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2020-2021学年内蒙古某校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）人教A版
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这是一份2020-2021学年内蒙古某校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“∀x∈R，ex>x2的否定是（ ）
A.∀x∈R，exC.∃x0∈R，ex0>x02D.∃x0∈R，ex0≤x02
2. 已知命题“存在x∈{x|0A.(−∞, 0]∪[6, +∞)B.(−∞, 0)∪(6, +∞)C.(−∞, 0)∪[6, +∞)D.(−∞, 0]∪(6, +∞)
3. 设x∈R，则“x2>4”是“2x>4”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 已知函数f(x)＝x3+ax在x＝1处的切线与直线x+4y＝0垂直，则实数a等于（ ）
A.2B.1C.−1D.−2
5. 在平面内，到直线x＝−2与到定点P(2, 0)的距离相等的点的轨迹是（ ）
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线
6. 已知双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，则双曲线C1的离心率为（ ）
A.54B.5C.5D.52
7. 若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2m2−y2n2=1(m, n>0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1⋅PF2的值是（ ）
A.a−mB.12(a2−m)C.a2−mD.a2−m2
8. 已知函数f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.
9. 已知直线l:x−y+3＝0与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点P(1, 4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A.y＝±4xB.y=±14xC.y=±12xD.y＝±2x
10. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A.3B.4C.5D.7
11. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2=3x
12. 设函数f(x)=alnx+bx2(a>0，b>0)，若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y−2e=0垂直，则1a+1b的最小值为( )
A.1B.12C.3−22D.3+22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
方程x2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
已知f(x)＝x3+2xf′(0)，则f′(1)＝________．
若圆(x−4)2+y2＝4与双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相切，则双曲线C的离心率为________．
已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27−y29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=2|AF|，则△AFK的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=32,b=10,B=π4．
(Ⅰ)求sinA的大小；
(Ⅱ)求边c和△ABC的面积．
已知等差数列{an}中，a1＝2，a3+a5＝16．
（1）求an；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=4anan+1，求证：Tn<1．
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB＝120∘，AC＝2，BC＝4，AA1＝6，D为线段AB的中点，E为线段BB1的中点，F为线段A1C的中点．
（1）证明：EF // 平面ABC；
（2）求三棱锥A1−B1CD的体积．
已知函数f(x)=lnxx−1．
（1）求函数在点（1, f(1)）处的切线方程．
（2）试判断函数f(x)的单调性；
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，直线y＝x交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足|PA→+PB→|=4．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线y＝kx+m(k≠0, m≠0)与椭圆C交于不同两点M、N，且定点Q(0,−12)满足|MQ→|=|NQ→|，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P(−2,33)，直线l与曲线C有不同的两个交点分别为A，B，求1|PA|+1|PB|的值．
已知函数f(x)＝|2x−1|+|x+2|．
(Ⅰ)求不等式f(x)>4的解集；
(Ⅱ)若f(x)的最小值为m，且实数a，b满足3a−4b＝2m，求(a−2)2+(b+1)2的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年内蒙古某校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称量词命题的否定的为存在量词命题，进行求解即可．
【解答】
命题“∀x∈R，ex>x2”为全称量词命题，
所以命题“∀x∈R，ex>x2”的否定是存在量词命题：∃x0∈R，ex0≤x02．
2.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据条件进行转化，由等式2x−m＝0求出m＝2x在x∈{x|0【解答】
由2x−m＝0，得m＝2x，因为0若命题“存在x∈{x|0即实数m的取值集合为(−∞, 0]∪[6, +∞)．
3.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
由x2>4，可得x>2或x<−2，由2x>4，得x>2，根据充分条件和必要条件的定义，结合包含关系即可得到结论．
【解答】
由x2>4，得x>2或x<−2，
由2x>4，得x>2，
因为x>2或x<−2不能推出x>2，x>2能推出x>2或x<−2．
所以“x2>4”是“2x>4”的必要不充分条件．
4.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．
【解答】
f(x)＝x3+ax的导数为f′(x)＝3x2+a，
可得函数f(x)＝x3+ax在x＝1处的切线斜率为3+a，
由切线与直线x+4y＝0垂直，可得(3+a)⋅(−14)＝−1，
解得a＝1，
5.
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线的轨迹问题
【解析】
确定M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，即可得出结论．
【解答】
动点M到定点P(2, 0)的距离与到定直线l:x＝−2的距离相等，
所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，列出方程求出m，然后求出C1的离心率．
【解答】
双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，
可得8−m=2，解得m＝−2，此时双曲线C1:y28−x22=1，则双曲线C1的离心率为：2+822=52．
7.
【答案】
D
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
设P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，运用椭圆和双曲线的定义，可得s，t的方程，解方程求得s，t，可得所求乘积．
【解答】
设P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，
由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s−t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a−m，
则st＝a2−m2，
8.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数的导数的图象判断函数的导数符号，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】
观察函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(1, 2)上是增函数，
其余部分递减，
9.
【答案】
D
【考点】
直线与双曲线的位置关系
【解析】
利用点差法求出ba=2，故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2＝2，y1+y2＝8，y1−y2x1−x2=1，
因为A，B两点在双曲线C上，所以x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ，所以x12−x22a2−y12−y22b2=0，
则b2a2=y12−y22x12−x22=(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=82×1=4，即ba=2，
故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x，
10.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的定义，将d1+d2的取值转化为点到直线的距离即可求解．
【解答】
因为抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，
所以过焦点F作直线4x−3y+16＝0的垂线，
则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：
所以(d1+d2)min=|4−0+16|42+32=4
故选：B．
11.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|＝a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【解答】
如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30∘，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p=12|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
基本不等式在最值问题中的应用
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a，b的关系式，再由基本不等式可得所求最小值．
【解答】
解：函数f(x)=alnx+bx2的导数为f′(x)=ax+2bx，
可得函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为a+2b，
由切线与直线x+y−2e=0垂直，
可得a+2b=1，(a>0，b>0)，
则1a+1b=(a+2b)(1a+1b)
=1+2+ab+2ba≥3+2ab⋅2ba=3+22，
当且仅当ab=2ba即a=2b=2−1时，取得等号，
则1a+1b的最小值为3+22.
故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
(7, 10)
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆方程，结合椭圆的性质列出不等式组求解即可．
【解答】
方程x2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆，k−4>10−k10−k>0 ，解得7【答案】
3
【考点】
导数的运算
【解析】
求出导函数f′(x)＝3x2+2f′(0)，然后求出f′(0)＝0，再求出f′(1)的值．
【解答】
f′(x)＝3x2+2f′(0)，
∴ f′(0)＝2f′(0)，解得f′(0)＝0，
∴ f′(x)＝3x2，∴ f′(1)＝3．
故答案为：3．
【答案】
2
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
双曲线的渐近线方程为ax−by＝0，由圆心到直线的距离等于半径得出b2a2=3，最后根据离心率的概念得出结果．
【解答】
设双曲线的一条渐近线为y=abx，即ax−by＝0
因为其与圆(x−4)2+y2＝4相切，故|4a|a2+b2=2
整理可得b2a2=3，故离心率为e=1+b2a2=2，
【答案】
32
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
由双曲线x27−y29=1得右焦点为(4, 0)即为抛物线y2＝2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|．可得|AK|=2|AM|．可得|KF|＝|AF|．进而得到面积．
【解答】
由双曲线x27−y29=1得右焦点为(4, 0)即为抛物线y2＝2px的焦点，∴ p2=4，解得p＝8．
∴ 抛物线的方程为y2＝16x．
其准线方程为x＝−4，∴ K(−4, 0)．
过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|．
∴ |AK|=2|AM|．
∴ ∠MAK＝45∘．
∴ |KF|＝|AF|．
∴ △AFK的面积为12|KF|2＝32．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
【答案】
（1）因为a=32,b=10,B=π4，asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb=32×2210=31010．
（2）因为b2＝a2+c2−2accsB，
所以10=18+c2−2×32×c×22，
得c2−6c+8＝0，即(c−2)(c−4)＝0，所以c＝2或c＝4，
当c＝4时，a>c>b，所以A>C>B，
因为csA=b2+c2−a22bc=10+16−182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因为三角形是钝角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理计算可得；
(Ⅱ)首先由余弦定理求出边c，再利用面积公式计算可得．
【解答】
（1）因为a=32,b=10,B=π4，asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb=32×2210=31010．
（2）因为b2＝a2+c2−2accsB，
所以10=18+c2−2×32×c×22，
得c2−6c+8＝0，即(c−2)(c−4)＝0，所以c＝2或c＝4，
当c＝4时，a>c>b，所以A>C>B，
因为csA=b2+c2−a22bc=10+16−182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因为三角形是钝角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【答案】
设等差数列{an}的公差为d，
∵ a3+a5＝2a4＝16，
∴ a4＝8＝a1+3d，
∴ d＝2，∴ an＝2+(n−1)2＝2n；
证明：∵ bn=4anan+1=42n.2(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1<1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）根据a1＝2，a3+a5＝16，列方程求出公差，从而可得答案；
（2）由（1）可知bn=4anan+1=1n−1n+1，利用裂项相消法求和、结合放缩法可得答案．
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，
∵ a3+a5＝2a4＝16，
∴ a4＝8＝a1+3d，
∴ d＝2，∴ an＝2+(n−1)2＝2n；
证明：∵ bn=4anan+1=42n.2(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1<1．
【答案】
取AC的中点为G，分别连接GF，BG．
又∵ F为线段A1C的中点，∴ AA1 // GF，且AA1＝2GF．
∵ BB1＝2BE，据三棱柱ABC−A1B1C1的性质知，BB1 // AA1，BB1＝AA1，
∴ GF // BE，且GF＝BE，
∴ 四边形BEFG为平行四边形，
∴ EF // BG．
又∵ BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴ EF // 平面ABC．
据题设知，S△ABC=12×2×4×sin120=23，
∵ VABC−A1B1C1=23×6=123．
又∵ VA1−ACD=VB1−BCD=13×12×23×6=23，
∴ VC−A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱锥A1−B1CD的体积：
V=123−23−23−43=43．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面平行
【解析】
（1）取AC的中点G，分别连接GF，BG，可得四边形BEFG为平行四边形，从而得证；
（2）求出棱柱的体积，利用分割的方法，求出VA1−ACD=VB1−BCD，VC−A1B1C1即可求解．
【解答】
取AC的中点为G，分别连接GF，BG．
又∵ F为线段A1C的中点，∴ AA1 // GF，且AA1＝2GF．
∵ BB1＝2BE，据三棱柱ABC−A1B1C1的性质知，BB1 // AA1，BB1＝AA1，
∴ GF // BE，且GF＝BE，
∴ 四边形BEFG为平行四边形，
∴ EF // BG．
又∵ BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴ EF // 平面ABC．
据题设知，S△ABC=12×2×4×sin120=23，
∵ VABC−A1B1C1=23×6=123．
又∵ VA1−ACD=VB1−BCD=13×12×23×6=23，
∴ VC−A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱锥A1−B1CD的体积：
V=123−23−23−43=43．
【答案】
由题可知：f′(x)=1−lnxx2；
所以：f′(1)＝1，f(1)＝−1；
∴ 函数在点（1, f(1)）处的切线方程为：y−(−1)＝x−1即：y＝x−2．
因为函数的定义域(0, +∞)
且f′(x)=1−lnxx2；
令f′(x)=1−lnxx2>0得0f′(x)=1−lnxx2<0得x>e，
因此函数单调增区间是(0, e)，单调减区间是(e, +∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据已知条件先求出其导函数，
（1）根据其导函数求出切线的斜率，进而求出结论．
（2）根据导函数的正负即可判断其单调性．
【解答】
由题可知：f′(x)=1−lnxx2；
所以：f′(1)＝1，f(1)＝−1；
∴ 函数在点（1, f(1)）处的切线方程为：y−(−1)＝x−1即：y＝x−2．
因为函数的定义域(0, +∞)
且f′(x)=1−lnxx2；
令f′(x)=1−lnxx2>0得0f′(x)=1−lnxx2<0得x>e，
因此函数单调增区间是(0, e)，单调减区间是(e, +∞)．
【答案】
（1）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|＝4，则a＝2，…
由e=ca=32，所以c=3，b＝1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1 ，整理得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4＝0，
则△＝64k2m2−4(4k2+1)(4m2−4)>0，即4k2>m2−1，且x1+x2=−8km4k2+1，
又设MN中点D的坐标为(xD, yD)，
因为|MQ→|=|NQ→|，所以DQ⊥MN，即yD+12xD=−1k，
又xD=x1+x22=−4km4k2+1，yD＝kxD+m=m4k2+1，
所以6m−1＝4k2，故6m−1>0，且6m−1>m2−1，故16∴ m的取值范围(16, 6)．
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
(Ⅰ)根据向量的运算，求得a＝2，利用椭圆的离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及△>0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得6m−1＝4k2，即可求得6m−1>m2−1，求得m的取值范围．
【解答】
（1）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|＝4，则a＝2，…
由e=ca=32，所以c=3，b＝1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1 ，整理得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4＝0，
则△＝64k2m2−4(4k2+1)(4m2−4)>0，即4k2>m2−1，且x1+x2=−8km4k2+1，
又设MN中点D的坐标为(xD, yD)，
因为|MQ→|=|NQ→|，所以DQ⊥MN，即yD+12xD=−1k，
又xD=x1+x22=−4km4k2+1，yD＝kxD+m=m4k2+1，
所以6m−1＝4k2，故6m−1>0，且6m−1>m2−1，故16∴ m的取值范围(16, 6)．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
【答案】
根据x2+y2＝ρ2，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．
直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．转换为直角坐标方程为3x+y−3=0．
由于点P(−2,33)在直线l上，转换为参数方程为x=−2−12ty=33+32t （t为参数），
代入x2+y2＝4得到：t2+11t+27＝0，
所以t1+t2＝−11，t1t2＝27，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=1127
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
【解析】
（1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】
根据x2+y2＝ρ2，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．
直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．转换为直角坐标方程为3x+y−3=0．
由于点P(−2,33)在直线l上，转换为参数方程为x=−2−12ty=33+32t （t为参数），
代入x2+y2＝4得到：t2+11t+27＝0，
所以t1+t2＝−11，t1t2＝27，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=1127
【答案】
（1）f(x)＝|2x−1|+|x+2|=−3x−1,x≤−2−x+3,−2由f(x)>4，得x≤−2−3x−1>4 或−24 或x≥12,3x+1>4, ，
∴ x≤−2或−21，∴ x<−1或x>1，
∴ 不等式的解集为{x|x<−1或x>1}．
（2）由(Ⅰ)知f(x)min=f(12)=3×12+1=52，∴ m=52，
∴ 3a−4b＝2m＝5，即3a−4b−5＝0，
∵ 点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d=|2×3−4×(−1)−5|32+(−4)2=1，
∴ (a−2)2+(b+1)2的最小值为d2＝1．
【考点】
函数的最值及其几何意义
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)>4，利用零点分段法解不等式即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m=52，然后求出点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d，从而得到(a−2)2+(b+1)2的最小值为d2．
【解答】
（1）f(x)＝|2x−1|+|x+2|=−3x−1,x≤−2−x+3,−2由f(x)>4，得x≤−2−3x−1>4 或−24 或x≥12,3x+1>4, ，
∴ x≤−2或−21，∴ x<−1或x>1，
∴ 不等式的解集为{x|x<−1或x>1}．
（2）由(Ⅰ)知f(x)min=f(12)=3×12+1=52，∴ m=52，
∴ 3a−4b＝2m＝5，即3a−4b−5＝0，
∵ 点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d=|2×3−4×(−1)−5|32+(−4)2=1，
∴ (a−2)2+(b+1)2的最小值为d2＝1．
1. 命题“∀x∈R，ex>x2的否定是（ ）
A.∀x∈R，ex
2. 已知命题“存在x∈{x|0
3. 设x∈R，则“x2>4”是“2x>4”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 已知函数f(x)＝x3+ax在x＝1处的切线与直线x+4y＝0垂直，则实数a等于（ ）
A.2B.1C.−1D.−2
5. 在平面内，到直线x＝−2与到定点P(2, 0)的距离相等的点的轨迹是（ ）
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线
6. 已知双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，则双曲线C1的离心率为（ ）
A.54B.5C.5D.52
7. 若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2m2−y2n2=1(m, n>0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1⋅PF2的值是（ ）
A.a−mB.12(a2−m)C.a2−mD.a2−m2
8. 已知函数f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.
9. 已知直线l:x−y+3＝0与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点P(1, 4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A.y＝±4xB.y=±14xC.y=±12xD.y＝±2x
10. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A.3B.4C.5D.7
11. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2=3x
12. 设函数f(x)=alnx+bx2(a>0，b>0)，若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y−2e=0垂直，则1a+1b的最小值为( )
A.1B.12C.3−22D.3+22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
方程x2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
已知f(x)＝x3+2xf′(0)，则f′(1)＝________．
若圆(x−4)2+y2＝4与双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相切，则双曲线C的离心率为________．
已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27−y29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=2|AF|，则△AFK的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=32,b=10,B=π4．
(Ⅰ)求sinA的大小；
(Ⅱ)求边c和△ABC的面积．
已知等差数列{an}中，a1＝2，a3+a5＝16．
（1）求an；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=4anan+1，求证：Tn<1．
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB＝120∘，AC＝2，BC＝4，AA1＝6，D为线段AB的中点，E为线段BB1的中点，F为线段A1C的中点．
（1）证明：EF // 平面ABC；
（2）求三棱锥A1−B1CD的体积．
已知函数f(x)=lnxx−1．
（1）求函数在点（1, f(1)）处的切线方程．
（2）试判断函数f(x)的单调性；
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，直线y＝x交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足|PA→+PB→|=4．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线y＝kx+m(k≠0, m≠0)与椭圆C交于不同两点M、N，且定点Q(0,−12)满足|MQ→|=|NQ→|，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P(−2,33)，直线l与曲线C有不同的两个交点分别为A，B，求1|PA|+1|PB|的值．
已知函数f(x)＝|2x−1|+|x+2|．
(Ⅰ)求不等式f(x)>4的解集；
(Ⅱ)若f(x)的最小值为m，且实数a，b满足3a−4b＝2m，求(a−2)2+(b+1)2的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年内蒙古某校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称量词命题的否定的为存在量词命题，进行求解即可．
【解答】
命题“∀x∈R，ex>x2”为全称量词命题，
所以命题“∀x∈R，ex>x2”的否定是存在量词命题：∃x0∈R，ex0≤x02．
2.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据条件进行转化，由等式2x−m＝0求出m＝2x在x∈{x|0
由2x−m＝0，得m＝2x，因为0
3.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
由x2>4，可得x>2或x<−2，由2x>4，得x>2，根据充分条件和必要条件的定义，结合包含关系即可得到结论．
【解答】
由x2>4，得x>2或x<−2，
由2x>4，得x>2，
因为x>2或x<−2不能推出x>2，x>2能推出x>2或x<−2．
所以“x2>4”是“2x>4”的必要不充分条件．
4.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．
【解答】
f(x)＝x3+ax的导数为f′(x)＝3x2+a，
可得函数f(x)＝x3+ax在x＝1处的切线斜率为3+a，
由切线与直线x+4y＝0垂直，可得(3+a)⋅(−14)＝−1，
解得a＝1，
5.
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线的轨迹问题
【解析】
确定M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，即可得出结论．
【解答】
动点M到定点P(2, 0)的距离与到定直线l:x＝−2的距离相等，
所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，列出方程求出m，然后求出C1的离心率．
【解答】
双曲线C1:x2m+y28=1与双曲线C2:x2−y24=1有相同的渐近线，
可得8−m=2，解得m＝−2，此时双曲线C1:y28−x22=1，则双曲线C1的离心率为：2+822=52．
7.
【答案】
D
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
设P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，运用椭圆和双曲线的定义，可得s，t的方程，解方程求得s，t，可得所求乘积．
【解答】
设P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，
由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s−t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a−m，
则st＝a2−m2，
8.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数的导数的图象判断函数的导数符号，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】
观察函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(1, 2)上是增函数，
其余部分递减，
9.
【答案】
D
【考点】
直线与双曲线的位置关系
【解析】
利用点差法求出ba=2，故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2＝2，y1+y2＝8，y1−y2x1−x2=1，
因为A，B两点在双曲线C上，所以x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ，所以x12−x22a2−y12−y22b2=0，
则b2a2=y12−y22x12−x22=(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=82×1=4，即ba=2，
故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x，
10.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的定义，将d1+d2的取值转化为点到直线的距离即可求解．
【解答】
因为抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，
所以过焦点F作直线4x−3y+16＝0的垂线，
则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：
所以(d1+d2)min=|4−0+16|42+32=4
故选：B．
11.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|＝a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【解答】
如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30∘，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p=12|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
基本不等式在最值问题中的应用
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a，b的关系式，再由基本不等式可得所求最小值．
【解答】
解：函数f(x)=alnx+bx2的导数为f′(x)=ax+2bx，
可得函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为a+2b，
由切线与直线x+y−2e=0垂直，
可得a+2b=1，(a>0，b>0)，
则1a+1b=(a+2b)(1a+1b)
=1+2+ab+2ba≥3+2ab⋅2ba=3+22，
当且仅当ab=2ba即a=2b=2−1时，取得等号，
则1a+1b的最小值为3+22.
故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
(7, 10)
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆方程，结合椭圆的性质列出不等式组求解即可．
【解答】
方程x2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆，k−4>10−k10−k>0 ，解得7
3
【考点】
导数的运算
【解析】
求出导函数f′(x)＝3x2+2f′(0)，然后求出f′(0)＝0，再求出f′(1)的值．
【解答】
f′(x)＝3x2+2f′(0)，
∴ f′(0)＝2f′(0)，解得f′(0)＝0，
∴ f′(x)＝3x2，∴ f′(1)＝3．
故答案为：3．
【答案】
2
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
双曲线的渐近线方程为ax−by＝0，由圆心到直线的距离等于半径得出b2a2=3，最后根据离心率的概念得出结果．
【解答】
设双曲线的一条渐近线为y=abx，即ax−by＝0
因为其与圆(x−4)2+y2＝4相切，故|4a|a2+b2=2
整理可得b2a2=3，故离心率为e=1+b2a2=2，
【答案】
32
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
由双曲线x27−y29=1得右焦点为(4, 0)即为抛物线y2＝2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|．可得|AK|=2|AM|．可得|KF|＝|AF|．进而得到面积．
【解答】
由双曲线x27−y29=1得右焦点为(4, 0)即为抛物线y2＝2px的焦点，∴ p2=4，解得p＝8．
∴ 抛物线的方程为y2＝16x．
其准线方程为x＝−4，∴ K(−4, 0)．
过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|．
∴ |AK|=2|AM|．
∴ ∠MAK＝45∘．
∴ |KF|＝|AF|．
∴ △AFK的面积为12|KF|2＝32．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
【答案】
（1）因为a=32,b=10,B=π4，asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb=32×2210=31010．
（2）因为b2＝a2+c2−2accsB，
所以10=18+c2−2×32×c×22，
得c2−6c+8＝0，即(c−2)(c−4)＝0，所以c＝2或c＝4，
当c＝4时，a>c>b，所以A>C>B，
因为csA=b2+c2−a22bc=10+16−182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因为三角形是钝角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理计算可得；
(Ⅱ)首先由余弦定理求出边c，再利用面积公式计算可得．
【解答】
（1）因为a=32,b=10,B=π4，asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb=32×2210=31010．
（2）因为b2＝a2+c2−2accsB，
所以10=18+c2−2×32×c×22，
得c2−6c+8＝0，即(c−2)(c−4)＝0，所以c＝2或c＝4，
当c＝4时，a>c>b，所以A>C>B，
因为csA=b2+c2−a22bc=10+16−182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因为三角形是钝角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【答案】
设等差数列{an}的公差为d，
∵ a3+a5＝2a4＝16，
∴ a4＝8＝a1+3d，
∴ d＝2，∴ an＝2+(n−1)2＝2n；
证明：∵ bn=4anan+1=42n.2(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1<1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）根据a1＝2，a3+a5＝16，列方程求出公差，从而可得答案；
（2）由（1）可知bn=4anan+1=1n−1n+1，利用裂项相消法求和、结合放缩法可得答案．
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，
∵ a3+a5＝2a4＝16，
∴ a4＝8＝a1+3d，
∴ d＝2，∴ an＝2+(n−1)2＝2n；
证明：∵ bn=4anan+1=42n.2(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1<1．
【答案】
取AC的中点为G，分别连接GF，BG．
又∵ F为线段A1C的中点，∴ AA1 // GF，且AA1＝2GF．
∵ BB1＝2BE，据三棱柱ABC−A1B1C1的性质知，BB1 // AA1，BB1＝AA1，
∴ GF // BE，且GF＝BE，
∴ 四边形BEFG为平行四边形，
∴ EF // BG．
又∵ BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴ EF // 平面ABC．
据题设知，S△ABC=12×2×4×sin120=23，
∵ VABC−A1B1C1=23×6=123．
又∵ VA1−ACD=VB1−BCD=13×12×23×6=23，
∴ VC−A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱锥A1−B1CD的体积：
V=123−23−23−43=43．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面平行
【解析】
（1）取AC的中点G，分别连接GF，BG，可得四边形BEFG为平行四边形，从而得证；
（2）求出棱柱的体积，利用分割的方法，求出VA1−ACD=VB1−BCD，VC−A1B1C1即可求解．
【解答】
取AC的中点为G，分别连接GF，BG．
又∵ F为线段A1C的中点，∴ AA1 // GF，且AA1＝2GF．
∵ BB1＝2BE，据三棱柱ABC−A1B1C1的性质知，BB1 // AA1，BB1＝AA1，
∴ GF // BE，且GF＝BE，
∴ 四边形BEFG为平行四边形，
∴ EF // BG．
又∵ BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴ EF // 平面ABC．
据题设知，S△ABC=12×2×4×sin120=23，
∵ VABC−A1B1C1=23×6=123．
又∵ VA1−ACD=VB1−BCD=13×12×23×6=23，
∴ VC−A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱锥A1−B1CD的体积：
V=123−23−23−43=43．
【答案】
由题可知：f′(x)=1−lnxx2；
所以：f′(1)＝1，f(1)＝−1；
∴ 函数在点（1, f(1)）处的切线方程为：y−(−1)＝x−1即：y＝x−2．
因为函数的定义域(0, +∞)
且f′(x)=1−lnxx2；
令f′(x)=1−lnxx2>0得0
因此函数单调增区间是(0, e)，单调减区间是(e, +∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据已知条件先求出其导函数，
（1）根据其导函数求出切线的斜率，进而求出结论．
（2）根据导函数的正负即可判断其单调性．
【解答】
由题可知：f′(x)=1−lnxx2；
所以：f′(1)＝1，f(1)＝−1；
∴ 函数在点（1, f(1)）处的切线方程为：y−(−1)＝x−1即：y＝x−2．
因为函数的定义域(0, +∞)
且f′(x)=1−lnxx2；
令f′(x)=1−lnxx2>0得0
因此函数单调增区间是(0, e)，单调减区间是(e, +∞)．
【答案】
（1）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|＝4，则a＝2，…
由e=ca=32，所以c=3，b＝1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1 ，整理得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4＝0，
则△＝64k2m2−4(4k2+1)(4m2−4)>0，即4k2>m2−1，且x1+x2=−8km4k2+1，
又设MN中点D的坐标为(xD, yD)，
因为|MQ→|=|NQ→|，所以DQ⊥MN，即yD+12xD=−1k，
又xD=x1+x22=−4km4k2+1，yD＝kxD+m=m4k2+1，
所以6m−1＝4k2，故6m−1>0，且6m−1>m2−1，故16
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
(Ⅰ)根据向量的运算，求得a＝2，利用椭圆的离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及△>0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得6m−1＝4k2，即可求得6m−1>m2−1，求得m的取值范围．
【解答】
（1）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|＝4，则a＝2，…
由e=ca=32，所以c=3，b＝1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1 ，整理得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4＝0，
则△＝64k2m2−4(4k2+1)(4m2−4)>0，即4k2>m2−1，且x1+x2=−8km4k2+1，
又设MN中点D的坐标为(xD, yD)，
因为|MQ→|=|NQ→|，所以DQ⊥MN，即yD+12xD=−1k，
又xD=x1+x22=−4km4k2+1，yD＝kxD+m=m4k2+1，
所以6m−1＝4k2，故6m−1>0，且6m−1>m2−1，故16
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
【答案】
根据x2+y2＝ρ2，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．
直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．转换为直角坐标方程为3x+y−3=0．
由于点P(−2,33)在直线l上，转换为参数方程为x=−2−12ty=33+32t （t为参数），
代入x2+y2＝4得到：t2+11t+27＝0，
所以t1+t2＝−11，t1t2＝27，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=1127
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
【解析】
（1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】
根据x2+y2＝ρ2，曲线C的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．
直线l的参数方程为x=−2−ty=33+3t （t为参数）．转换为直角坐标方程为3x+y−3=0．
由于点P(−2,33)在直线l上，转换为参数方程为x=−2−12ty=33+32t （t为参数），
代入x2+y2＝4得到：t2+11t+27＝0，
所以t1+t2＝−11，t1t2＝27，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=1127
【答案】
（1）f(x)＝|2x−1|+|x+2|=−3x−1,x≤−2−x+3,−2
∴ x≤−2或−2
∴ 不等式的解集为{x|x<−1或x>1}．
（2）由(Ⅰ)知f(x)min=f(12)=3×12+1=52，∴ m=52，
∴ 3a−4b＝2m＝5，即3a−4b−5＝0，
∵ 点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d=|2×3−4×(−1)−5|32+(−4)2=1，
∴ (a−2)2+(b+1)2的最小值为d2＝1．
【考点】
函数的最值及其几何意义
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)>4，利用零点分段法解不等式即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m=52，然后求出点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d，从而得到(a−2)2+(b+1)2的最小值为d2．
【解答】
（1）f(x)＝|2x−1|+|x+2|=−3x−1,x≤−2−x+3,−2
∴ x≤−2或−2
∴ 不等式的解集为{x|x<−1或x>1}．
（2）由(Ⅰ)知f(x)min=f(12)=3×12+1=52，∴ m=52，
∴ 3a−4b＝2m＝5，即3a−4b−5＝0，
∵ 点(2, −1)到直线3x−4y−5＝0的距离d=|2×3−4×(−1)−5|32+(−4)2=1，
∴ (a−2)2+(b+1)2的最小值为d2＝1．
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