2020-2021学年湖南省永州市高一（下）4月联考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省永州市高一（下）4月联考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知向量a→=−1,1，b→=1,12，则a→−b→=( )
A.−32,12B.0,12C.−2,12D.−2,−12

2. 已知集合A={1,2,a2+2}，B={1,3a}，若B⊆A，则a=（ ）
A.1或2B.2C.3D.1或2或23

3. 函数fx=ex−1−2零点所在的区间是（ ）
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

4. 已知x=lg0.32，y=20.3，z=0.32，则( )
A.x
5. 在△ABC中，点E，F在边AB上，且E，F为AB边上的三等分点（其中E为靠近点A的三等分点），且CE→=mCB→+nCA→，则（ ）
A.m=23,n=−13B.m=13,n=23C.m=23,n=13D.m=13,n=−23

6. 将函数fx=2sin2x+π3的图像向右平移π3，再将横坐标上所有的点伸长为原来的2倍，再向上平移1个单位，得到函数gx，则gx的函数解析式为（ ）
A.gx=2sin2xB.gx=2sinx+1
C.gx=2sinx−π3+1D.gx=2sinx−π6+1

7. 已知函数fx的图像如下，请根据图像选出符合条件的解析式（ ）

A.fx=x3⋅sinxex−e−xx≠0B.fx=x3⋅csxex+e−xx≠0
C.fx=x3⋅csxex−e−xx≠0D.fx=x3⋅sinxex+e−xx≠0

8. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m=5−12的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18∘表示，即5−12=2sin18∘，则sin29∘−122−m2⋅sin36∘的值为( )
A.12B.5+1C.−5+1D.−12
二、多选题

已知i是虚数单位，复数z1+2i=1i（z的共轭复数为z¯），则下列说法中正确的是( )
A.z¯的虚部为i
B.z⋅z¯=3
C.z2=3−4i
D.复数z在复平面内对应的点在第四象限

下列结论正确的是（ ）
A.在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB
B.半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12
C.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D.若a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a2+b2−c2<0，则△ABC是钝角三角形

函数fx定义域为R，对任意的x1,x2∈R都满足x1fx1+x2fx2>x1fx2+x2fx1，下列结论正确的是（ ）
A.函数fx在R上是单调递减函数B.f−2C.fx+1
设函数fx=|x2+3x|，x≤1，lg2x，x>1， 若函数fx+m=0有五个零点，则实数m可取( )
A.−3B.1C.−12D.−2
三、填空题

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b=2，sinB=45，则sinA=________.

请写出满足函数fx的周期为2的任意一个解析式________.

欧拉公式eix=csx+isinx（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当x=π3时，ei⋅π3=csπ3+isinπ3，根据欧拉公式，若将e2021π⋅i 所表示的复数记为z，则将复数z1+i表示成三角形式为________ .

秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S=14a2c2−a2+c2−b222，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sinAcsBc=12c⋅sinA−csAsinBc，且b=1，则△ABC面积S的最大值为________ .
四、解答题

已知复数z=m2−5m+6+m2+2m−8i，m∈R .
(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)当实数m取何值时，复数z对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上．

已知向量a→=2,4，b→=−1,3，c→=x,2 .
(1)若a→−kb→与2a→+b→垂直，求k的值；

(2)若b→与c→的夹角为锐角，求x的取值范围．

已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点3,4 .
(1)求sinπ−α−2sinπ2−αcsπ+α−sin−α的值；

(2)已知π2<β<π，且csβ=−13，求csα+β的值．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2A=a−bsinB+2sin2C，△ABC外接圆半径为1 .
(1)求角C；

(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．

已知幂函数fx=m2−2m+2x5k−2k2 k∈Z是偶函数，且在0,+∞上单调递增．
(1)求函数fx的解析式；

(2)若f2x−1
(3)若实数a，ba,b∈R+满足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值．

设a→=12,sinx，b→=cs2x−sin2x,csx，且fx=a→⋅b→ .
(1)求fx的单调递减区间；

(2)若函数fx的图像关于点x0,y0对称，求正数x0的最小值；

(3)若函数gx=2fx−5π24+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点x1,x2，求m的取值范围，并求tanx1+x2的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省永州市高一（下）4月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
解析：本题考查向量的坐标运算，直接带公式即可。
【解答】
解：由向量的坐标运算公式：设a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2)，
则a→+b→=(x1+x2,y1+y2)，a→−b→=(x1−x2,y1−y2)，
∴把本题的数带入公式就得到答案a→−b→=(−2,12).
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
因为B⊆A，若3a=2，则a=23，符合；若a2+2=3a，则a=1或2，经检验均符合，故选D．
【解答】
解：因为B⊆A，若3a=2，则a=23，符合；
若a2+2=3a，则a=1或2，经检验均符合，
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
二分法求方程的近似解
函数零点的判定定理
【解析】
因为函数fx为单调递增函数，且f2=e−2>0，f1=−1<0，所以零点所在的区间是1,2，故选：B．
【解答】
解：因为函数fx为单调递增函数，
且f2=e−2>0，f1=−1<0，
所以零点所在的区间是1,2.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
由对数函数y=lg0.3x、指数函数y=3x,y=0.3的单调性，可以得到x<0,y>1.0,020=1,0<0.32<0.32=1，则0【解答】
解：由对数函数y=lg0.3x、指数函数y=2x，y=0.3x的单调性，
可得大小关系，x=lg0.32<0，y=20.3>20=1，
0<0.32<0.30=1，则0可以得到x<0，y>1，0故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解．
【解答】
解：CE→=CB→+BE→=CB→+23BA→=CB→+23CA→−CB→=13CB→+23CA→，
故选B .
6.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
函数fx=2sin2x+π3的图像向右平移π3，得到的函数解析式为y=2sin2x−π3，再将横坐标上所有的点拉伸为限来的2倍，得到的解析式为y=2sinx−π3，故gx=2sinx−π3+1 .
故选：C .
【解答】
解：函数fx=2sin2x+π3的图像向右平移π3，
得到的函数解析式为y=2sin2x−π3，
再将横坐标上所有的点拉伸为原来的2倍，
得到的解析式为y=2sinx−π3，
故gx=2sinx−π3+1 .
故选C .
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象变化
【解析】
利用函数的奇偶性排除选项CD；利用特殊值排除选项B.
【解答】
解：由函数的图象可知，该函数为奇函数，
结合选项可知，CD选项为偶函数，不合题意，舍去；
由图象可知，f2>0，
对于选项B，函数fx=x3⋅csxex+e−xx≠0，
∵ 23cs2<0，e2+e−2>0，
∴ f2<0，故排除选项B.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】

【解答】
解： sin29∘−122−m2⋅sin36∘=−121−2sin29∘sin36∘⋅2−4sin218∘
=−12cs18∘2sin36∘⋅cs36∘=−12⋅cs18∘sin72∘=−12 .
故选D .
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】

【解答】
解：z=1+2ii=2−i，所以z¯=2+i，z¯的虚部为i，故A错误；
对于B，z⋅z¯=22−i2=5，故B不正确；
对于C，z=2−i，z2=3−4i，故C正确；
对于D， z=1+2ii=2−i，故D正确 .
故选CD .
【答案】
A,D
【考点】
正弦定理
余弦定理
扇形面积公式
【解析】
△ABC中， A>B⇔a>b，由asinA=bsinB，得sinA>sinB，A正确；
B选项，S扇形=12|α|⋅R2=12×12×22=1，故B错；
△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180∘，即A=B或A+B=90∘,△ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；
D选项，∵a2+b2−c2<0，由余弦定理可知csC<0，
∴ C为钝角，∴ △ABC是钝角三角形，故D正确；故选：AD．
【解答】
解：△ABC中， A>B⇔a>b，由asinA=bsinB，得sinA>sinB，A正确；
B选项，S扇形=12|α|⋅R2=12×12×22=1，故B错；
△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180∘，
即A=B或A+B=90∘，△ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；
D选项，∵a2+b2−c2<0，由余弦定理可知csC<0，
∴ C为钝角，∴ △ABC是钝角三角形，故D正确；
故选AD．
【答案】
B,C
【考点】
函数单调性的性质
奇偶性与单调性的综合
【解析】
x1−x2fx1−fx2>0，所以fx在R上单调递增，所以A错，
因为fx为R上的递增函数，所以f−2fx+1故选：BC .
【解答】
解：x1−x2fx1−fx2>0，所以fx在R上单调递增，所以A错，
因为fx为R上的递增函数，所以f−2fx+1故选BC .
【答案】
C,D
【考点】
函数的图象
函数的零点与方程根的关系
【解析】
函数fx+m=0有五个零点等价于y=fx与y=−m有五个不同的交点，作出fx图象可知．若y=fx与y=−m有四个不同的交点，则−m∈0,94，∴ m∈−92,0，故选：CD．
【解答】
解：函数fx+m=0有五个零点等价于y=fx与y=−m有五个不同的交点，作出fx图象，
若y=fx与y=−m有四个不同的交点，
则−m∈0,94，所以m∈−92,0．
故选CD．
三、填空题
【答案】
25
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：∵ a=1，b=2，sinB=45，
∴ 由正弦定理可得sinA=asinBb=1×452=25.
故答案为：25.
【答案】
f(x)=sinπxf(x)=csπx,f(x)=tanπ2x
【考点】
函数的周期性
【解析】
直接写出周期即可.
【解答】
解：由三角函数的性质可知，
f(x)=sinπx，f(x)=csπx，f(x)=tanπ2x，均为周期为2的函数.
故答案为：f(x)=sinπxf(x)=csπx,f(x)=tanπ2x.
【答案】
22cs3π4+1sin3π4
【考点】
欧拉公式
【解析】
因为e2014=cs2021π+isin2021π=−1，所以z1+i=−11+i=22cs3π4+sin3π4 .
【解答】
解：因为e2021πi=cs2021π+isin2021π=−1，
所以z1+i=−11+i=22cs3π4+sin3π4 .
故答案为：22cs3π4+isin3π4．
【答案】
74
【考点】
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：sinAcsBc=12⋅c⋅sinA−csAsinBc
⇒sinAcsB+csAsinBc=sinCc=12c⋅sinA，
即ac=2，a2+c2≥2ac=4，
故S=14a2c2−a2+c2−b222
=144−a2+c2−b222
≤716=74，
当且仅当a=c=2时取“=”号 .
故答案为：74.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意可得m2−5m+6=0，m2+2m−8≠0，
解得m=3 .
(2)当复数z对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上时，
m2−5m+6=m2+2m−8，解得m=2，
所以m=2时，复数z对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上 .
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】


【解答】
解：(1)由题意可得m2−5m+6=0，m2+2m−8≠0，
解得m=3 .
(2)当复数z对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上时，
m2−5m+6=m2+2m−8，解得m=2，
所以m=2时，复数z对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上 .
【答案】
解：(1)因为向量a→=2,4,b→=−1,3，
所以2a→+b→=3,11，a→−kb→=2+k,4−3k，
因为a→−kb→与2a¯+b¯垂直，
所以a→−kb→⋅2a→+b→=0，
所以k=53 .
(2)b→与c→的夹角为锐角，
∴ cs⟨b→,c→⟩=b→⋅c→|b→|⋅|c|>0，且cs⟨b→,c→⟩=b→⋅c→|b→|⋅|c→|>0，
又cs⟨b→，c→⟩≠1，即b→⋅c→>0，且向量b→与向量c→不共线，
∴ −x+6>0，x≠−23，
得x<6，且x≠−23 .
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】


【解答】
解：(1)因为向量a→=2,4,b→=−1,3，
所以2a→+b→=3,11，a→−kb→=2+k,4−3k，
因为a→−kb→与2a¯+b¯垂直，
所以a→−kb→⋅2a→+b→=0，
所以k=53 .
(2)b→与c→的夹角为锐角，
∴ cs⟨b→,c→⟩=b→⋅c→|b→|⋅|c|>0，且cs⟨b→,c→⟩=b→⋅c→|b→|⋅|c→|>0，
又cs⟨b→，c→⟩≠1，即b→⋅c→>0，且向量b→与向量c→不共线，
∴ −x+6>0，x≠−23，
得x<6，且x≠−23 .
【答案】
解：(1)依题意tana=43，
原式=sinπ−α−2sinπ2−αcsπ+α−sin−α
=sinα−2csa−csα+sina
=tana−2tana−1=−2 .
(2)因为α终边过点3,4，所以sina=45，csa=35，
因为π2<β<π，且csβ=−13，所以sinβ=223，
所以csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=−3+8215 .
【考点】
诱导公式
两角和与差的余弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)依题意tana=43，
原式=sinπ−α−2sinπ2−αcsπ+α−sin−α
=sinα−2csa−csα+sina
=tana−2tana−1=−2 .
(2)因为α终边过点3,4，所以sina=45，csa=35，
因为π2<β<π，且csβ=−13，所以sinβ=223，
所以csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=−3+8215 .
【答案】
解：(1)因为△ABC外接圆半径为1，
所以asinA=bsinB=csinC=2，
又因为2sin2A=a−bsinB+2sin2C，
所以a2−c2=ab−b2，即a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈0,π，所以C=π3 .
(2)在△ABC中， C=π3，
由正弦定理可得，bsinB=asinA=csinC=2，
所以a=2sinA，b=2sinB，C=3，
因为△ABC为锐角三角形，C=π3，
A+B>π2，B<π2， 所以π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，且π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，
=232csB+12sinB+2sinB
=3sinB+3csB
=23sinB+π6，
所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，且π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB
=232csB+12sinB+2sinB
=3sinB+3csB
=23sinB+π6，
π323sin(B+π6)∈(3,23]，所以3所以△ABC的周长a+b+c的范围为(3+3,33]．
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)因为△ABC外接圆半径为1，
所以asinA=bsinB=csinC=2，
又因为2sin2A=a−bsinB+2sin2C，
所以a2−c2=ab−b2，即a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈0,π，所以C=π3 .
(2)在△ABC中， C=π3，
由正弦定理可得，bsinB=asinA=csinC=2，
所以a=2sinA，b=2sinB，C=3，
因为△ABC为锐角三角形，C=π3，
A+B>π2，B<π2， 所以π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，且π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，
=232csB+12sinB+2sinB
=3sinB+3csB
=23sinB+π6，
所以a+b=2sin2π3−B+2sinB，且π6所以a+b=2sin2π3−B+2sinB
=232csB+12sinB+2sinB
=3sinB+3csB
=23sinB+π6，
π323sin(B+π6)∈(3,23]，所以3所以△ABC的周长a+b+c的范围为(3+3,33]．
【答案】
解：(1)∵ m2−2m+2=1，∴ m=1，
∵ 5k−2k2>0，∴ 0∵ fx在0,+∞上单调递增，fx为偶函数，
∴ k=2，即fx=x2 .
(2)∵ f2x−1∴ |2x−1|<|2−x|⇒x∈−1,1 .
(3)由题可知：∵ 2a+3b=7，
∴ 2a+1+3b+1=12⇒a+16+b+14=1，
∴ 3a+1+2b+1
=a+16+b+14⋅3a+1+2b+1
=1+34⋅b+1a+1+a+13b+1≥1+214=2，
当且仅当34⋅b+1a+1=a+13b+1
⇒2a=3b+1，即a=2，b=1时等号成立．
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
函数奇偶性的性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】



【解答】
解：(1)∵ m2−2m+2=1，∴ m=1，
∵ 5k−2k2>0，∴ 0∵ fx在0,+∞上单调递增，fx为偶函数，
∴ k=2，即fx=x2 .
(2)∵ f2x−1∴ |2x−1|<|2−x|⇒x∈−1,1 .
(3)由题可知：∵ 2a+3b=7，
∴ 2a+1+3b+1=12⇒a+16+b+14=1，
∴ 3a+1+2b+1
=a+16+b+14⋅3a+1+2b+1
=1+34⋅a+1a+1+a+13b+1≥1+214=2，
当且仅当34⋅b+1a+1=a+13b+1
⇒2a=3b+1，即a=2，b=1时等号成立．
【答案】
解：(1)fx=a→⋅b→
=12cs2x+12sin2x=22sin2x+π4，
2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2
⇒kπ+π8≤x≤kπ+5π8k∈Z，
∴ fx的单调递减区间为kπ+π8,kπ+5π8k∈Z .
(2)由题意可得： 2x0+π4=kπ，
则x0=12kπ−π8,k∈Z，
∵ x0>0 ，∴ fx0min=3π8 .
(3)gx=2fx−5π24+m=sin2x−π6+m，
∵ 2x−π6∈0,5π6，∴ sin2x−π6∈0,1，
要有两个不同的交点，∴ −1⇒2x−π6=kπ+π2，∴ x0=kπ2+π3，
令k=0⇒x=π3，故fx的对称轴为：x=π3∈π12,π2，
∴ x1+x2=2π3，tanx1+x2=−3 .
【考点】
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
正弦函数的对称性
函数的零点与方程根的关系
【解析】



【解答】
解：(1)fx=a→⋅b→
=12cs2x+12sin2x=22sin2x+π4，
2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2
⇒kπ+π8≤x≤kπ+5π8k∈Z，
∴ fx的单调递减区间为kπ+π8,kπ+5π8k∈Z .
(2)由题意可得： 2x0+π4=kπ，
则x0=12kπ−π8,k∈Z，
∵ x0>0 ，∴ fx0min=3π8 .
(3)gx=2fx−5π24+m=sin2x−π6+m，
∵ 2x−π6∈0,5π6，∴ sin2x−π6∈0,1，
要有两个不同的交点，∴ −1⇒2x−π6=kπ+π2，∴ x0=kπ2+π3，
令k=0⇒x=π3，故fx的对称轴为：x=π3∈π12,π2，
∴ x1+x2=2π3，tanx1+x2=−3 .