2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷 (1)人教A版，共12页。

1. 行列式的值等于________．

2. 过点(3, 5)与直线y＝x+m垂直的直线方程是________．

3. 抛物线x2＝2y的焦点到其准线的距离为________．

4. 双曲线x2−＝2的渐近线方程为________．

5. 长轴长为6，焦距为，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________．

6. 已知复数z满足z(2+i)=3+4i（i是虚数单位），则|z|=________．

7. 设双曲线的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF2|＝2，且sin∠PF2F1＝λsin∠PF1F2，则λ＝________．

8. 已知向量＝(3, 4)，＝(csθ, sinθ)，则|−2|的最大值为________．

9. 已知实数x，y满足x2+(y−2)2＝4，则的取值范围是________．

10. 已知点A(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，过点B(2, −2)的直线交抛物线C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1×k2等于________．

11. 设双曲线n2x2−(n+1)2y2＝1(n∈N∗)上动点P到定点Q(2, 0)的距离的最小值为dn，则的值为________．

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ的弦AB与CD分别垂直于x轴与y轴，且相交于点P．已知线段PA，PC，PB，PD的长分别为2，4，6，12，则△PF1F2的面积为________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

已知向量，，则“”是“x＝−1”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件

设变量x，y满足约束条件y≥xx+3y≤4x≥−2 ，则z＝|x−3y|的最大值为（ ）
A.10B.8C.6D.4

设a，b∈R，ab≠0，则直线ax−y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是( )
A.B.
C.D.

下面是对曲线C：＝1的一些结论，正确的结论是（ ）
①x的取值范围是[−2, 2]；
②曲线C是中心对称图形；
③曲线C上除点(0, ±1)，(±2, 0)外的其余所有点都在椭圆＝1的内部；
④过曲线C上任一点作y轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于π．
A.①②④B.②③④C.①②D.①③④
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(2, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是2．
（1）求曲线C的方程；

（2）求曲线C上的点P(x, y)到直线l:x−y+3＝0距离的最小值及此时点P的坐标．

设复数z＝a+bi(a, b∈R)．（其中i为虚数单位，且i2＝−1）
（1）若|z|2−2＝7+4i，求z；

（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+...+2020i2019+2021i2020，求a−b的值．

有一种大型商品，A、B两点都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍，已知A、B两地相距10千米，顾客购物的唯-标准是总费用较低，建立适当的平面直角坐标系．

（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程；

（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．

已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：有共同的焦点F1，F2，且双曲线的实轴长为2．
（1）求双曲线C2的标准方程；

（2）若曲线C1与C2在第一象限的交点为P，求证：∠F1PF2＝90∘．

（3）过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于的A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点．记△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的最小值．

已知椭圆，M(x1, y1)，N(x2, y2)是椭圆上的两个不同的点．
（1）若点A(1, 1)满足，求直线MN的方程；

（2）若M(x1, y1)，N(x2, y2)的坐标满足x1x2+2y1y2＝0，动点P满足（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

（3）若M，N在直线x−y+m＝0上，是否存在与m无关的定点T(x0, y0)，使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分.
1.
【答案】
0
【考点】
二阶行列式的定义
【解析】
根据行列式的计算方法计算即可．
【解答】
＝1×8−2×4＝0．
2.
【答案】
x+y−8＝0
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
利用垂直直线系方程设出所求直线方程，然后将点的坐标代入求解即可．
【解答】
因为所求直线与y＝x+m垂直，故设所求直线方程为y＝−x+b，
将点(3, 5)代入可得b＝8，
故所求直线方程为x+y−8＝0．
3.
【答案】
1
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】
抛物线x2＝2y的焦点到准线的距离为：p＝1．
4.
【答案】
y＝±2x
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线方程，真假求解渐近线方程即可．
【解答】
双曲线x2−＝2的渐近线方程为双曲线x2−＝0，
解得y＝±2x．
5.
【答案】
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆长轴长，焦距，求解b，然后求解椭圆方程即可．
【解答】
长轴长为6，焦距为，
可知a＝3，c＝，则b＝．
所以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为．
6.
【答案】
5
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由z(2+i)=3+4i，得z=3+4i2+i
所以|z|=|3+4i2+i|=55=5.
故答案为：5.
7.
【答案】
4
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
易知点P在双曲线的上支，再由双曲线的定义可求得|PF1|的长，然后结合正弦的面积公式与等面积法，得解．
【解答】
∵ |PF2|＝2<3，∴ 点P在双曲线的上支，
由双曲线的定义知，|PF1|−|PF2|＝2×3＝6，
∵ |PF2|＝2，∴ |PF1|＝8，
∵ ＝|PF2|⋅|F1F2|sin∠PF2F1＝|PF1|⋅|F1F2|sin∠PF1F2，
∴ ＝＝＝＝，
∴ λ＝4．
8.
【答案】
7
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，求出向量−2的坐标，由向量模的计算公式可得|−2|的表达式，结合三角函数的恒等变形公式分析可得答案．
【解答】
根据题意，向量＝(3, 4)，＝(csθ, sinθ)，
则−2＝(3−2csθ, 4−2sinθ)，
则有|−2|＝＝，
又由12csθ+16sinθ＝20sin(θ+α)，其中tanα＝，
则−20≤12csθ+16sinθ≤20，
则|−2|＝≤＝7，
即|−2|的最大值为7，
9.
【答案】
[−1, 3]
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
令z＝，化为直线方程的一般式，求出直线与圆相切时的z值，则的取值范围可求．
【解答】
圆x2+(y−2)2＝4的圆心坐标为(0, 2)，半径为2，
令z＝，则，
由，解得z＝−1或z＝3．
∴ 的取值范围是[−1, 3]，
10.
【答案】
−4
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
由题意将A的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的方程，设直线PQ的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AP，AQ的斜率之积．
【解答】
由题意将A的坐标代入抛物线的方程可得4＝2p，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x；
由题意可得直线AB 的斜率不为0，所以设直线PQ的方程为：x＝m(y+2)+2，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2−4my−8m−8＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝−8m−8，
由题意可得k1k2＝＝•
＝＝＝−4，
所以k1k2＝−4．
11.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
在原等式的两边同时除以n2，从而推出n→∞时，有y＝±x，故原问题可转化为点Q(2, 0)到直线y＝±x的距离，然后由点到直线的距离公式，得解．
【解答】
∵ n2x2−(n+1)2y2＝1，∴ x2−(1+）​2y2＝，
当n→∞时，→0，此时有x2−y2＝0，即：
原问题可转化为点Q(2, 0)到直线y＝±x的距离，
∴ ＝＝．
12.
【答案】
4
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
不妨设点P在第一象限内，根据线段PA，PC，PB，PD的长求出P点的坐标，然后求出点A和点C的坐标，代入椭圆方程求出a2，b2，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】
不妨设点P在第一象限内，
则由题意可知，，
故点P的坐标为(4, 2)，
由|PA|＝2，|PC|＝4，可得点A的坐标为(4, 4)，点C的坐标为(8, 2)，
代入椭圆方程可得，解得，
所以．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先利用向量平行的充要条件求出x的值，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可．
【解答】
若，则1×1−x×x＝0，解得x＝±1，
所以“”是“x＝−1”的必要非充分条件．
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，设z＝|x−3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝x−3y过可行域内的点A时，从而得到z＝|x−3y|的最大值即可．
【解答】
依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数z＝x−3y，
当直线经过A(−2, 2)时，
z＝|x−3y|，取到最大值，Zmax＝8．
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
先把曲线方程整理成x2a+y2b=1的形式，直线方程整理成y=ax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象．
【解答】
解：整理曲线的方程得x2a+y2b=1，整理直线方程得y=ax+b.
A选项中，观察直线图象可知，a<0，b>0，
则此时曲线方程应表示双曲线，故A错误；
B，D选项中，直线的斜率a>0，截距b<0，
则此时曲线方程应表示双曲线，且焦点在x轴上，故B正确，D错误；
C选项中，直线的斜率a<0，
则此时曲线方程一定不表示椭圆，故C错误．
故选B.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
由曲线C的方程可得x2≤4，可得−2≤x≤2，可判断①；将C中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可判断②；由不等式的性质可得曲线C上的点满足1≤+y2，可判断③；由中点坐标公式和代入法求得垂线段中点的轨迹方程，即可判断④．
【解答】
由曲线C：＝1可得≤1，即x2≤4，可得−2≤x≤2，故①正确；
将方程C中的x换为−x，y换为−y，方程不变，所以曲线C是中心对称图形，故②正确；
由x2≤4可得≤1，则＝1≤+y2，
可得曲线C上除点(0, ±1)，(±2, 0)外的其余所有点都在椭圆＝1的外部，故③错误；
设过曲线C上任一点P(m, n)，垂线段中点为M(x, y)，可得2x＝m，y＝n，
由+n2＝1，即为x4+y2＝1，由x4≤1，即x2≤1，
可得1＝x4+y2≤x2+y2，则垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不小于π．故④错误．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.
【答案】
设：曲线C(x, y)，C上每一点到点F(2, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是2．
可得，
化简整理可得：y2＝8x．
，
∴ y＝4，即P(2, 4)时，．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
轨迹方程
【解析】
（1）利用已知条件转化求解轨迹方程即可．
（2）利用点到直线的距离公式，求出表达式，然后求解最小值即可．
【解答】
设：曲线C(x, y)，C上每一点到点F(2, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是2．
可得，
化简整理可得：y2＝8x．
，
∴ y＝4，即P(2, 4)时，．
【答案】
由已知可得，a2+b2−2a+2bi＝7+4i，
∴ ，
解之得，或，
∴ z＝3+2i或z＝−1+2i
由复数相等的性质，可知，
．
∴ a−b＝2021．
另z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+...+2020i2019+2021i2020①
∴ zi＝1i+2i2+3i3+4i4+5i5+...+2020i2020+2021i2021②
∴ ①-②得：z(1−i)＝1+i+i2+i3+i4+...+i2020−2021i2021＝1−2020i
∴ ，
∴ a＝1011，b＝−1010，
∴ a−b＝2021．
【考点】
复数的运算
【解析】
（1）由已知可得，a2+b2−2a+2bi＝7+4i，根据复数相等即可得出．
（2）由复数相等的性质，即可得出a，b．
另解：利用“错位相减法”即可得出z，再利用复数相等即可得出结论．
【解答】
由已知可得，a2+b2−2a+2bi＝7+4i，
∴ ，
解之得，或，
∴ z＝3+2i或z＝−1+2i
由复数相等的性质，可知，
．
∴ a−b＝2021．
另z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+...+2020i2019+2021i2020①
∴ zi＝1i+2i2+3i3+4i4+5i5+...+2020i2020+2021i2021②
∴ ①-②得：z(1−i)＝1+i+i2+i3+i4+...+i2020−2021i2021＝1−2020i
∴ ，
∴ a＝1011，b＝−1010，
∴ a−b＝2021．
【答案】
以线段AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为(x，
则A(−5, 0)，3)，
则2a，化简可得：
3x3+3y2+50x+75＝7，即(x+）​2+y6＝，
故A、B两地的售货区域的分界线的方程为：即(x+）​2+y2＝，
由（1）知A，B两地购货区域的分界线是以C(−，为半径的圆，
所以在圆C上的居民从A，B两地购货总费用相等，
在圆C外的居民从B地购货便宜．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系，设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为(x, y)，假设在两地购货费用相同，建立等式关系化简即可求解；
（2）根据（1）的方程表示的图形即可求解．
【解答】
以线段AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为(x，
则A(−5, 0)，3)，
则2a，化简可得：
3x3+3y2+50x+75＝7，即(x+）​2+y6＝，
故A、B两地的售货区域的分界线的方程为：即(x+）​2+y2＝，
由（1）知A，B两地购货区域的分界线是以C(−，为半径的圆，
所以在圆C上的居民从A，B两地购货总费用相等，
在圆C外的居民从B地购货便宜．
【答案】
由已知可得，，
解之得，
双曲线C2的标准方程为．
证明：联立方程组，
解之得，
所以点，，
，，
，
∴ ∠F1PF2＝90∘．
当直线l的斜率不存在时，，|CD|＝1，此时，
当直线l的斜率存在时，设方程为，C(x1, y1)，D(x2, y2)，
代入椭圆方程得，
x1+x2＝，x1x2＝，
由弦长公式得|CD|＝＝＝，
把直线方程代入双曲线方程得，
所以，
∴ ，
综上可知，的最小值为．
【考点】
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）根据题意 可得的关于a，b的方程组，解方程组，可得a，b，进而可得双曲线的方程．
（2）联立曲线C1和C2的方程，可得P点坐标，再由向量的数量积可得＝0，即可得答案．
（3）当直线l的斜率不存在时，分别计算|AB|，|CD|，再计算＝即可得答案，当直线l的斜率存在时，设方程为，联立椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|CD|，同理联立双曲线的方程可得|AB|，再计算＝即可得答案．
【解答】
由已知可得，，
解之得，
双曲线C2的标准方程为．
证明：联立方程组，
解之得，
所以点，，
，，
，
∴ ∠F1PF2＝90∘．
当直线l的斜率不存在时，，|CD|＝1，此时，
当直线l的斜率存在时，设方程为，C(x1, y1)，D(x2, y2)，
代入椭圆方程得，
x1+x2＝，x1x2＝，
由弦长公式得|CD|＝＝＝，
把直线方程代入双曲线方程得，
所以，
∴ ，
综上可知，的最小值为．
【答案】
由已知可得，A(1, 1)是线段MN中点，
所以，
由已知，，
两式相减化简整理得，
所以，
直线MN的方程是x+2y−3＝0．
设P(x0, y0)，M(x1, y1)，N(x2, y2)，
由，可得，
由x1x2+2y1y2＝0②，
结合①②可得，，
又M，N是椭圆上的点，故，
所以，即．
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．
假设存在定点T(x0, y0)满足题意，
联立方程组消去y得，3x2+4mx+2m2−4＝0，
所以△>0，即m2<6且，
所以
＝
＝，
要使kAT+kBT为与m无关的常数，只能，
解之得或．
此时kMT+kNT＝0为与m无关的常数，
综上所述，存在定点或，
使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值0．
【考点】
轨迹方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）已知，可得，，再把点M，N坐标代入椭圆的方程，两式相减化简整理得kMN，进而可得直线MN的方程．
（2）设P(x0, y0)，M(x1, y1)，N(x2, y2)，由，可得坐标关系，再结合x1x2+2y1y2＝0，化简计算，即可得出关于x0，y0，之间的关系，进而可得答案．
（3）假设存在定点T(x0, y0)满足题意，联立直线x−y+m＝0与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算kMT+kNT，即可得出答案．
【解答】
由已知可得，A(1, 1)是线段MN中点，
所以，
由已知，，
两式相减化简整理得，
所以，
直线MN的方程是x+2y−3＝0．
设P(x0, y0)，M(x1, y1)，N(x2, y2)，
由，可得，
由x1x2+2y1y2＝0②，
结合①②可得，，
又M，N是椭圆上的点，故，
所以，即．
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．
假设存在定点T(x0, y0)满足题意，
联立方程组消去y得，3x2+4mx+2m2−4＝0，
所以△>0，即m2<6且，
所以
＝
＝，
要使kAT+kBT为与m无关的常数，只能，
解之得或．
此时kMT+kNT＝0为与m无关的常数，
综上所述，存在定点或，
使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值0．