2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（一）人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（一）人教A版，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线y2＝3x的准线方程是（ ）
A.B.C.D.

2. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线经过点(2, 1)，则双曲线的离心率为（ ）
A.52B.2C.3D.5

3. 已知椭圆上一点P到其左焦点的距离为6，则点P到右准线的距离为（ ）
A.4B.6C.8D.12

4. 已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则p的值为（ ）
A.4B.6C.9D.12

5. 设抛物线C:y2＝4x的焦点为F，过点(−2, 0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则|MF|+|NF|＝（ ）
A.5B.6C.7D.8

6. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为平行四边形AMBN一组相对的顶点，当平行四边形AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）

A.6B.12C.18D.24

7. 已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，过点(4, 0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为(2, −1)，则椭圆E的离心率为（ ）
A.12B.32C.13D.233

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P，则＝（ ）
A.8B.C.4D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

已知双曲线，则不因λ改变而变化的是（ ）
A.渐近线方程B.顶点坐标C.离心率D.焦距

已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，若PF1＝3PF2，则双曲线的离心率可能为（ ）
A.2B.C.D.3

设F1，F2为椭圆的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A.MF1＝2B.MF2＝2
C.点M的横坐标为D.

已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A(x1, y1)，B(x2, y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A.点F的坐标为(1, 0)
B.若A，F，B三点共线，则
C.若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F
D.若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

若a∈(0, π2)，方程x2sina+y2csa=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________．

设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．在△ABF2中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________．

双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线左支上一点，∠F1MF2＝90∘，直线MF2交双曲线的另一支于点N，MN＝2NF2，则双曲线的离心率是________．

已知F是抛物线y2＝2px(p>1)的焦点，N(p, 1)，M为抛物线上任意一点，|MN|+|MF|的最小值为3，则p＝________；若过F的直线交抛物线于A，B两点，有，则|AB|＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是E上一点，且在第一象限，满足．
（1）求点P的坐标和抛物线E的方程；

（2）已知过点P的直线l与E有且只有一个公共点，求直线l的方程．

已知椭圆的离心率为，抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．
（1）求的值；

（2）设M为C1与C2的公共点，若，求C1与C2的标准方程．

设椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线与C交于A，B两点，已知M(2, 0)，且，求证：直线l恒过定点．

已知椭圆的左顶点为A(−2, 0)，右焦点F(1, 0)，斜率为k(k≠0)的直线l与C交于M，N两点．
（1）当直线l过原点O时，满足直线AM，AN斜率和为−2k，求弦长|MN|；

（2）当直线l过点F时，满足直线AM，AN斜率和为−k，求实数k的值．

已知双曲线E：-＝1(a>0, b>0)的实轴长为2，F为右焦点，M(0, 1)，N(0, −1)，且△MNF为等边三角形．
（1）求双曲线E的方程；

（2）过点M的直线l与E的左右两支分别交于P、Q两点，求△PQN面积的取值范围．

已知点F(1, 0)为抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点，直线l与抛物线E相交于A，B两点，抛物线E在A，B两点处的切线交于M．
（1）求证：A，M，B三点的纵坐标成等差数列；

（2）若AB＝a，其中a为定值，求证：△ABM的面积的最大值为．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（一）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】
抛物线y2＝3x的准线方程是：x＝-．
2.
【答案】
A
【考点】
双曲线的特性
【解析】
先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．
【解答】
解：∵ 渐近线的方程是y=±bax，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线经过点(2, 1)，
∴ 2⋅ba=1，∴ a=2b，
∴ c=52a，
∴ e=ca=52，
故选：A．
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，进而可求得离心率和准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得点P到左准线的距离，最后由两准线的距离减去P到左准线的距离即是点P到右准线的距离．
【解答】
根据椭圆的第二定义可知P到F1的距离与其到准线的距离之比为离心率，
依题意可知a＝4，b＝2，
∴ c＝2．
∴ e＝＝，准线方程为x＝±，即x＝±8，
∴ P到椭圆左准线的距离为＝12，
∴ 点P到椭圆右准线的距离2×8−12＝4．
4.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
双曲线的渐近线方程为：x±2y＝0，抛物线的焦点坐标为：(0，），
抛物线x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，
可得：＝2，解得p＝6，
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设出M、N的坐标，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的性质推出|MF|+|NF|即可．
【解答】
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，过点(−2, 0)且斜率为的直线方程为y＝(x+2)，
联立，
可得x2−5x+4＝0，x1+x2＝5，
则|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝5+2＝7．
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由题意可得出MB+BN＝10，在三角形MBN中，使用余弦定理可得csB的关系式，再利用基本不等式可求出csB的最小值，从而可求出sinB的最大值，进而求解．
【解答】
设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x+y＝10，在△MBN中，MN＝6，
由余弦定理可得：csB＝＝≥＝，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝5，csBmin＝，所以sinBmax＝，
所以四边形AMBN的最大面积为2×＝24，此时四边形AMBN是边长为5的菱形，
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(2, −1)，求出斜率，得到a，b关系，即可求得椭圆E的离心率．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x12a2+y12b2＝1x22a2+y22b2＝1，
两式相减得：(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
∵ 线段AB的中点坐标为(2, −1)，
∴ x1+x2=4，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2=2b2a2，
由AB斜率kAB=0+14−2=12，
∴ 2b2a2=12，即a=2b，
e=ca=1−b2a2=32．
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线方程求得右焦点坐标与一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得圆的半径，得到圆的方程，与双曲线方程联立求得P点纵坐标，进而求解结论．
【解答】
由双曲线 ，得a2＝9，b2＝16，
则c＝＝5，∴ F2(5, 0)，
渐近线方程为y＝x，即4x−3y＝0．
F2到渐近线的距离为＝4，则圆的方程为(x−5)2+y2＝16．
联立，解得yp＝(yP>0)，∴ xp＝
∴ ＝(−5−xp, −yp)⋅(5−xp, −yp)＝xp2+yp2−25＝8．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【答案】
A,C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
双曲线，可化为＝1．a2＝6λ2，b2＝3λ2．即可逐一判定．
【解答】
双曲线，可化为＝1．
∴ a2＝6λ2，b2＝3λ2．∴ c2＝9λ2，＝，y＝±，所以双曲线的渐近线方程不变；顶点坐标以及焦距是变化的；
e＝＝，是常数，离心率不变．
【答案】
A,B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
运用双曲线的定义，结合条件求得|PF2|＝a，再由|PF2|≥c−a，可得离心率的范围，即可得到所求结论．
【解答】
P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|＝2a，
若|PF1|＝3|PF2|，则|PF2|＝a，
又|PF2|≥c−a，可得c≤2a，
则e＝≤2，
又e>1，可得1MF2，
∵ △MF1F2为等腰三角形，则MF1＝F1F2＝2c＝6，故A错误；
∴ MF2＝2，故B正确；
由余弦定理可得cs∠MF2F1＝＝，
过M作MA⊥x轴于A，则AF2＝MF2cs∠MF2F1＝，
∴ OA＝，即M的横坐标为，故C正确；
∵ MA＝＝，
∴ S＝＝，故D正确．
【答案】
B,C,D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
(0,π4)
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由a∈(0,π2)，可得sina，csa∈(0, 1)．因此方程x2sina+y2csa=1化为x21sina+y21csa=1，此方程表示表示焦点在x轴上的椭圆，可得1sina>1csa>0，解出即可．
【解答】
解：∵ a∈(0,π2)，∴ sina，csa∈(0, 1)．
方程x2sina+y2csa=1化为x21sina+y21csa=1，
∵ 此方程表示表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ 1sina>1csa>0，
∴ csa>sina，
∴ a∈(0,π4)．
故答案为：(0,π4)．
【答案】
6
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a，可求出在△AF2B的周长，则第三边的长度等于周长减另两边的和．
【解答】
∵ 过F1的直线交椭圆于A，B两点．
∴ |AF1|+|AF2|＝8，|BF1|+|BF2|＝8，
∴ |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝16，
∴ |AF2|+|BF2|+|AB|＝16，
∵ 在△AF2B中，有两边之和是10，
∴ 第三边的长度为16−10＝6．
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设|NF2|＝x，则|MN|＝2x，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，可得所求离心率．
【解答】
设|NF2|＝x，则|MN|＝2x，
由双曲线的定义可得|NF1|＝|NF2|+2a＝x+2a，
又|MF2|＝x+2x＝3x，
由双曲线的定义可得|MF1|＝3x−2a，
在直角三角形MNF1中，∠F1MN＝90∘，
可得(3x−2a)2+(2x)2＝(x+2a)2，
解得3x＝4a，
在直角三角形MF1F2中，
(3x−2a)2+(3x)2＝4c2，
即为(4a−2a)2+16a2＝4c2，
即c＝a，
e＝＝，
【答案】
2,
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据题意可得p+＝3，即可求出p的值，设直线AB的方程为y＝k(x−1)，根据韦达定理定理，以及可得−y1＝2y2，结合抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p，即可求出．
【解答】
由题意，N(p, 1)，M为抛物线上任意一点，
过点M作准线的垂线，垂足为D，
当点D，M，N在同一直线上时，|MN|+|MF|最小，且为3，
∴ p+＝3，
解得p＝2，
抛物线的方程为y2＝4x，
设直线AB的方程为y＝k(x−1)，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立方程，消x可得ky2−4y−4k＝0，
∴ y1+y2＝，y1y2＝−4，
∵ ，
∴ −y1＝2y2，
解得y1＝2，y2＝-，
∴ x1+x2＝+＝+＝，
∴ |AB|＝x1+x2+p＝+2＝
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
抛物线E:y2＝2px的焦点F（，0)，设P（，y0)，
因为＝(2，−4），所以，
又p>0，解得y0＝4，p＝8，
所以P(2，4），抛物线的方程为y2＝16x；
当直线l的斜率不存在时，l与抛物线有两个交点，故舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+4−2k，代入抛物线的方程，消去x，
可得ky2−16y−32k+64＝0，
若k＝0，此时直线l:y＝4与抛物线只有一个交点；
若k≠0，则△＝256−4k(−32k+64）＝0，解得k＝，
综上可得，直线l的方程为y＝4或y＝x+2．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）求得F，设P（，y0)，由向量的坐标解得p和y0，可得所求；
（2）讨论直线l的斜率不存在和存在，求得直线方程，联立抛物线方程，计算可得所求方程．
【解答】
抛物线E:y2＝2px的焦点F（，0)，设P（，y0)，
因为＝(2，−4），所以，
又p>0，解得y0＝4，p＝8，
所以P(2，4），抛物线的方程为y2＝16x；
当直线l的斜率不存在时，l与抛物线有两个交点，故舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+4−2k，代入抛物线的方程，消去x，
可得ky2−16y−32k+64＝0，
若k＝0，此时直线l:y＝4与抛物线只有一个交点；
若k≠0，则△＝256−4k(−32k+64）＝0，解得k＝，
综上可得，直线l的方程为y＝4或y＝x+2．
【答案】
因为椭圆C1的离心率为，所以设其方程为，0)，
令x＝c解得y＝，所以AB＝3c，
又抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F(c, 0)重合​8＝4cx，
令x＝c解得y＝±2c，所以CD＝5c，
故；
由，消去y得：4x2+16cx−12c2＝3，解得x＝，
所以M（），
因为OM＝，所以，
所以c＝5，
即椭圆方程为，抛物线方程为y5＝4x．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设椭圆C的方程为(a>b>0)，焦距为2c，
由题意可知，解得，
∴ 椭圆C的方程为：；
证明：联立方程，消去x得：(t2+2)y2+2mty+m2−2＝0，
由△>0得，m2b>0)，焦距为2c，
由题意可知，解得，
∴ 椭圆C的方程为：；
证明：联立方程，消去x得：(t2+2)y2+2mty+m2−2＝0，
由△>0得，m20恒成立，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则，，
由kAM+kAN＝−k，得，即，
又∵ k≠0，∴ ，
∴ x1x2+(x1+x2)＝0，
∴ ，
整理得k2＝1，
解得k＝±1．
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）先求出椭圆的方程，设M(x0, y0)，N(−x0, −y0)，根据kAM+kAN＝−2k 可得，代入椭圆方程求出＝，从而求出弦长|MN|；
（2）直线l方程为y＝k(x−1)，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入kAM+kAN＝−k，即可求出k的值．
【解答】
由题意可知，解得，
∴ 椭圆C的方程为：，
设M(x0, y0)，N(−x0, −y0)，易知直线l的方程为y＝kx，
由kAM+kAN＝−2k，得，即，
∵ k≠0，∴ ，
解得，代入椭圆方程得，
∴ ；
直线l方程为y＝k(x−1)，
联立方程，消去y得：(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12＝0，
∴ △＝64k4−4(3+4k2)(4k2−12)＝144+144k2>0恒成立，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则，，
由kAM+kAN＝−k，得，即，
又∵ k≠0，∴ ，
∴ x1x2+(x1+x2)＝0，
∴ ，
整理得k2＝1，
解得k＝±1．
【答案】
设焦距为2c，因为M(0, 1)，N(0, −1)，且△MNF为等边三角形，
所以c＝，
又2a＝2，所以a＝，b2＝c2−a2＝1，
所以双曲线方程为；
当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+1，
联立方程，消去y得：(1−2k2)x2−4kx−4＝0，
设P(x1, y1 )，Q(x2, y2)，
则，，
因为直线l与双曲线E的左右两支分别交于两点，所以，解得，
∴ ＝|x1−x2|＝＝4，，
令t＝，
则S＝，
因为y＝2t−在（，1]上单调递增，
所以当t＝1时，y取得最大值1，
故当t＝1时，S取得最小值，其为4，
即S∈[4, +∞)．
【考点】
直线与双曲线的位置关系
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
（1）由题意可知c＝，再利用2a＝2和b2＝c2−a2＝1，即可求出a，b，c的值，从而得到双曲线E的方程；
（2）当直线l的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+1，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到
S△PQN＝4，由 求出k的取值范围，从而求出S△PQN的取值范围．
【解答】
设焦距为2c，因为M(0, 1)，N(0, −1)，且△MNF为等边三角形，
所以c＝，
又2a＝2，所以a＝，b2＝c2−a2＝1，
所以双曲线方程为；
当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+1，
联立方程，消去y得：(1−2k2)x2−4kx−4＝0，
设P(x1, y1 )，Q(x2, y2)，
则，，
因为直线l与双曲线E的左右两支分别交于两点，所以，解得，
∴ ＝|x1−x2|＝＝4，，
令t＝，
则S＝，
因为y＝2t−在（，1]上单调递增，
所以当t＝1时，y取得最大值1，
故当t＝1时，S取得最小值，其为4，
即S∈[4, +∞)．
【答案】
由F(1, 0)，可得＝1即p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，
设A（，y1)，由题意可得切线的斜率一定存在，设为k，
由消去x，可得ky2−4y+4y1−ky12＝0，
因为直线与抛物线相切，可得△＝16−4k(4y1−ky12)＝0，解得k＝，
此时切线的方程为y−y1＝(x−），即y＝x+，①
同理设B（，y2)，另一条切线的方程为y＝x+②，
将①②联立方程组，解得yM＝，
所以A，M，B三点的纵坐标成等差数列；
设AB的中点为Q，连接MQ，过M作MN⊥AB，垂足为N，
则MN≤MQ＝-＝-＝，
设直线AB的方程为x＝my+t，(m≠0)，
则|AB|＝|y1−y2|＝a，所以|y1−y2|≤a，
即MN≤MQ＝≤，
所以△ABM的面积S＝AB⋅NM≤a⋅MQ＝＝．
即△ABM的面积的最大值为．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
等差数列的通项公式
【解析】
（1）求得抛物线的方程，设A（，y1)，B（，y2)，设切线方程，与抛物线的方程联立，运用判别式为0，可得切线的斜率，联立两切线方程，求得交点的纵坐标，即可得证；
（2）设AB的中点为Q，连接MQ，过M作MN⊥AB，垂足为N，设直线AB的方程为x＝my+t，(m≠0)，运用弦长公式，以及三角形的面积公式可得证明．
【解答】
由F(1, 0)，可得＝1即p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，
设A（，y1)，由题意可得切线的斜率一定存在，设为k，
由消去x，可得ky2−4y+4y1−ky12＝0，
因为直线与抛物线相切，可得△＝16−4k(4y1−ky12)＝0，解得k＝，
此时切线的方程为y−y1＝(x−），即y＝x+，①
同理设B（，y2)，另一条切线的方程为y＝x+②，
将①②联立方程组，解得yM＝，
所以A，M，B三点的纵坐标成等差数列；
设AB的中点为Q，连接MQ，过M作MN⊥AB，垂足为N，
则MN≤MQ＝-＝-＝，
设直线AB的方程为x＝my+t，(m≠0)，
则|AB|＝|y1−y2|＝a，所以|y1−y2|≤a，
即MN≤MQ＝≤，
所以△ABM的面积S＝AB⋅NM≤a⋅MQ＝＝．
即△ABM的面积的最大值为．