数学七年级上册第五章 一元一次方程综合与测试一课一练

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第五章 重点突破训练：与一元一次方程有关的问题
考点体系（本专题共64题43页）

考点1：古典文化中的一元一次方程
典例：（2020·安徽初三学业考试）《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？
译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？请解答上述问题．
【答案】寺内共有624个和尚．
【解析】
解：设寺内共有个和尚，依题意得:
，
解得，
答：寺内共有624个和尚．
方法或规律点拨
考核知识点：一元一次方程应用.理解题意，根据等量关系列出方程是关键.
巩固练习
1．（2020·安徽合肥·初三三模）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175-1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑，狐狸跑．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
【答案】狐狸跑100米后被猎犬追上．
【解析】解：设设狐狸跑x米后被猎犬追上，由题意得：
解得：．
答：狐狸跑100米后被猎犬追上．
2．（2020·全国初一课时练习）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”（“倍加增”指从塔的顶层到底层，每层灯的数量是上一层的2倍）那么，塔的顶层有几盏灯？
【答案】3盏
【解析】解：设塔的顶层有x盏灯．根据题意，得
．
解得．
答：塔的顶层有3盏灯．
3．（2020·湖北广水·初一期末）列方程解应用题．
程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．
在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
【答案】大和尚有25人，小和尚有75人
【解析】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：13x+3（100﹣x）=100，
解得：x=75，
∴100﹣x=100﹣75=25．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
4．（2020·河北初三其他）（阅读材料）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①），是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图②）．
（1）观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是　 　；
（2）若图③是一个幻方，求图中a，b的值．

【答案】（1）每一横行，每一竖列，每一对角线上三个数的和相同；（2）-3，0．
【解析】解：（1）通过观察和口算可知，每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
故答案为：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；
（2）由幻方的条件可知4+2+a＝﹣1+1+3，
解得：a＝﹣3；
4﹣1+b＝﹣1+1+3，
解得：b＝0．
5．（2020·安庆市教育体育局初三二模）中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？大意是说：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧？牧羊人答道：如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好满100只你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗？
【答案】36只
【解析】设牧羊人放牧的这群羊一共有只
由题意得：
解得
答：牧羊人放牧的这群羊一共有36只．
6．（2020·合肥市五十中学东校初三一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？
【答案】客房8间,房客63人
【解析】设该店有间客房,则

解得

答:该店有客房8间,房客63人.
7．（2020·安徽滁州·初三其他）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．
【答案】6.5尺
【解析】
【分析】设木头长x尺，根据题意有

解得
所以木头长6.5尺
8．（2019·安徽初三月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载:“今有甲、乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八。问甲、乙二人原持钱各几何?”译文:“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲、乙二人原来各有多少钱?”
【答案】甲原来有36文钱，乙原来有24文钱
【解析】解：设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，
根据题意，得：x+2(48-x)=48，
解得x=36，
则2(48-x)=24，
答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱．
故答案为：甲原有36文钱，乙原有24文钱.
9．（2020·安徽安庆·初三其他）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】共有39人，15辆车．
【解析】解：设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴ ，
则共有39人，15辆车．
10．（2020·安徽蜀山·初三二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（注释：野鸭）起南海，九日至北海；雁起北海，六日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，天飞到北海；大雁从北海起飞，天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？请列方程解答上面问题．
【答案】经过天相遇
【解析】
解：设经过天相遇，
依题意得：，
解得：
答：经过天相遇．
考点2：一元一次方程中的营销问题
典例：（2020·四川大邑·初一期末）2019年双“11”期间，哈市各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示：

根据以上活动信息，解决以下问题：
（1）三个商场都同时出售一套（一件上衣和一条裤子为一套）同厂家、同面料、同款式的服装，其中上衣标价都为290元，裤子标价都为270元．试计算三个商场分别按照促销活动销售出这一套服装的售价是多少元？
（2）赵先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？
（3）如果某种品牌的巴西大豆在三所商场的标价都是5元／,请探究：是否存在分别在三所商场付同样多的一百多元，并且都能够够买同样重量同品牌的该大豆？如果存在请直接说明在乙商场该购买大豆的方案（并指出在三个商场购买大豆的重量是多少，支付的费用是多少元）；如果不存在请直接回答“不存在”．
【答案】（1）甲：336元；乙：360元；丙：310元；（2）370元；（3）存在，先购买30kg大豆付150元，再用100元购物券在乙商城购买20kg大豆，总共付150元，购买50kg大豆
【解析】解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）
选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）
选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）
答：选甲商城需付费用为336元；选乙商城需付费用为360元；选丙商城需付费用为310元．
（2）设这条裤子的标价为x元，根据题意得：
（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3
解得：x＝370
答：这条裤子的标价为370元．
（3）解：存在
设在乙商场先购买ykg大豆，需付一百多元，再用100元的购物卷再在乙商场购买100÷5=20kg大豆
由题意可得5（y＋20）×0.6=5y
解得：y=30
此时，在甲商场和乙商场共购买30＋20=50kg都需付款30×5=150（元）
在丙商场购买50kg需5×50－2×50=150（元）
∴存在分别在三所商场付同样多的一百多元，并且都能够够买同样重量同品牌的该大豆，
在乙商场购买方案为：先购买30大豆付150元；再用100元的购物卷再在乙商场购买20kg大豆，总共付了150元，购买了50kg大豆．
方法或规律点拨
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】(1) 该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．(2) 1950元．
【解析】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件，
根据题意得：22x+30（x+15）＝6000，
解得：x＝150，
∴x+15＝90．
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
2．（2020·全国单元测试）某服装店两件衣服都以900元卖出，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是赚了还是亏了？赚或亏了多少？
【答案】亏了，亏了75元
【解析】一件赚了，设该件衣服成本为x元
∴
∴
∴赚的利润为150元
一件亏了，设该件衣服成本为y元
∴
∴
∴亏得钱为225元
∴总共的利润为元
∴这两件衣服合在一起是亏了，亏了75元．
3．（2020·广东南海·石门中学初三其他）某镇枇杷园的枇杷除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去园内采摘购买，已知今年3月份该枇杷在市区、园内的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，一共销售了3000千克，总销售额为16000元，3月份该枇杷在市区、园内各销售了多少千克？
【答案】该枇杷在市区销售了2000千克，在园内销售了1000千克
【解析】解：设该枇杷在市区销售了x千克，则在园内销售了(3000－x)千克，
依题意得： ,
解得：x=2000,
园内销售：3000－2000＝1000(千克),
答：该枇杷在市区销售了2000千克，在园内销售了1000千克．
4．（2020·云南文山·初一期末）农村义务教育学校学生营养改善计划是党中央、国务院及省委省政府实施的一项教育惠民工程文山州某校根据上级要求配备了一批营养早餐.某天早上七年级（1）班分到牛奶和面包共8件，每件牛奶32元，每件面包24元，共需232元问这天早上该班分到多少件牛奶，多少件面包？
【答案】5件牛奶，3件面包.
【解析】解：设该班分到牛奶件，则分到面包件
根据题意，得




（件）
答：该班分到5件牛奶，3件面包.
5．（2020·湖北枣阳·初一期末）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A、B的数量和费用如下表：

购买商品A的数量/个
购买商品B的数量/个
购买总费用/元
第一次购物
3
5
870
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
（1）小林以折扣价购买商品A、B是第_____ 次购物；
（2）求出商品A、B的标价；
（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三；（2）商品A，B的标价分别为90元，120元；（3）6折
【解析】解：（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，则小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物．
故答案为：三；
（2）设B商品的标价为x元，则
，
解之，得，
．
答：商品A，B的标价分别为90元，120元；
（3）设商品A，B均打a折出售，由题意得
，
解之，得．
答：商店是打6折出售这两种商品的．
6．（2020·山西中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．

【答案】该电饭煲的进价为元
【解析】解：设该电饭煲的进价为元
根据题意，得
解，得．
答；该电饭煲的进价为元
7．（2020·安徽中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；

求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】；
【解析】解：年线下销售额为元，
故答案为：．
由题意得：


2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：

答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
8．（2020·重庆市凤鸣山中学初一月考）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【答案】每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
【解析】解：设每件衬衫降价x元，依题意有
120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），
解得x=20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
9．（2019·陕西延安·初一期末）某水果批发市场苹果的价格如表
购买苹果（千克）
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克的价格
6元
5元
4元
（1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次购买苹果_____千克，第二次购买_____千克．
（2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
【答案】（1）16，4；（2）第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．
【解析】（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40﹣x）千克苹果，由题意可得
6x+5（40﹣x）=216，
解得：x=16，
40﹣x=24．
答：第一次买16千克，第二次买24千克．
故答案为16，24；
（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．
分三种情况考虑：
①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；两次购买的质量不到100千克，不成立；
②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．
根据题意，得：6x+4（100﹣x）=432，
解得：x=16．
100﹣16=84（千克）；
③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克
根据题意，得：5x+4（100﹣x）=432，
解得：x=32．
100﹣32=68千克；
答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．
考点3：一元一次方程中的方案选择问题
典例：（2020·岳阳市第十中学初一期末）元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法：
百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折；
武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问
（1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由．
【答案】（1）1380元钱；（2）不超过500元或1500元；（3）见解析．
【解析】解：（1）1000×0.9+（1800﹣1000）×0.6＝1380（元）．
答：她应该付1380元钱；
（2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠；
一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，依题意有
1000×0.9+0.6（x﹣1000）＝0.8x，
解得x＝1500．
综上所述，当我们购买不超过500元或1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠；
（3）①1000+（1500﹣1000×0.9）÷0.6＝2000（元），
1500÷0.8＝1875（元），
2000+1875＝3875（元）；
②1000+（3000﹣1000×0.9）÷0.6＝4500（元）；
③3000÷0.8＝3750（元）；
∵4500＞3875＞3750，
∴选择第②种打算．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
巩固练习
1．（2019·黑龙江道外·初一期末）有A、B两家复印社，A4纸复印计费方式如表：

A4纸复印计费方式
A复印社
复印页数不超过20页时，每页0.12元；复印页数超过20
页时，超过部分每页收费0.09元．
B复印社
不论复印多少页，每页收费0.1元．
（1）若要用A4纸复印30页，选哪家复印社划算？能便宜多少钱？
（2）用A4纸复印多少页时，两家复印社收费相同？
【答案】（1）选B复印社划算，能便宜0.3元；（2）复印42页时两家复印社收费相同．
【解析】解：（1）A复印社：20×0.12+0.09×（30﹣20）＝3.3（元），
B复印社：30×0.1＝3（元），
3＜3.3，3.3﹣3＝0.3（元），
答：选B复印社划算，能便宜0.3元．
（2）设：复印x页时两家复印社收费相同．
可得：20×0.12+0.09×（x﹣20）＝0.1x，
解得：x＝42，
答：复印42页时两家复印社收费相同．
2．（2020·河北饶阳·初一期末）某品牌西服标价元，领带标价元，若去甲商店购买可享受买一送一（即买一套西 服送一条领带）的优惠，去乙商店购买西服领带均可享受九折优惠；小李是公司的采购员，公司要采购套西服，外加条领带）
如果甲商店购买西服和领带，花费_____________元；如果乙商店购买西服和领带，花费_____________元
当为多少时，在甲乙两家商店费用一样多?
【答案】（1）元；元；（2）当时，去甲乙商店都一样
【解析】解：（1）甲商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费元
乙商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费元
（2）
解得：x=100
∴当时，去甲乙商店费用一样多
3．（2019·黑龙江甘南·初一期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）．
（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．
（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．
【答案】(1) 到乙超市购物优惠；(2) 当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
【解析】（1）由题意可得：当x=400时，
在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60=380（元），
在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30=370（元），
∵380>370，
∴当x=400时，到乙超市购物优惠；
（2）根据题意得：300+0.8（x-300）=200+0.85（x-200），
解得：x=600.
答：当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
4．（2020·黑龙江甘南·初一期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍.了解信息如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元；经洽谈：甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒).问：
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
(2)如果要购买15盒或30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
【答案】(1) 购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样；(2)买30盒乒乓球时，在甲店买5副乒乓球拍，在乙店买25盒乒乓球省钱.
【解析】(1)设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，
则30×5+5(x−5)=(30×5+5x)×90%
         5x+125=135+4.5x
     5x+125−4.5x=135+4.5x−4.5x
       0.5x+125=135
   0.5x+125−125=135−125
           0.5x=10
        0.5x×2=10×2
              x=20
答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样．
(2)①在甲商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：
30×5+5×(15−5)=150+50=200(元)
在乙商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：
(30×5+5×15)×90%=225×90%=202.5(元)
因为200