2020-2021学年山东省临沂市高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省临沂市高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. C102+C107=( )
A.120B.165C.210D.220

2. 在100件产品中有4件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则( )
A.X∼B100,0.04B.X∼B100,0.96C.X∼B10,0.04D.X∼B10,0.96

3. 学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选3科参加考试，某生如果从化学、生物中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为( )
A.8B.10C.12D.20

4. 袋中有大小完全相同的3个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则PB|A为( )
A.15B.14C.310D.25

5. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P移动六次后位于点2,4的概率是( )
A.C62126B.C64124C.126D.C62C64126

6. 我国高铁发展迅速，经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X服从正态分布N0.98,σ2，且PX<0.97=0.015，则P0.97
7. 若函数f(x)=x3+ax2+x在区间(0, +∞)上存在极值点，则实数a的取值范围是( )
A.(−∞,−3)B.(−∞,−3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)

8. 如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为二项式3x−15的展开式的各项系数之和．现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使图形为“和谐图形”的概率为( )

A.13B.415C.315D.215

9. 下列等式中，成立的有( )
A.Anm=n!m!B.Anm=CnmAmm
C.Cnm=AnnAmmD.Anm=nAn−1m−1

10. 关于函数fx=13x3−4x+4，给出下列说法中正确的有( )
A.fx的极大值为283，极小值为−43
B.当x∈3,4时，fx的最大值为283，最小值为−43
C.fx的单调减区间为−2,2
D.fx在点0,4处的切线方程为4x+y−4=0

11. 若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545.某学校高二学生数学学业质量检测考试成绩X∼N80,25 ，则( )
A.PX≥85≈0.3173B.PX≤70≈0.0228
C.PX≥75≈0.8414D.P70≤X≤85≈0.8186

12. 已知函数fx的定义域为−1,5，部分函数值如表，fx的导函数y=f′x的图象如图，下列关于函数fx的性质，正确的有( )
A.函数fx在0,1上单调递减
B.如果当x∈[−1,t]时fx的最大值是2，那么t的最大值为4
C.函数fx的最小值为0
D.函数fx在x=2处有极大值
二、填空题

A88−55A66−5A55=________.

学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有________种不同的发放方法．

从45名学生中随机选出5名学生参加问卷调查，则甲、乙恰好被选中的概率为________.

随机变量ξ的取值为0，1，2，若Pξ=0=15，Eξ=1，则Dξ=________.
三、解答题

5名同学去参加同时举行的3个课外知识讲座．
(1)每名同学可以自由选择参加其中1个讲座，不同选择的种数是多少？

(2)每个讲座至少有1名同学参加，不同选择的种数是多少？

已知在3x2+3x2n的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求n的值；

(2)求展开式中x6的项．

某校积极落实立德树人，坚持五育并举，按计划组织学生到社会实践活动基地参加实践活动，学生在实践活动中共同学习制作了一大批同规格的手工艺品，这种工艺品有A，B两项技术指标需要检测，设两项技术指标达标与否互不影响，若A项技术指标达标的概率为34，B项技术指标达标的概率为89，按质量规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品．
(1)求一个工艺品经过检测恰有一项技术指标达标的概率；

(2)任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列．

已知函数f(x)=lnx−ax，其中a为常数．
(1)当a=1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0, e]上的最大值为−2，求a的值．

甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团．游戏规则为：
①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球，然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O构造三角形．若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．
(1)求甲能参加音乐社团的概率；

(2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差．

如图，在半径为103cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V(cm3)．

(1)按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ(rad)，将V表示为θ的函数；

(2)请您选用(1)问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
组合及组合数公式
【解析】
直接由组合数的运算公式求解即可．
【解答】
解：C102+C107
=C102+C103
=10×92×1+10×9×83×2×1
=45+120
=165．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
二项分布
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从100件产品中抽10次，抽取次数n=10 ，
抽中次品的概率P=4100=0.04，
所以X∼B10,0.04.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分步乘法计数原理
【解析】
分步选取即可.
【解答】
解：从化学、生物中任选1科有C21种选法，
从其他4科中任选2科有C42种选法，
故不同的选法有C21C42=2×6=12种.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】

【解答】
解：由题意得P(A)=12，
P(AB)=A32A62=15，
所以PB|A=P(AB)P(A)=25.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】

【解答】
解：根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点2,4，
在移动过程中向上移动4次，向右移动2次，
则其概率为P=C64124122=C62126.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据X服从正态分布N0.98,σ2 ，可得P0.97【解答】
解：∵X服从正态分布N0.98,σ2，且PX<0.97=0.015，
∴P0.97=1−2×0.015=0.97．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
先求导f′(x)=3x2+2ax+1，根据题意可得3x2+2ax+1=0在(0, +∞)上有解，△=4a2−12>0且 − 2a3> 0，即可解出a的取值范围．
【解答】
解：f′(x)=3x2+2ax+1，
根据题意可得3x2+2ax+1=0在(0, +∞)上有解，
∴ Δ=4a2−12>0且−2a2×3>0，
解得a<−3．
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
古典概型及其概率计算公式
二项式定理的应用
【解析】
求得二项式3x−15的展开式的各项系数之和，列出所有基本事件，再找到满足条件的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】
解：二项式3x−15的展开式的各项系数之和为25=32，
从0，1，2，3，4，5中任取两个数字有
0,1，0,2，0,3，0,4，0,5，
1,2，1,3，1,4，1,5，
2,3，2,4，2,5，
3,4，3,5，
4,5，
共15种等可能出现的基本情况，
由于四个三角形上的数字之和为32，
则另外两个三角形的数字之和为36−32=4，
则只有0,4，1,3共2种，
故恰好使该图形为“和谐图形”的概率为P=215．
故选D．
9.
【答案】
B,D
【考点】
排列及排列数公式
组合及组合数公式
【解析】

【解答】
解：A，Anm=nn−1⋯n−m+1=n!n−m!，故A错误；
B，Anm=n(n−1)⋯(n−m+1)m!m!=CnmAmm，故B正确；
C，AnnAmm=n!m!，故C错误；
D，nAn−1m−1=n(n−1)⋯[n−1−(m−1)+1]=Anm，故D正确.
故选BD.
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
导数求函数的最值
命题的真假判断与应用
【解析】
求得fx的导数，可得单调区间和极值，求得在点0,4处的切线斜率，可得切线的方程；由fx在3,4递增，可得最值，即可判断正确结论．
【解答】
解：因为fx=13x3−4x+4，
所以f′x=x2−4，
所以当−2当x>2或x<−2时，f′x>0
所以fx在−2,2上单调递减，在−∞,−2和2,+∞上单调递增，
所以fx在x=−2处取得极大值283，在x=2处取得极小值−43.
因为f′(0)=−4，
所以fx在点0,4处的切线方程为y=−4x+4，即4x+y−4=0.
因为fx在3,4上单调递增，
所以fx的最小值为f3=1，最大值为f4=283，
故ACD正确，B错误．
故选ACD．
11.
【答案】
B,C,D
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
利用正态曲线的对称性求解即可.
【解答】
解：X∼N呈正态分布，由题意知μ=80，σ=5，
∴P75≤X≤85≈0.6827，
∴Px≥85≈12×1−0.6827=0.15865 ，故A错误；
∵P70≤x≤90≈0.9545，
∴Px≤70≈12×1−0.9545≈0.0228， 故B正确；
Px≥75=P75≤x≤85+Px≥85≈0.8414，故C正确；
P70≤x≤85=P75≤x≤85
+12×P70≤x≤90−P75≤x≤85
≈0.6827+12×0.9545−0.6827
=0.6827+0.1359=0.8186，故D正确.
故选BCD.
12.
【答案】
A,C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
【解析】
先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证．
【解答】
解：由导数的图象可知，
当−10，
函数fx单调递增，
当0函数fx单调递减，故A正确；
由y=f′x的图象，及表中数据可得当x=0或4时，函数取最大值2，
可得当t>4时，也满足条件，故B错误；
由y=f′x的图象，及表中数据可得当x=1时，函数取最小值0，故C正确；
由函数的增减性可得当x=0或4时，有极大值，故D错误；
故选AC．
二、填空题
【答案】
120
【考点】
排列及排列数公式
【解析】
利用排列数运算公式求解即可.
【解答】
解：A88−55A66−5A55
=8×7×6×A55−55×6×A55−5A55
=336A55−330A55−5A55
=A55
=5×4×3×2×1
=120.
故答案为：120.
【答案】
10
【考点】
分类加法计数原理
组合及组合数公式
【解析】
根据题意，分2种情况讨论，①、将3个排球、1个篮球分给4个班，②、将2个排球、2个篮球分给4个班，分别求出每种情况的发放方法数目，由分类计数原理，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①、将3个排球、1个篮球分给4个班，
在4个班中取出3个，分得排球剩余1个班分得篮球即可，则有C43=4种情况；
②、将2个排球、2个篮球分给4个班，
在4个班中取出2个，分得排球剩余2个班分得篮球即可，则有C42=6种情况，
则共有6+4=10种发放方法.
故答案为：10.
【答案】
199
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合的应用
【解析】
事件的总数即为C455，满足条件的即除去甲乙后的43个人中再选3人，即C433，再利用古典概型公式即可求解.
【解答】
解：记选出5名学生中，甲、乙恰好被选中的事件为A，
由题意可得P(A)=C433C455=199.
故答案为：199.
【答案】
25
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
设Pξ=1=p， Pξ=2=q，列方程组可得p=35，q=15，代入公式可得Dξ
【解答】
解：设Pξ=1=p， Pξ=2=q，
则p+q+15=1①，
Eξ=0×15+1×p+2×q=1②，
联立①②，解得p=35，q=15，
所以Dξ=0−12×15+1−12×35+2−12×15=25.
故答案为：25.
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意，每名同学可以自由选择听3个课外知识讲座中的任意1个讲座，
则每一名学生有3种选择方法，
则5名同学共有3×3×3×3×3=35=243种选择方法．
2可分为两种情况：
①三人一组，其余一人一组，
选法有C53A33=60种；
②两个两人组和一个一人组，
选法有C51C31C42=90，
则不同的选择方法有60+90=150种.
【考点】
分步乘法计数原理
排列、组合的应用
【解析】
根据题意，分析可得每一名学生有3种选择的可能，进而由分步计数原理计算可得答案．
分情况讨论选择情况.
【解答】
解：(1)根据题意，每名同学可以自由选择听3个课外知识讲座中的任意1个讲座，
则每一名学生有3种选择方法，
则5名同学共有3×3×3×3×3=35=243种选择方法．
2可分为两种情况：
①三人一组，其余一人一组，
选法有C53A33=60种；
②两个两人组和一个一人组，
选法有C51C31C42=90，
则不同的选择方法有60+90=150种.
【答案】
解：(1)令x=1，可得3x2+3x2n=4n，
由题意可得4n=2n+992，即22n−2n−32×31=0，
所以2n=32，
解得n=5．
(2)由于展开式的通项公式为
Tr+1=C5r3x25−r3x2r=C5r⋅3r⋅x10+4r3，
令10+4r3=6，解得r=2，
故展开式中x6的项为T3=C52×9×x6=90x6．
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
二项式系数的性质
【解析】
(1)由题意可得4n=2n+992，解得2n的值，可得n的值．
(2)先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于6，求得r的值，即可求得展开式中的含x6的项．
【解答】
解：(1)令x=1，可得3x2+3x2n=4n，
由题意可得4n=2n+992，即22n−2n−32×31=0，
所以2n=32，
解得n=5．
(2)由于展开式的通项公式为
Tr+1=C5r3x25−r3x2r=C5r⋅3r⋅x10+4r3，
令10+4r3=6，解得r=2，
故展开式中x6的项为T3=C52×9×x6=90x6．
【答案】
解：(1)设M：一个工艺品经过检测恰有一项技术指标达标，
则PM=34×1−89+1−34×89=1136．
(2)工艺品两项技术指标都达标的概率为34×89=23，
依题意知ξ∽B4,23 ，
ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
Pξ=0=134=181；
Pξ=1=C41(23)1(13)3=881；
P(ξ=2)=C42(23)2(13)2=2481=827；
P(ξ=3)=C43(23)3(13)1=3281；
pξ=4=234=1681；
∴ ξ的分布列为：
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】


【解答】
解：(1)设M：一个工艺品经过检测恰有一项技术指标达标，
则PM=34×1−89+1−34×89=1136．
(2)工艺品两项技术指标都达标的概率为34×89=23，
依题意知ξ∽B4,23 ，
ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
Pξ=0=134=181；
Pξ=1=C41(23)1(13)3=881；
P(ξ=2)=C42(23)2(13)2=2481=827；
P(ξ=3)=C43(23)3(13)1=3281；
pξ=4=234=1681；
∴ ξ的分布列为：
【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，
则f′(x)=1x−1=1−xx (x>0)，
当x∈(0, 1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(1)=−1.
(2)f′(x)=1x−a，
由x∈(0,e]，可得1x∈[1e, +∞)，
①当a≤0时，f′(x)>0，可得函数f(x)在(0, e]上单调递增；
所以f(e)max=lne−ae=−2，
解得a=3e，不符合题意；
②当a>0时，
令f′(x)=0，解得x=1a，
所以当x∈(0,1a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1a, +∞)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
i)当1a>e，即0所以x∈(0, e]，f(e)max=lne−ae=−2，
解得a=3e，不符合题意；
ii)当1a≤e，即a≥1e，
当x∈(0, 1a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(1a, e]，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
所以当x=1a时，f(1a)max=ln1a−1a⋅a=−2，
解得a=e，满足条件，
综上所述满足条件，a的值为e．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，
则f′(x)=1x−1=1−xx (x>0)，
当x∈(0, 1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(1)=−1.
(2)f′(x)=1x−a，
由x∈(0,e]，可得1x∈[1e, +∞)，
①当a≤0时，f′(x)>0，可得函数f(x)在(0, e]上单调递增；
所以f(e)max=lne−ae=−2，
解得a=3e，不符合题意；
②当a>0时，
令f′(x)=0，解得x=1a，
所以当x∈(0,1a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1a, +∞)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
i)当1a>e，即0所以x∈(0, e]，f(e)max=lne−ae=−2，
解得a=3e，不符合题意；
ii)当1a≤e，即a≥1e，
当x∈(0, 1a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(1a, e]，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
所以当x=1a时，f(1a)max=ln1a−1a⋅a=−2，
解得a=e，满足条件，
综上所述满足条件，a的值为e．
【答案】
解：(1)从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8随机摸出两个小球共有C82=28种不同取法，
设“甲能参加音乐社团”为事件A，则“甲不能参加音乐社团”为事件A¯，
则A¯的基本事件为(A1, A2)，(A1, A5)，(A1, A8)，(A2, A3)，
(A2, A6)，(A3, A4)，(A3, A7)，(A4, A5)，(A4, A8)，
(A5, A6)，(A6, A7)，(A7, A8)共12种，
故P(A)=1−P(A¯)=1 − 1228 = 47．
(2)由题意可得：
随机变量X的可能取值为0，1，2，3且X∽B(3, 47)，
P(X=0)=C30(47)0(37)3=27343；
P(X=1)=C31(47)1(37)2=108343；
P(X=2)=C32(47)2(37)1=144343；
P(X=3)=C33(47)3(37)0=64343；
故X的分布列为：
E(X)=3 × 47 = 127，
D(X)=3×47×(1−47)=3649．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
对立事件的概率公式及运用
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(1)先求出随机摸出两个小球的不同取法，再设“甲能参加音乐社团”为事件A，则“甲不能参加音乐社团”为事件A¯，求出A¯基本事件的个数即可，
(2)由X∽B(3, 47)，再利用服从二项分布的离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法即可得解．
【解答】
解：(1)从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8随机摸出两个小球共有C82=28种不同取法，
设“甲能参加音乐社团”为事件A，则“甲不能参加音乐社团”为事件A¯，
则A¯的基本事件为(A1, A2)，(A1, A5)，(A1, A8)，(A2, A3)，
(A2, A6)，(A3, A4)，(A3, A7)，(A4, A5)，(A4, A8)，
(A5, A6)，(A6, A7)，(A7, A8)共12种，
故P(A)=1−P(A¯)=1 − 1228 = 47．
(2)由题意可得：
随机变量X的可能取值为0，1，2，3且X∽B(3, 47)，
P(X=0)=C30(47)0(37)3=27343；
P(X=1)=C31(47)1(37)2=108343；
P(X=2)=C32(47)2(37)1=144343；
P(X=3)=C33(47)3(37)0=64343；
故X的分布列为：
E(X)=3 × 47 = 127，
D(X)=3×47×(1−47)=3649．
【答案】
解：(1)①AD=x，OD=103，
由勾股定理得AB=2(103)2−x2=2πr，
∴ r=300−x2π，
∴ V=f(x)=π(300−x2π)2⋅x
=1π(−x3+300x)(0②AD=103sinθ，AB=203csθ=2πr，
∴r=103csθπ，
∴ V=g(θ)=π(103csθπ)2⋅103sinθ
=30003πsinθcs2θ(0<θ<π2).
(2)选用f(x)：
f′(x)=−3π(x+10)(x−10)(0令f′(x)=0，则x=10.
列表得：
∴f(x)max=f(10)=2000π.
选用g(θ)：
令t=sinθ，0∴ℎ(t)=30003πt(1−t2)，
∴ ℎ′(t)=−90003π(t+33)(t−33)，
令 ℎ′(t)=0，解得t=33.
列表得：
∴ ℎ(t)max=ℎ(33)=2000π，即g(θ)max=2000π.
答：圆柱形罐子的最大体积为2000πcm3．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
导数求函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)①AD=x，OD=103，
由勾股定理得AB=2(103)2−x2=2πr，
∴ r=300−x2π，
∴ V=f(x)=π(300−x2π)2⋅x
=1π(−x3+300x)(0②AD=103sinθ，AB=203csθ=2πr，
∴r=103csθπ，
∴ V=g(θ)=π(103csθπ)2⋅103sinθ
=30003πsinθcs2θ(0<θ<π2).
(2)选用f(x)：
f′(x)=−3π(x+10)(x−10)(0令f′(x)=0，则x=10.
列表得：
∴f(x)max=f(10)=2000π.
选用g(θ)：
令t=sinθ，0∴ℎ(t)=30003πt(1−t2)，
∴ ℎ′(t)=−90003π(t+33)(t−33)，
令 ℎ′(t)=0，解得t=33.
列表得：
∴ ℎ(t)max=ℎ(33)=2000π，即g(θ)max=2000π.
答：圆柱形罐子的最大体积为2000πcm3．x
−1
0
1
4
5
fx
1
2
0
2
1
ξ
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681
ξ
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681
X
0
1
2
3
P
27343
108343
144343
64343
X
0
1
2
3
P
27343
108343
144343
64343
x
(0, 10)
10
(10, 103)
f′(x)
+
0
−
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
t
(0, 33)
33
(33, 1)
ℎ′(t)
+
0
−
ℎ(t)
单调递增
极大值
单调递减
x
(0, 10)
10
(10, 103)
f′(x)
+
0
−
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
t
(0, 33)
33
(33, 1)
ℎ′(t)
+
0
−
ℎ(t)
单调递增
极大值
单调递减