52，
所以球的半径为：522；则这个球的表面积是：4π(522)2=50π．
【答案】
①③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共5道小题，每题12分：
【答案】
解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C:x2+y2−8y+12=0的圆心C(0, 4)半径r=1264−48=2，−−−−−−1分
∵ 直线l:ax+y+2a=0与圆相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−34．−−−5分
（2）∵ 圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，−−−−−7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−7或a=−1．
∴ 所求直线为7x−y+14=0或x−y+2=0．−−−−−−12分
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）圆C的圆心C(0, 4)半径r=2，由直线l:ax+y+2a=0与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出a的值．
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，再由圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，列出方程，求出a，由此能求出直线方程．
【解答】
解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C:x2+y2−8y+12=0的圆心C(0, 4)半径r=1264−48=2，−−−−−−1分
∵ 直线l:ax+y+2a=0与圆相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−34．−−−5分
（2）∵ 圆心到直线的距离d=|4+2a|a2+1，
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=22时，d=r2−(|AB|2)2=2，−−−−−7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=−7或a=−1．
∴ 所求直线为7x−y+14=0或x−y+2=0．−−−−−−12分
【答案】
解：（1）∵ f′(x)=3x2−6ax+2b，函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，
∴ f(1)=−1，f′(1)=0
∴ 1−3a+2b=−1，3−6a+2b=0
解得a=13，b=−12
∴ f(x)=x3−x2−x
（2）∵ f′(x)=3x2−2x−1
∴ 由f′(x)=3x2−2x−1>0得x∈(−∞, −13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2−2x−1<0得x∈(−13, 1)
∴ 函数f(x)的单调增区间为：(−∞, −13)，(1, +∞)，减区间为：(−13, 1)．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，即f(1)=−1，f′(1)=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，即可得函数f(x)的单调增区间与单调递减区间．
【解答】
解：（1）∵ f′(x)=3x2−6ax+2b，函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，
∴ f(1)=−1，f′(1)=0
∴ 1−3a+2b=−1，3−6a+2b=0
解得a=13，b=−12
∴ f(x)=x3−x2−x
（2）∵ f′(x)=3x2−2x−1
∴ 由f′(x)=3x2−2x−1>0得x∈(−∞, −13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2−2x−1<0得x∈(−13, 1)
∴ 函数f(x)的单调增区间为：(−∞, −13)，(1, +∞)，减区间为：(−13, 1)．
【答案】
解：设椭圆：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①
又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32−2=−12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒kAB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故椭圆的方程为：y275+x225=1．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
先根据焦点坐标得出a2−b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
【解答】
解：设椭圆：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①
又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32−2=−12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒kAB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故椭圆的方程为：y275+x225=1．
【答案】
证明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，
而VA−QBC=VQ−ABC=12VP−ABC=14VP−ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ=14．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）证明AD⊥BD，BC⊥BD．PD⊥BC．然后证明BC⊥平面PBD．
（2）利用三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，转化求解即可．
【解答】
证明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ与三棱锥A−QBC的体积相等，
而VA−QBC=VQ−ABC=12VP−ABC=14VP−ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ=14．
【答案】
解：(1)根据题意，D(2, y0)在抛物线y2=2px上且|DF|=3，
由抛物线定义得2+p2=3，∴ p=2，
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)由方程组y=x−1，y2=4x，消去y得x2−6x+1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=6，
∵ 直线y=x−1过抛物线y2=4x的焦点F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直线y=x−1的距离d=22，
∴ △ABO的面积S=12|AB|d=22．
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
抛物线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
（1）根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；
（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2−6x+1=0，进而设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x−1，进而由三角形面积公式计算可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，D(2, y0)在抛物线y2=2px上且|DF|=3，
由抛物线定义得2+p2=3，∴ p=2，
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)由方程组y=x−1，y2=4x，消去y得x2−6x+1=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=6，
∵ 直线y=x−1过抛物线y2=4x的焦点F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直线y=x−1的距离d=22，
∴ △ABO的面积S=12|AB|d=22．
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