2020-2021学年广东省佛山市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广东省佛山市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 有以下四种调查：
(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
(2)调查一批炮弹的杀伤半径；
(3)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．
适合用抽样调查的个数是( )
A.0B.1C.2D.3

2. 用斜二测画法画水平放置的平面直观图时，有下面四种说法：
(1)相等的线段在直观图中仍然相等；
(2)平行的线段在直观图中仍然平行；
(3)一个角的直观图仍然是一个角：
(4)相等的角在直观图中仍然相等．
以上说法正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4

3. 已知向量a→=(−2,3)，b→=(2,m)，若a→//b→，则m=( )
A.32B.−2C.−32D.−3

4. 某公司选取员工代表．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5∼10年的员工400人，工作0∼5年的员工200人，现按照工作年限进行分层随机抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表，则工作5∼10年的员工代表有( )
A.16人B.8人C.4人D.24人

5. 已知复数z=1+3i1−i，i为虚数单位，则|z|为( )
A.2B.5C.10D.25

6. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=105∘，B=45∘，b=22，则c等于( )
A.1B.2C.3D.2

7. 已知：a，b，c，d是实数，复数a+bi与复数c+di的积是实数的充要条件是( )
A.ac+bd=0B.ac=bdC.ad+bc=0D.ad=bc

8. 已知向量a→=−k,3，b→=2,m， k>0且a→⋅b→=4，向量b→在a→方向上的投影为45，则实数m+k=( )
A.8B.9C.18D.25
二、多选题

下列命题正确的是( )
A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述有可能正确的是( )
A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的
C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1:2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )
A.侧面积之比为1:4B.侧面积之比为1:8
C.体积之比为1:27D.体积之比为1:26

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=π3，E，F分别为CD，BC的中点，则（ ）

A.AE→=12AB→+AD→B.AF→=AB→+12AD→
C.AE→⋅AF→=25D.AE→⋅AC→=AF→⋅AC→
三、填空题

设复数z1=3−4i，则z1的共轭复数在平面内对应的点位于第________象限．

球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大到原来的________倍，其体积扩大到原来的________倍．

设z∈Z，复平面内z对应的点为Z．如果z满足下列条件：1<|z|<2，则点Z的集合对应图形面积是：________.（计算结果保留π）

因式分解：a4−b4=________.
四、解答题

叙述勾股定理，并利用向量法证明勾股定理．

2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：

(1)在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；

(2)求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x¯和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）．

在边长为2的正方形ABCD（如图1）中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于A点（图2）．

(1)求证AD⊥EF（图2）；

(2)求三棱锥A−EFD的体积．

已知函数fx=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数fx的解析式；

(2)若将函数fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得函数图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象．求函数gx在0,2π上的单调递增区间．

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC // 平面PBD？说明理由．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA−2csCcsB=2c−ab．
(1)求sinCsinA的值

(2)若csB=14，b=2，求△ABC的面积S．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省佛山市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
抽样方法的选择与比较
【解析】
个体的概念去解答即可，通过全面调查和抽样调查的特点逐一判断结果
【解答】
解：(1)总体：被调查的这个班级的学生每周的体育锻炼时间；个体：这个班级的每一个学生每周的体育锻炼时间，适合全面调查；
(2)总体：该批炮弹每一发的杀伤半径；个体：每一发炮弹的杀伤半径，适合抽样调查；
(3)总体：该水库的所有鱼的数量；个体：水库中草鱼的数量，适合抽样调查．
综上所述，适合用抽样调查的是(2)、(3)，个数是2个．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
根据斜二测画法的规则，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：(1)正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中邻边变成了2倍的关系，故(1)错误；
(2)在斜二测画法中，平行的线段在直观图中仍然平行，故(2)正确；
(3)虽然角的度数会发生改变，但仍是一个角，故(3)正确；
(4)在水平放置的正方形中相邻的两个角都是直角，但在用斜二测画法画出的直观图中一个为45∘，另一个为135∘，故(4)错误，
综上所述，正确的是(2)、(3)共2个．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，向量a→=(−2,3)，b→=(2,m)，
若a→//b→，
必有3×2=(−2)×m，
解得m=−3.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
分层抽样方法
【解析】
利用分层抽样的性质直接求解．
【解答】
解：该公司有工作10年以上的员工100人，工作5∼10年的员工400人，
工作0∼5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，
在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，
则工作5∼10年的员工代表有：
28×400100+400+200=16人．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
先化简复数，再求模即可.
【解答】
解：∵ 复数z=1+3i1−i=1+3i1+i1−i1+i=−2+4i2=−1+2i，
∴ |z|=12+22=5.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
由A与B的度数，求出C的度数，再由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解答】
解：∵ ∠A=105∘，∠B=45∘，
∴ ∠C=30∘，又b=22，
∴ 根据正弦定理bsinB=csinC
得：c=bsinCsinB=22×1222=2．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
把所给的两个复数相乘，得到积所对应的复数，因为要使积是一个实数，所以积的虚部是零，得到关于a，b，c，d之间的关系．
【解答】
解：a+bi⋅c+di=ac−bd+ad+bci，
因为复数a+bi与复数c+di的积是实数，
所以所得的复数的积的虚部是零，
所以ad+bc=0.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
先根据投影定义求得|a→|，进而得到k，结合数量积求出m，即可求出结论．
【解答】
解：向量b→在a→方向上的投影为|b→|cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→|=4|a→|=45，
所以|a→|=5，
所以−k2+32=5，
解得k=4(k=−4舍去）．
因为a→⋅b→=4，
所以−k,3 ⋅2,m=4，
所以−2k+3m=4，
当k=4时，m=4+2k3=4，
所以m+k=8.
故选A．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】
解：A，由直线与平面垂直的性质知：过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故A正确；
B，过平面外一点能作无数条直线与这个平面平行，故B错误；
C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；
D，过直线外一点能作无数个平面与这条直线平行，故D错误．
故选AC．
【答案】
A,C,D
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果一组数据的中位数比平均数小很多，则这组数据可能有异常值，可能存在极端大的值，中众数可能和中位数相同.
如果一组数据是近似对称的，则中位数和平均数的大小相近.
故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
棱锥的结构特征
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
截面及其作法
【解析】
计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果．
【解答】
解：由题意可知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
则小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3，高之比为1:3，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9，体积之比为1:27，
所以小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8，体积之比为1:26．
故选BD．
【答案】
A,B,D
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题可知，AE→=AD→+DE→=AD→+12AB→，AF→=AB→+BF→=AB→+12AD→，A，B正确；AE→⋅AC→−AF→⋅AC→=AE→−AF→⋅AC→
=FE→⋅AC→=12BD→⋅AC→=0，D正确；
AE→⋅AF→=12AB→+AD→⋅AB→+12AD→
=12AB→2+54AB→⋅AD→+12AD→2
=12×42+54×4×4×12+12×4×4=26,C错误．
故选ABD.
三、填空题
【答案】
一
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】
由题意得到z1的共轭复数3+4i在平面内对应的点(3,4)位于第一象限.
【解答】
解：复数z1=3−4i，
则z1的共轭复数3+4i在平面内对应的点(3,4)位于第一象限.
故答案为：一.
【答案】
9,27
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
根据球的表面积和体积公式求解即可.
【解答】
解：设原来球的半径为r，则球的体积为V=43πr3，表面积为S=4πr2，
球的半径扩大到原来的3倍，则球的半径为3r，
此时球的体积为V′=43π⋅(3r)3=27V，表面积为S′=4π⋅(3r)2=9S，
则其表面积扩大到原来的9倍，其体积扩大到原来的27倍．
故答案为：9；27.
【答案】
3π
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
设z=x+yi，其中x，y∈R，由1<|z|<2，可得1【解答】
解：设z=x+yi，其中x，y∈R，
由1<|z|<2可得1∴ 1∴ 复数z对应的点Z的集合是以O为圆心，1，2为半径的圆所夹的圆环面，
∴ 圆环面积为π×42−π×12=3π．
故答案为：3π．
【答案】
(a+b)(a−b)(a+bi)(a−bi)
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
根据平方差公式进行分解因式即可.
【解答】
解：a4−b4
=(a2−b2)(a2+b2)
=(a+b)(a−b)(a+bi)(a−bi).
故答案为：(a+b)(a−b)(a+bi)(a−bi).
四、解答题
【答案】
解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形ABC中，不妨设∠C=90​∘，
则AC→⋅CB→=0，且AB→=AC→+CB→，
两边平方可得：AB→2=(AC→+CB→)2，
即AB→2=AC→2+CB→2+2AC→⋅CB→，
即|AB→|2=|AC→|2+|CB→|2，
即可证明勾股定理.
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
写出勾股定理，再利用向量方法证明即可.
【解答】
解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形ABC中，不妨设∠C=90​∘，
则AC→⋅CB→=0，且AB→=AC→+CB→，
两边平方可得：AB→2=(AC→+CB→)2，
即AB→2=AC→2+CB→2+2AC→⋅CB→，
即|AB→|2=|AC→|2+|CB→|2，
即可证明勾股定理.
【答案】
解：(1)如图所示，
(2)x¯=6×0.02+7×0.1+8×0.2+
9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9 ，
s2=6−92×0.02+7−92×0.1+8−92×0.2+
9−92×0.38+10−92×0.18
+11−92×0.08+12−92×0.04=1.64 .
【考点】
频率分布直方图
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图所示，
(2)x¯=6×0.02+7×0.1+8×0.2+
9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9 ，
s2=6−92×0.02+7−92×0.1+8−92×0.2+
9−92×0.38+10−92×0.18
+11−92×0.08+12−92×0.04=1.64 .
【答案】
解：(1)折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF；
折叠后，AD⊥AE，AD⊥AF；
又AE∩AF=A，
∴ AD⊥平面AEF ，
∴ AD⊥EF．
(2)由题意，得折叠后图形中，
VA−EFD=VD−AEF=16AD⋅AE⋅AF=13．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF；
折叠后，AD⊥AE，AD⊥AF；
又AE∩AF=A，
∴ AD⊥平面AEF ，
∴ AD⊥EF．
(2)由题意，得折叠后图形中，
VA−EFD=VD−AEF=16AD⋅AE⋅AF=13．
【答案】
解：(1)由图可知，A=2，
T2=5π6−π3=π2，所以T=2πω=π，所以ω=2．
所以fx=2sin2x+φ．
由fπ3=2sin2π3+φ=2，
所以2π3+φ=2kπ+π2k∈Z，所以φ=2kπ−π6k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ=−π6，
所以fx=2sin2x−π6．
(2)由题设可得， gx=2sinx+π6．
令z=x+π6，x∈0,2π，则z∈π6,13π6．
因为y=sinz，z∈π6,13π6的单调递增区间是π6,π2，
3π2,13π6．且由π6≤x+π6≤π2，3π2≤x+π6≤13π6，
得0≤x≤π3，4π3≤x≤2π，
所以函数gx的单调递增区间是0,π3，4π3,2π.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由图可知，A=2，
T2=5π6−π3=π2，所以T=2πω=π，所以ω=2．
所以fx=2sin2x+φ．
由fπ3=2sin2π3+φ=2，
所以2π3+φ=2kπ+π2k∈Z，所以φ=2kπ−π6k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ=−π6，
所以fx=2sin2x−π6．
(2)由题设可得， gx=2sinx+π6．
令z=x+π6，x∈0,2π，则z∈π6,13π6．
因为y=sinz，z∈π6,13π6的单调递增区间是π6,π2，
3π2,13π6．且由π6≤x+π6≤π2，3π2≤x+π6≤13π6，
得0≤x≤π3，4π3≤x≤2π，
所以函数gx的单调递增区间是0,π3，4π3,2π.
【答案】
(1)证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，
所以AD⊥半圆弦CD所在平面，
CM⊂半圆弦CD所在平面，
∴ CM⊥AD，
M是CD上异于C，D的点．
∴ CM⊥DM，DM∩AD=D，
∴ CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，
∴ 平面AMD⊥平面BMC；
(2)解：存在P是AM的中点，
理由：
连接BD交AC于O，取AM的中点P，
连接OP，可得MC // OP，
MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC // 平面PBD．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；
（2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】
(1)证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，
所以AD⊥半圆弦CD所在平面，
CM⊂半圆弦CD所在平面，
∴ CM⊥AD，
M是CD上异于C，D的点．
∴ CM⊥DM，DM∩AD=D，
∴ CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，
∴ 平面AMD⊥平面BMC；
(2)解：存在P是AM的中点，
理由：
连接BD交AC于O，取AM的中点P，
连接OP，可得MC // OP，
MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC // 平面PBD．
【答案】
解：(1)由正弦定理，则2c−ab=2sinC−sinAsinB，
所以csA−2csCcsB=2sinC−sinAsinB，
即(csA−2csC)sinB=(2sinC−sinA)csB，
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)．
因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．
因此sinCsinA=2．
(2)由sinCsinA=2，得c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
及csB=14，b=2，
得4=a2+4a2−4a2×14．
解得a=1，从而c=2．
因为csB=14，
且sinB=1−cs2B=154，
因此S=12acsinB=12×1×2×154=154．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解sinCsinA=2．
（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】
解：(1)由正弦定理，则2c−ab=2sinC−sinAsinB，
所以csA−2csCcsB=2sinC−sinAsinB，
即(csA−2csC)sinB=(2sinC−sinA)csB，
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)．
因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．
因此sinCsinA=2．
(2)由sinCsinA=2，得c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
及csB=14，b=2，
得4=a2+4a2−4a2×14．
解得a=1，从而c=2．
因为csB=14，
且sinB=1−cs2B=154，
因此S=12acsinB=12×1×2×154=154．