2020-2021学年广西省桂林市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西省桂林市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. sin−60∘的值等于（ ）
A.−32B.32C.−12D.12

2. 已知点A3,6，B2,5，则向量AB→=（ ）
A.1,−1B.−1,−1C.5,11D.6,30

3. 已知圆C： x+12+y−22=4，则其圆心的坐标为（ ）
A.1,−2B.−1,−2C.−1,2D.1,2

4. 在空间直角坐标系中，已知A−1,2,−3，B3,0,−5，那么线段AB中点的坐标为( )
A.1,1,−4B.−1,−1,4C.2,2,−4D.2,2,4

5. 函数y=2sin2x+π4的最小正周期是（ ）
A.π3B.π2C.πD.2π

6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是( )

A.34B.1−π8C.π8D.1−π4

7. 若两个单位向量a→，b→的夹角为120∘ ，则|2a→+b→|=（ ）
A.2B.3C.3D.2

8. 要得到函数y=sin2x−π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位
C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )

A.5B.7C.9D.11

10. 函数fx=csxx−sinx的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.

11. 供电部门对某社区1000位居民2020年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)， 40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )

A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量不低于20度的有500人
C.12月份人均用电量为25度
D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为110

12. 由直线x−y+4=0上的点向圆x−12+y−12=1引切线，则切线长的最小值为( )
A.7B.3C.22D.22−1
二、填空题

若向量 a→=2,−1，b→=−1,1 ，则a→−2b→=________.

若角α是第二象限的角，且sinα=255，则csα=________.

在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60∘，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→=λAB→+μBC→，其中λ，μ∈R，则λ+μ等于________．

已知函数fx=2sin2x+φ,0<φ<π2，且fa=fb=0，对不同的x1,x2∈a,b，若fx1=fx2，有fx1+x2=3，则φ=________.
三、解答题

已知向量a→=x−1,x+1，b→=−2,1．
(1)若a→//b→，求x的值；

(2)若a→⊥b→，求|a→|．

已知0<α<π2，0<β<π2，sinα=45，csα+β=513．
(1)求tan2α的值；

(2)求csβ的值．

新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，治愈新冠肺炎的人数逐日增加．从3月1日至5日，5天内该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数y（人）与天数x（天）之间的关系如下表：
若在3月1日起的一段时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数y与天数x具有线性相关关系，且其线性回归方程y=bx+a过定点3,9， i=15xiyi=176，i=15xi2=55．
(1)求m的值和线性回归方程y=bx+a；

(2)预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？
参考公式：b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2 ，a=y¯−bx¯，x¯，y¯为样本平均值．

长时间用手机上网，会严重影响学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长（小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．

(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

(2)从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为b，求a>b的概率．

已知fx=2sin2π4+x2−1．
(1)求函数gx=f2x−π3的递增区间；

(2)是否存在实数k，使得不等式f2x+k−4fx+k−4fx+π2<3对任意x∈−π2,π2恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

平面直角坐标系xOy中，已知点P2,4，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q．
(1)若过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程；

(2)设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，证明：k1+k2为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省桂林市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
任意角的三角函数
【解析】
直接利用诱导公式求解即可.
【解答】
解：sin−60∘=−sin60∘=−32.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
根据向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标进行求解即可.
【解答】
解：点A3,6，B2,5，
则向量AB→=(2−3,5−6)=(−1,−1).
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
圆的标准方程
【解析】
利用圆的标准方程的性质求解．
【解答】
解：圆C： x+12+y−22=4，
则其圆心的坐标为(−1,2).
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
中点坐标公式
【解析】
利用两点的中点坐标公式，直接求解即可．
【解答】
解：已知A−1,2,−3，B3,0,−5，
那么线段AB中点的坐标为(−1+32,2+02,−3−52)，即(1,1,−4).
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的周期性
【解析】
根据y=Asinωx+φ的周期等于T=2π|ω| ，可得结论．
【解答】
解：函数y=2sin2x+π4的最小正周期是2π2=π.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
根据图象的对称性知黑色部分为圆面积的一半，计算黑色部分的面积与正方形的面积比，用对立事件的概率值求出结果．
【解答】
解：正方形的面积为1，内切圆中黑色部分的面积为12×π×122=π8，
所以正方形内白色部分的面积为1−π8，
故所求的概率为1−π8.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
根据题意，由数量积的计算公式可得a→⋅b→=−12 ，同理可得|2a→+b→|2=4a→2+4a→⋅b→+b→2 ，代入数据计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→，b→为单位向量，
则|a→|=|b→|=1.
又由向量a→，b→的夹角为120∘ ，
则a→⋅b→=−12，
则|2a→+b→|2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=3，
则|2a→+b→|=3.
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于y=sin2x−π3=sin2x−π6，
因此只需将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位即可得到.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S<20，计算输出k的值．
【解答】
解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；
第二次运行S=1+2+6=9，k=3+2=5；
第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；
第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9，
此时不满足条件S<20，程序运行终止，输出k=9．
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】

【解答】
解：f(−x)=cs(−x)−x−sin(−x)
=csx−x+sinx=−(csxx−sinx)=−f(x)，
∴ 函数fx为奇函数，故排除B，C．
又因为f1=cs11−sin1>0，故排除A．
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
【解析】
根据频率分布直方图，求出12月份人均用电量人数最多的一组，判断A正确；
计算12月份人均用电量不低于20度的频率与频数，判断B正确；
计算12月份人均用电量的值，判断C错误；
计算从中任选1位协助收费，用电量在[30,40）一组的频率，判断正确．
【解答】
解：根据频率分布直方图知，
12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400（人），A正确；
12月份人均用电量不低于20度的频率是0.03+0.01+0.01×10=0.5 ，有1000×0.5=500（人），B正确；
12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，C错误；
在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，
估计所求的概率为110，D正确．
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
根据题意，设P为直线x−y+4=0上一点，过点P向圆x−12+y−12=1引切线，T为切点，由切线长公式分析可得使切线长最小，必须是|PC|的值最小，由直线与圆的关系分析|PC|的最小值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设P为直线x−y+4=0上一点，过点P向圆x−12+y−12=1引切线，T为切点，
圆x−12+y−12=1的圆心为C1,1，半径r=1，
则|PT|=|PC|2−r2=|PC|2−1，
要使切线长最小，必须使|PC|的值最小.
又由|PC|的最小值为点C到直线x−y+4=0的距离d，
且d=|1−1+4|2=22，
则切线长|PT|的最小值为8−1=7.
故选A．
二、填空题
【答案】
4,−3
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=2,−1，b→=−1,1 ，
∴ a→−2b→=(2+2,−1−2)=(4,−3).
故答案为：4,−3.
【答案】
−55
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由sinα的值及α为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出csα的值即可．
【解答】
解：若角α是第二象限的角，且sinα=255，
则csα=−1−sin2α=−55.
故答案为：−55.
【答案】
23
【考点】
共线向量与共面向量
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的加法及其几何意义
平面向量数量积
【解析】
因为AB=2，BC=3，∠ABC=60∘，所以AB→⋅BC→=|AB|→⋅|BC|→cs120∘=−3，再根据O为AD的中点，且AO→=λAB→+μBC→，可得AD→=2λAB→+2μBC→，从而AD→⋅BC→=−6λ+18μ=0，得λ=3μ．接下来利用BD→=AD→−AB→，结合BD→与BC→是共线向量，可算得λ=12，代入上式得μ=16，最终得到λ+μ的值为23．
【解答】
解：∵ AB=2，BC=3，∠ABC=60∘，
∴ AB→⋅BC→=|AB|→⋅|BC|→cs120∘=−3，
∵ O为AD的中点，AO→=λAB→+μBC→，
∴ AD→=2AO→=2λAB→+2μBC→，
可得AD→⋅BC→=(2λAB→+2μBC→)⋅BC→
=2λAB→⋅BC→+2μBC→2=−6λ+18μ，
∵ AD为BC边上的高，故AD→与BC→互相垂直，
∴ AD→⋅BC→=0，
即−6λ+18μ=0，
得λ=3μ，①
又∵ AD→=2λAB→+2μBC→，BD→=AD→−AB→，
∴ BD→=(2λ−1)AB→+2μBC→，
而BD→与BC→是共线向量，
可得2λ−1=0，
∴ λ=12，
再代入①，得μ=16，
∴ λ+μ的值为23.
故答案为：23．
【答案】
π3
【考点】
正弦函数的定义域和值域
正弦函数的周期性
【解析】
由题意得到2x1+x2=π−2φ，代入sin2x1+x2+φ=32，求解即可.
【解答】
解：∵ fa=fb=0，
∴b−a=T2=π2.
∵ 对不同的x1，x2∈a,b ，若fx1=fx2 ，有fx1+x2=3，
则2sin[2x1+x2+φ]=3 ，
即sin2x1+x2+φ=32，
又2sin2x1+φ=2sin2x2+φ，
在一个周期内2x1+φ=2x2+φ或2x1+φ+2x2+φ=π，
得x1=x2（舍去）或2x1+x2=π−2φ，
即sin[2(x1+x2)+φ]=sin(π−2φ+φ]=sin(π−φ)=sinφ=32，
则φ=π3.
故答案为：π3.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵a→//b→，
∴ x−1+2x+2=0，
解得x=−13.
(2)∵ a→⊥b→，∴ a→⋅b→=0，
∴ −2x−1+x+1=0，
解得x=3，
∴ a→=2,4，
从而|a→|=22+42=25.
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵a→//b→，
∴ x−1+2x+2=0，
解得x=−13.
(2)∵ a→⊥b→，∴ a→⋅b→=0，
∴ −2x−1+x+1=0，
解得x=3，
∴ a→=2,4，
从而|a→|=22+42=25.
【答案】
解：(1)因为0<α<π2,sinα=45，所以csα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425，
cs2α=2cs2α−1=2×352−1=−725 ，
所以tan2α=2425÷−725=−247.
(2)又因为0<β<π2，csα+β=513，
所以sinα+β=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]
=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=513×35+1213×45=6365.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为0<α<π2,sinα=45，所以csα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425，
cs2α=2cs2α−1=2×352−1=−725 ，
所以tan2α=2425÷−725=−247.
(2)又因为0<β<π2，csα+β=513，
所以sinα+β=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]
=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=513×35+1213×45=6365.
【答案】
解：(1)由题意，x¯=3，y¯=9，
∴ y¯=2+4+8+m+185=9，
解得m=13．
∵ i=15x1yi=176，i=15xi2=55，
∴ b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=176−5×3×955−5×32=4.1，
a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
∴ 线性回归方程为y=4.1x−3.3．
(2)在y=4.1x−3.3中，3月11日即x=11，
取x=11，y=4.1×11−3.3=41.8．
∵ 41.8>40，
∴ 该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，x¯=3，y¯=9，
∴ y¯=2+4+8+m+185=9，
解得m=13．
∵ i=15x1yi=176，i=15xi2=55，
∴ b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=176−5×3×955−5×32=4.1，
a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
∴ 线性回归方程为y=4.1x−3.3．
(2)在y=4.1x−3.3中，3月11日即x=11，
取x=11，y=4.1×11−3.3=41.8．
∵ 41.8>40，
∴ 该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标．
【答案】
解：(1)A班样本数据的平均值为15(9+11+14+20+31)=17，
B班样本数据的平均值为15(11+12+21+25+26)=19，
由此估计B班学生每周平均上网时间较长．
(2)依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为a，
从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为b，则基本事件为：
(9,11)，(9,12)，(11,11)，(11,12)，(14,11)，(14,12)，20,11，20,12 ，共8种，
其中满足条件a>b的有4种，分别为14,11，(14,12)， 20,11，20,12 ，
设“a>b”为事件D，
则PD=48=12，
所以a>b的概率为12.
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；
(2)先计算从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的情况总数，再计算a>b的情况种数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】
解：(1)A班样本数据的平均值为15(9+11+14+20+31)=17，
B班样本数据的平均值为15(11+12+21+25+26)=19，
由此估计B班学生每周平均上网时间较长．
(2)依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为a，
从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为b，则基本事件为：
(9,11)，(9,12)，(11,11)，(11,12)，(14,11)，(14,12)，20,11，20,12 ，共8种，
其中满足条件a>b的有4种，分别为14,11，(14,12)， 20,11，20,12 ，
设“a>b”为事件D，
则PD=48=12，
所以a>b的概率为12.
【答案】
解：(1)fx=2sin2π4+x2−1=−csπ2+x=sinx，
gx=f2x−π3=sin2x−π3，
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数gx的递增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z．
(2)假设存在实数k满足题意，
则不等式即为2sinxcsx+k−4sinx+csx<3.
令t=sinx+csx，
则sinx⋅csx=sinx+csx2−12=t2−12，
则原不等式⇔t2−1+k−4t<3⇔t2+k−4t−4<0．
又t=sinx+csx=2sinx+π4，
由x∈−π2,π2，
所以x+π4∈−π4,3π4，
所以−22≤sinx+π4≤1，
故t∈−1,2．
令函数mt=t2+k−4t−4，
即mt=t2+k−4t−4<0，t∈−1,2恒成立．
由一元二次方程根的分布，
只需m−1<0,m2<0,⇒1−k<0,2k−4−2<0,⇒1【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
不等式恒成立问题
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx=2sin2π4+x2−1=−csπ2+x=sinx，
gx=f2x−π3=sin2x−π3，
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数gx的递增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z．
(2)假设存在实数k满足题意，
则不等式即为2sinxcsx+k−4sinx+csx<3.
令t=sinx+csx，
则sinx⋅csx=sinx+csx2−12=t2−12，
则原不等式⇔t2−1+k−4t<3⇔t2+k−4t−4<0．
又t=sinx+csx=2sinx+π4，
由x∈−π2,π2，
所以x+π4∈−π4,3π4，
所以−22≤sinx+π4≤1，
故t∈−1,2．
令函数mt=t2+k−4t−4，
即mt=t2+k−4t−4<0，t∈−1,2恒成立．
由一元二次方程根的分布，
只需m−1<0,m2<0,⇒1−k<0,2k−4−2<0,⇒1【答案】
(1)解：设点Mx,y.
∵ M为弦AB中点，∴ OM⊥MP．
∵ OM→=x,y，PM→=x−2,y−4，
∴ 由OM→⋅PM→=0得xx−2+yy−4=0，
化简得x2+y2−2x−4y=0，
∴ M的轨迹方程是x−12+y−22=5−65(2)证明：由题意点Q2,0，
联立y−4=kx−2,x2+y2=4得1+k2x2−4kk−2x+2k−42−4=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=4kk−21+k2,x1x2=2k−42−41+k2,Δ>0,
∴ k1+k2=y1x1−2+y2x2−2
=kx1−2+4x1−2+kx2−2+4x2−2
=2k+4x1−2+4x2−2=2k+4x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4
=2k+4⋅4kk−21+k2−42k−42−41+k2−2⋅4k(k−2)1+k2+4
=2k−48k+416=−1，
∴ k1+k2是定值．
【考点】
轨迹方程
直线与圆相交的性质
直线和圆的方程的应用
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：设点Mx,y.
∵ M为弦AB中点，∴ OM⊥MP．
∵ OM→=x,y，PM→=x−2,y−4，
∴ 由OM→⋅PM→=0得xx−2+yy−4=0，
化简得x2+y2−2x−4y=0，
∴ M的轨迹方程是x−12+y−22=5−65(2)证明：由题意点Q2,0，
联立y−4=kx−2,x2+y2=4得1+k2x2−4kk−2x+2k−42−4=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=4kk−21+k2,x1x2=2k−42−41+k2,Δ>0,
∴ k1+k2=y1x1−2+y2x2−2
=kx1−2+4x1−2+kx2−2+4x2−2
=2k+4x1−2+4x2−2=2k+4x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4
=2k+4⋅4kk−21+k2−42k−42−41+k2−2⋅4k(k−2)1+k2+4
=2k−48k+416=−1，
∴ k1+k2是定值．第x天
1
2
3
4
5
人数y（人）
2
4
8
m
18