2020-2021学年湖北省武汉市高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列求导运算正确的是( )
A.e−x′=e−xB.(sinα)′=csα(α为常数）
C.csx′=sinxD.lgx′=1xln10

2. 某中学为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（ ）
附：
A.0.1% B.1%C.99%D.99.9%

3. 已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程y=0.7x+a，据此可以预报当x=6时，y=( )
A.8.9B.8.6C.8.2D.8.1

4. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元．如果销售额函数是fx=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A.6万斤B.8万斤C.3万斤D.5万斤

5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某队员每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该队员通过测试的概率为( )

6. 设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是( )
A.20B.19C.18D.16

7. 为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为( )
A.18B.24C.30D.36

8. 已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A.(e4, +∞)B.(e2, +∞)C.(e24, +∞)D.(e22, +∞)
二、多选题

近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布Nμ,302和N280,402，则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σA.若红玫瑰的日销售量范围在(μ−30, 280）的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中
C.白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中
D.白玫瑰的日销售量范围在280,320的概率约为0.3413

下列命题中说法正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布Bn,p，若EX=30，DX=20，则p=23
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C.设随机变量ξ服从正态分布N0,1，若Pξ≥1=p，则P−1<ξ<0=12−p
D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B10,0.8，则当X=8时概率最大

下列命题：其中正确命题数是( )
A.在线性回归模型中，相关系数r表示解释变量x对于预报变量y变化的贡献率，r2越接近于1，表示回归效果越好
B.两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C.在回归直线方程y=−0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均减少0.5个单位；
D.对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值来说，观测值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．

函数f(x)＝lnxx，若x1≠x2时，有f(x1)=f(x2)=m，π是圆周率，e=2.71828⋯为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )
A.0B.f(2)C.x1x2D.a=e3，b=3e，c=eπ，d=πe，s=3π，t=π3，则s最大
三、填空题

一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=________．

设随机变量X的概率分布如表所示，且EX=2.5，则a−b=________．

在(2x−y)(x+y)6的展开式中x4y3的系数为________．

若不等式ax2+bx+1ex≤1对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是________.
四、解答题

设函数f(x)=2x3+3x2+ax+b，曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=−12x+1．
(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的极值．

已知(3x−1)n的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14:3．
(1)求正整数n；

(2)若(3x−1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，求i=1n|ai|.

某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加．为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x百件（单位：百件）产品中，得到次品数量为y件（单位：件）的情况如表所示，且y（单位：件）与x（单位：百件）线性相关：

(1)请根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有生产状况，判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？
附：回归直线方程y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1nxi−x¯2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯；
i=15xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530，
i=15xi2=52+202+352+402+502=5750．

一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n(n≥6)份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n−3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，则对这（n−3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．
(1)若n=6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；

(2)若n≥8，且采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ，①求ξ的概率分布；②求Eξ.

近年来自媒体业飞速发展起来，尤其是抖音、快手等视频号．某调研机构研究抖音在生活中的普及程度，对市民进行调研，发现约有25的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．
(1)记ξ表示发过抖音视频的人数，求ξ的分布列；

(2)随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组决定对某些行业人群集中调研．先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过nn∈N∗次（其中π小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为η，求η的数学期望．

已知函数fx=2cs2x+ax2．
(1)当a=1时，求fx的导函数f′x在−π2,π2上的零点个数；

(2)若关于x的不等式2cs2sinx+a2x2≤afx在−∞,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省武汉市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
根据基本初等函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可得出正确选项．
【解答】
解：A，(e−x)′=−e−x，故选项错误；
B，sinα′=0(α为常数)，故选项错误；
C，csx′=−sinx，故选项错误；
D，lgx′=1xln10．故选项正确.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．
【解答】
解：∵ K2=7.069>6.635，对照表格：
∴ 有99%的把握认为学生性别与支持该活动有关系．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
计算出样本中心点x¯,y¯的坐标，代入回归直线方程求得α的值，然后在回归直线方程中，令x=6可求得结果
【解答】
解：x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5+5+6+6+85=6，
由于回归直线过样本的中心点x¯,y¯，
所以0.7×3+a=6，解得a=3.9，
所以，回归直线方程为y=0.7x+3.9，
当x=6时，y=0.7×6+3.9=8.1.
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
设销售的利润为gx ，得gx=−18x3+916ax2−1，当x=2时，g2=52 ，解得a=2 ，得出函数gx=−18x3+98x2−1 ，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【解答】
解：设销售的利润为gx ，
则gx=−18x3+916ax2+12x−1−12x，
即gx=−18x3+916ax2−1，
当x=2时，g2=−1+94a−1=52，解得a=2，
故gx=−18x3+98x2−1，
则g′x=−38x2+94x=−38xx−6，
易得函数gx在0,6上单调递增，在6,8上单调递减，
所以当x=6时，所获利润最大.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
有关排列、组合的计算
【解析】
每人投3次，至少投中2次即投中2次或3次，利用二项分布概率计算公式分别计算，然后求和即得．
【解答】
解：该同学通过测试的概率为C32⋅0.82⋅0.2+C33⋅0.83=0.896.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
利用计数原理，从5个数取2个不同的数可用公式c52算出，然后考虑到A与B的比值相等时直线重合，把重合的情况除过即可得到不同直线的条数．
【解答】
解：从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，取法数为A52，
其中，A=1，B=2与A=2，B=4；A=2，B=1与A=4，B=2时所得直线重合，
则所得不同直线的条数为：A52−2=18.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
若甲乙丙去了同一地方，则有6种分配方法，
若甲乙丁去了同一地方，则有6种分配方法，
若甲乙戊去了同一地方，则有6种分配方法，
若丙和戊去了同一地方，则有6种分配方法，
若丁和戊去了同一地方，则有6种分配方法，
综上所述共有30中分配方法。
故选C.
【解答】
解：由题意可得，甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
则当某地只有甲、乙两名专家时，共有C31×A22×C21=12种情况；
当某地有甲、乙和其他一名专家，即三名专家时，共有C31×C31×A22=18种情况，
综上所述，共有30种情况.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
通过分离变量，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，画出草图，然后判断实数a的取值范围．
【解答】
解：当x=0，f(0)=1，
当x≠0，令f(x)=ex−ax2=0，
解得，a=exx2，
令g(x)=exx2，则g′(x)=(x−2)exx3，
易得函数g(x)在(−∞,0)上单调递增，
在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，
则x=2时，函数g(x)取得极小值，
作出函数g(x)的图象如图所示：
要使直线y=a与曲线g(x)=exx2有三个交点，则a>e24.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
由已知结合σ原则求得μ，判断A正确；比较方差的大小判断C正确，B错误；再由σ原则求得白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率判断D正确．
【解答】
解：若红玫瑰日销售量范围在(μ−30,280)的概率是0.6826，
则μ+30=280，即μ=250．
∴ 红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；
∵ 红玫瑰日销售量的方差σ12=900，白玫瑰日销售量的方差σ22=1600，
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，
则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确，C错误；
白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率P=(μ＜X＜μ+σ)=12P(μ−σ＜X＜μ+σ)≈0.3413，故D正确．
故选ABD．
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
二项分布与n次独立重复试验的模型
正态分布的密度曲线
【解析】
由二项分布、独立重复试验、正态分布逐个进行判断.
【解答】
解：由题意可得，EX=np=30，DX=np1−p=20，
解得p=13，故A错误；
根据数据方差的计算公式可知，
将一组数据中的每个数据都加上同一常数后，
方差恒不变，故B正确；
由正态分布的图象的对称性可得，
P−1<ξ<0=1−2Pξ≥12
=1−2p2=12−p，故C正确；
由独立重复试验的概率计算公式可得，
PX=k=C10k×0.8k×1−0.810−k，
由组合数公式，可得当X=8时取得最大值，故D正确.
故选BCD.
【答案】
A,B,C
【考点】
求解线性回归方程
命题的真假判断与应用
变量间的相关关系
回归分析
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，在线性回归模型中，相关指数r表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，
r越接近于1，表示回归效果越好，故选项正确；
B，根据相关系数的意义，可知两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值|r|就越接近于1，故选项正确；
C，在回归直线方程y=−0.5x+2中，
当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均减少0.5个单位，故选项正确；
D，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2 的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越大，故选项错误.
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
作出f(x)的大致图象，结合图象可判断选项A；由ln8f(e2x1)，构造函数g(x)＝f(x)−f(e2x)，1【解答】
解：f′(x)＝1−lnxx2(x>0)，
当f′(x)>0时，0e，
∴ 函数f(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减，
当x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→0，f(e)＝1e，
作出函数f(x)的大致图象如图所示，
A，由于f(x1)=f(x2)=m，即f(x)=m有且仅有两个交点，
由图象可知，0B，易知ln8C，由图象不妨设1又x2，e2x1∈(e,+∞)，故等价为f(x2)>f(e2x1)，即f(x1)>f(e2x1)，
设g(x)＝f(x)−f(e2x)，1则g′(x)＝f′(x)+e2x2f′(e2x)＝1−lnxx2+lnx−1e2=(1−lnx)(1x2−1e2)>0，
∴ g(x)在(1, e)上单调递增，故g(x)D，由于e<3<π，由指数函数和幂函数的性质可知，eπ>e3，3π>3e，π3>π，3π>eπ，
故这六个数的最大数在3π与π3中取，
由e<3<π及f(x)的单调性可知，f(π)综上，这六个数中最大数是s，故选项正确．
故选ABD.
三、填空题
【答案】
1.96
【考点】
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，该事件满足独立重复试验，
其中，p=0.02，n=100，即X∼B(100,0.02)，
所以D(X)=np(1−p)=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【答案】
316
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
利用分布列的性质以及期望公式，列出方程组，求解即可．
【解答】
解：由题意得：
14+316+a+b=1,1×14+2×316+3a+4b=2.5,
解得a=38,b=316,
∴ a−b=316．
故答案为：316．
【答案】
25
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
利用通项公式，分情况讨论x4y3项，即可求解．
【解答】
解：由题意得，(x+y)6的通项公式为：Tr+1=C6rx6−r⋅yr．
则当r=2或r=3时，(2x−y)(x+y)6的展开式可得到x4y3，
当r=3时，x4y3的系数为2C63=40．
当r=2时，x4y3的系数为−C62=−15，
则(2x−y)(x+y)6的展开式中x4y3的系数为40−15=25．
故答案为：25．
【答案】
(−∞,−1]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
首先将问题转化为fx≤f0恒成立，然后分类讨论求得实数a和实数b的取值范围即可确定a+b的取值范围．
【解答】
解：令fx=ax2+bx+1ex，
则f0=1，
则不等式ax2+bx+1ex≤1对一切x∈R恒成立，
等价于fx≤f0对一切x∈R恒成立，
则fxmax=f0=1，即x=0为函数fx的最大值点．
f′x=ex[ax2+2a+bx+b+1]，
则f′0=b+1=0，则b=−1，
则f′x=exax2+2a−1x=xexax+2a−1，
当a=0时， fx在 −∞,0上单调递增，
在0,+∞上单调递减，则fx≤f0符合题意，
当a<0时，fx在−∞,1−2aa上单调递减，
在1−2aa,0上单调递增，在 0,+∞上单调递减，
则x<1−2aa，ax2−x+1<0，
则fx<0，故fx≤f0符合题意，
综上，a≤0，b=−1，
所以a+b∈(−∞,−1]．
故答案为：(−∞,−1]．
四、解答题
【答案】
解：(1)f′(x)=6x2+6x+a，
k切=f′(0)=a.
又∵ 切线方程为y=−12x+1，
∴ k切=−12，
得a=−12.
∵ 切点在切线上也在曲线上，
∴ f(0)=−12×0+1=1，f(0)=b，
∴ b=1，
∴ f(x)的解析式为y=2x3+3x2−12x+1．
(2)f(x)的定义域为R，
f′(x)=6x2+6x−12,
令f′(x)=0得，x=−2或1，
∴ 在(−∞, −2)，(1, +∞)上单调递增，
在(−2, 1)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(−2)=21，
f(x)极小值=f(1)=−6．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）根据导数的几何意义，及切点在切线也在曲线上，解得a，b的值，进而得出解析式．
（2）在（1）的基础上求导数，先分析单调性，再求极值．
【解答】
解：(1)f′(x)=6x2+6x+a，
k切=f′(0)=a.
又∵ 切线方程为y=−12x+1，
∴ k切=−12，
得a=−12.
∵ 切点在切线上也在曲线上，
∴ f(0)=−12×0+1=1，f(0)=b，
∴ b=1，
∴ f(x)的解析式为y=2x3+3x2−12x+1．
(2)f(x)的定义域为R，
f′(x)=6x2+6x−12,
令f′(x)=0得，x=−2或1，
∴ 在(−∞, −2)，(1, +∞)上单调递增，
在(−2, 1)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(−2)=21，
f(x)极小值=f(1)=−6．
【答案】
解：(1)由第5项与第3项的二项式系数之比为14:3得
Cn4Cn2 = 143
⇒ n(n − 1)(n − 2)(n − 3)1 × 2 × 3 × 4n(n − 1)1 × 2
= (n − 2)(n − 3)12 = 143，
整理得(n−10)(n+5)=0，
所以n=10或n=−5（舍），
即n=10．
(2)由n=10得，(3x − 1)10 = a0 + a1x + a2x2 + ⋯ + a10x10，①
当x=0时，代入①式得a0=1.
因i=1n|ai|=|a1| +|a2| + ⋯ +|a10|
= − a1 + a2 − a3 + ⋯ − a9 + a10，
当x=−1时，代入①式得
a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + ⋯ + a10 = 410，
所以i=1n|ai|= 410−1．
【考点】
二项式系数的性质
组合及组合数公式
二项展开式的特定项与特定系数
二项式定理的应用
【解析】
（1）根据条件建立方程求出n=10；
（2）利用赋值法先求出a0=1，然后根据绝对值和系数之间的关系，令x=−1进行求解即可．
【解答】
解：(1)由第5项与第3项的二项式系数之比为14:3得
Cn4Cn2 = 143
⇒ n(n − 1)(n − 2)(n − 3)1 × 2 × 3 × 4n(n − 1)1 × 2
= (n − 2)(n − 3)12 = 143，
整理得(n−10)(n+5)=0，
所以n=10或n=−5（舍），
即n=10．
(2)由n=10得，(3x − 1)10 = a0 + a1x + a2x2 + ⋯ + a10x10，①
当x=0时，代入①式得a0=1.
因i=1n|ai|=|a1| +|a2| + ⋯ +|a10|
= − a1 + a2 − a3 + ⋯ − a9 + a10，
当x=−1时，代入①式得
a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + ⋯ + a10 = 410，
所以i=1n|ai|= 410−1．
【答案】
解：(1)由已知可得：x¯=5+20+35+40+505=30，
y¯=2+14+24+35+405=23．
又因为i=15xi2=52+202+352+402+502=5750，
i=15xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530，
由回归直线的系数公式知：
b=i=15xiyi−5x¯⋅y¯i=15xi2−5x¯2=4530−5×30×23(52+202+352+402+502)−5×302=10801250=0.864．
a=y¯−bx¯=23−0.864×30=−2.92，
所以y=bx+a=0.864x−2.92．
(2)当x=100（百件）时，y=0.864×100−2.92=83.48<90，
所以按照公司现有的生产状况，可以安排一小时试生产10000件产品的任务．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知可得：x¯=5+20+35+40+505=30，
y¯=2+14+24+35+405=23．
又因为i=15xi2=52+202+352+402+502=5750，
i=15xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530，
由回归直线的系数公式知：
b=i=15xiyi−5x¯⋅y¯i=15xi2−5x¯2=4530−5×30×23(52+202+352+402+502)−5×302=10801250=0.864．
a=y¯−bx¯=23−0.864×30=−2.92，
所以y=bx+a=0.864x−2.92．
(2)当x=100（百件）时，y=0.864×100−2.92=83.48<90，
所以按照公司现有的生产状况，可以安排一小时试生产10000件产品的任务．
【答案】
解：(1)在n=6时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，
说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，
前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性．
P=C53C63⋅C22C11C32C11+C21C11C31C21⋅2=23．
(2)①在n≥8时，P(ξ=2)=Cn−1n−3Cnn−3⋅C11C31+Cn−13Cn3⋅C11Cn−31=2n，
P(ξ=3)=Cn−12C11Cn3⋅C21C11C31C21+C21C11C31C21+Cn−13Cn3⋅Cn−41C11Cn−31Cn−41=3n，
P(ξ=4)=Cn−13Cn3⋅Cn−42C11Cn−32⋅Cn−51=1n，
同理，当4≤k≤n−4时，P(ξ=k)=Cn−13Cn3⋅Cn−4k−2C11Cn−3k−2C(n−3)−(k−2)1=1n，
P(ξ=k−3)=Cn−13Cn3⋅Cn−4n−4C11Cn−3n−4C11⋅2=2n，
②Eξ=2⋅2n+3⋅3n+4⋅1n+5⋅1n+⋯+(n−4)⋅1n+(n−3)⋅2n
=n2−3n+142n．
【考点】
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
古典概型及其概率计算公式
【解析】


【解答】
解：(1)在n=6时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，
说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，
前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性．
P=C53C63⋅C22C11C32C11+C21C11C31C21⋅2=23．
(2)①在n≥8时，P(ξ=2)=Cn−1n−3Cnn−3⋅C11C31+Cn−13Cn3⋅C11Cn−31=2n，
P(ξ=3)=Cn−12C11Cn3⋅C21C11C31C21+C21C11C31C21+Cn−13Cn3⋅Cn−41C11Cn−31Cn−41=3n，
P(ξ=4)=Cn−13Cn3⋅Cn−42C11Cn−32⋅Cn−51=1n，
同理，当4≤k≤n−4时，P(ξ=k)=Cn−13Cn3⋅Cn−4k−2C11Cn−3k−2C(n−3)−(k−2)1=1n，
P(ξ=k−3)=Cn−13Cn3⋅Cn−4n−4C11Cn−3n−4C11⋅2=2n，
②Eξ=2⋅2n+3⋅3n+4⋅1n+5⋅1n+⋯+(n−4)⋅1n+(n−3)⋅2n
=n2−3n+142n．
【答案】
解：(1)由题意知ξ∼B3,25，
故ξ的所有可能为0，1，2，3．
Pξ=0=C30×353=27125，
Pξ=1=C31×25×352=54125，
Pξ=2=C32×35×252=36125，
Pξ=3=C33×253=8125，
则ξ的分布列为：
(2)依题意，n的所有可能的值是0，1，2，⋯，n．
当0≤k≤n−1时，Pη=k=2535k；
当k=n时，Pη=n=35n，
∴ E(η)=0⋅25+1⋅2535+2⋅25352+⋯+(n−1)⋅2535n−1+n⋅35n，①
∴ 35E(η)=1⋅25352+2⋅25353+⋯+(n−1)⋅2535n+n⋅35n+1，②
由①−②，得25Eη=2535+25⋅352+⋯+2535n−1+n−2(n−1)535n−n35n+1，
∴ Eη=321−35n．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意知ξ∼B3,25，
故ξ的所有可能为0，1，2，3．
Pξ=0=C30×353=27125，
Pξ=1=C31×25×352=54125，
Pξ=2=C32×35×252=36125，
Pξ=3=C33×253=8125，
则ξ的分布列为：
(2)依题意，n的所有可能的值是0，1，2，⋯，n．
当0≤k≤n−1时，Pη=k=2535k；
当k=n时，Pη=n=35n，
∴ E(η)=0⋅25+1⋅2535+2⋅25352+⋯+(n−1)⋅2535n−1+n⋅35n，①
∴ 35E(η)=1⋅25352+2⋅25353+⋯+(n−1)⋅2535n+n⋅35n+1，②
由①−②，得25Eη=2535+25⋅352+⋯+2535n−1+n−2(n−1)535n−n35n+1，
∴ Eη=321−35n．
【答案】
解：(1)易知f′x=2x−sin2x
显然f′0=0，∴ x=0为f′x的一个零点，
令g(x)=x−sin2x(0≤x≤π2)，则g′x=1−2cs2x ，
∴g(x)的最小值为gπ6=π6−32<0，
又g0=0，且gπ2=π2>0，
∴ g(x)在(0,π2]上存在唯一零点x0，且x0∈(π6,π2],
∴ f′x=2g(x)在(0,π2]上亦存在唯一零点x0，
∵f′x是奇函数，∴ f′x在[−π2,0)上亦存在唯一零点−x0，
综上所述，当a=1时，f(x)的导函数f′x在−π2,π2上的零点个数为3．
(2)不等式2cs(2sinx)+a2x2≤afx恒成立，即不等式cs(2sinx)≤acs2x恒成立，
令sinx=t∈−1,1，则等价于不等式cs2t≤a(1−t2）①恒成立，
若t2=1，即t=±1时，不等式①显然成立，此时a∈R；
若−1设ℎ(t)=cs2t1−t2(−1当0≤t<1时，ℎ′(t)=2[tcs2t−(1−t2)sin2t](1−t2)2,
令φ(t)=tcs2t−(1−t2)sin2t(0≤t<1)，
则φ′(t)=(2t2−1)cs2t(0≤t<1).
易知φ′22=0,φ′π4=0，且22<π4，于是可得下表：
又φ0=0，φ(π4)=t2−1<0，∴ φt<0在0,1上恒成立，
∴ ℎ(t)在[0,1)上单调递减，∴ ℎ(t)≤ℎ0=1，
显然函数ℎ(t)为偶函数，故函数ℎ(t)在−1,1上的最大值为1，
因此a≥1，
综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1,+∞).
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
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【解答】
解：(1)易知f′x=2x−sin2x
显然f′0=0，∴ x=0为f′x的一个零点，
令g(x)=x−sin2x(0≤x≤π2)，则g′x=1−2cs2x ，
∴g(x)的最小值为gπ6=π6−32<0，
又g0=0，且gπ2=π2>0，
∴ g(x)在(0,π2]上存在唯一零点x0，且x0∈(π6,π2],
∴ f′x=2g(x)在(0,π2]上亦存在唯一零点x0，
∵f′x是奇函数，∴ f′x在[−π2,0)上亦存在唯一零点−x0，
综上所述，当a=1时，f(x)的导函数f′x在−π2,π2上的零点个数为3．
(2)不等式2cs(2sinx)+a2x2≤afx恒成立，即不等式cs(2sinx)≤acs2x恒成立，
令sinx=t∈−1,1，则等价于不等式cs2t≤a(1−t2）①恒成立，
若t2=1，即t=±1时，不等式①显然成立，此时a∈R；
若−1设ℎ(t)=cs2t1−t2(−1当0≤t<1时，ℎ′(t)=2[tcs2t−(1−t2)sin2t](1−t2)2,
令φ(t)=tcs2t−(1−t2)sin2t(0≤t<1)，
则φ′(t)=(2t2−1)cs2t(0≤t<1).
易知φ′22=0,φ′π4=0，且22<π4，于是可得下表：
又φ0=0，φ(π4)=t2−1<0，∴ φt<0在0,1上恒成立，
∴ ℎ(t)在[0,1)上单调递减，∴ ℎ(t)≤ℎ0=1，
显然函数ℎ(t)为偶函数，故函数ℎ(t)在−1,1上的最大值为1，
因此a≥1，
综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1,+∞).P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
x
1
2
3
4
5
y
5
5
6
6
8
X
1
2
3
4
P
14
316
a
b
x（百件）
5
20
35
40
50
y（件）
2
14
24
35
40
P(k2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
ξ
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
ξ
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125