2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A=−1,0,1,2，B=x|x2≤4,x∈N，则A∩B=（ ）
A.0,1,2B.−1,0,1,2C.1,2D.{−1,0,1}

2. 已知a>b>0，c∈R，则下列关系式中一定正确的是（ ）
A.a2+c2c>2aB.ac>bcC.ac2>bc2D.1a2<1b2

3. 工厂为监测产品质量，在生产线上每隔1分钟抽取一件产品进行检测，该抽样方法为（ ）
A.分层抽样B.系统抽样C.简单随机抽样D.抽签法抽样

4. 在三角形ABC中，AB=1，AC=2，A=45∘，则BC=( )
A.1B.5C.2D.2−1

5. 等差数列an满足：a2+a3=3，a6=2，则a4+a7=( )
A.4B.134C.175D.195

6. 已知点A3,2和点B1,−3分别在函数y=−x+a图象的两侧，则实数a的取值范围是（ ）
A.−∞,−2B.−2,5
C.5,+∞D.−∞,−2∪5,+∞

7. 已知由一个样本数据确定的回归直线方程为y=−1.5x+1，且y¯=4，经检验发现两个样本点−1.7,2.9，−2.3,5.1的误差较大，去掉这两个样本点后的样本点中心为x1¯,y1¯，则( )
A.y1¯>4B.y1¯=4
C.y1¯<4D.y1¯与4的大小关系无法确定

8. 高一年级某同学在选修课选课时因病不能亲自参加，于是请同学帮他从5门数学类选修课中随机选2门．已知任何2门选修课上课时间互不冲突，且5门中有2门是该生非常喜欢的课程，则该生至少能选到1门非常喜欢的课程的概率为( )
A.110B.25C.710D.910

9. 若向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，且a+b+3c=0，则向量a与向量c的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

10. 已知实数a=20.1，b=lg31.8，c=lg52.1，则（ ）
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

11. 已知fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=x2−x，则f2x−1>0的解集为( )
A.0,1B.−∞,0∪1,+∞
C.−∞,0∪(12,+∞)D.(0,12)∪(1,+∞)

12. 已知定义域为R的奇函数fx满足fx+f3−x=0且 fx=sinπ2x,0A.0,15B.17,15C.18,15D.15,1
二、填空题

已知向量a→=m,1，b→=2,−2，若a→//b→，则m=________.

函数fx=3sinx+2csx的最小正周期是________.

已知直角三角形两直角边长分别为3和4．现若向该三角形内部撒一粒豆子，则该豆子落在内切圆之外的概率为________.

已知正实数a，b满足a+2b=2，则a+2a+1+1b−2的最小值为________.
三、解答题

已知任意角α的终边经过点P−3,m，且tanα=−43.
(1)求m的值；

(2)求sin2α+cs2021π+α的值．

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若12a+bcsA=c.
(1)求B；

(2)若b=2，S△ABC=3，求a，c的值．

我国是世界上严重缺水的国家，某城区为了制定合理的节约用水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了该城区某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按[0,5)，[5,10)，⋯，25,30分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)利用频率分布直方图，估计该城区居民月均用水量的中位数（精确到0.01）；

(3)设该城区有30万户居民，估计该城区月均用水量不低于20吨的用户数，并说明理由．

某冷饮公司为调研时间与冷饮销售量间的关系，将今年1−6月的销量进行统计，得到月销量y（单位：万瓶）与时间x（时间：月）之间的对应表如下：

(1)根据上表可知，月销量y与月份x之间成线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（结果精确到0.01）；

(2)根据线性回归方程预测7月份的月销量为多少万瓶．
附：b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯.

设Sn为数列an的前n项和，且Sn+1=3Sn+4nn∈N∗，a1=0．
(1)求证：数列an+2是等比数列；

(2)若Tn为数列an+2an+4an+1+4的前n项和，求证：Tn<12．

已知二次函数y=fx满足：ffx=8x4+16x2+10．
(1)求函数y=fx的解析式；

(2)若对任意x>1，fx≥ax−1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合A=−1,0,1,2，B=x|x2≤4,x∈N={0,1,2}，
则A∩B={0,1,2}.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用举反例法可对错误选项进行排除，利用不等式基本性质可判断正确选项.
【解答】
解：对于A，若c<0，则结论不成立，故错误；
对于B，若c<0，则结论不成立，故错误；
对于C，若c=0，则结论不成立，故错误；
对于D，已知a>b>0，则a2>b2，∴ 1a2<1b2，故正确.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
利用系统抽样定义直接求解．
【解答】
解：生产线上每隔1分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为系统抽样.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
由余弦定理直接求解即可．
【解答】
解：由余弦定理得csA=AB2+AC2−BC22×AB×AC，
∵ AB=1，AC=2，A=45∘，
∴ 22=1+(2)2−BC22×1×2，
解得BC=1.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列性质得到a2+a5=a1+a6=3 ，得到答案．
【解答】
解：a2+a5=a1+a6=3，
又∵ a6=2，
∴ a1=1，
∴ d=a6−a15=15，
∴ a4+a7=a1+3d+a1+6d
=2a1+9d
=2×1+95
=195．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】
点A 3,2 和点B1,−3在直线y=−x+a的两侧，那么把这两个点代入x+y−a=0，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：∵ 点A3,2和点B1,−3在直线y=−x+a的两侧，
∴ 3+2−a1−3−a<0，
即：5−a−2−a<0，
解得−2故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，求解即可．
【解答】
解：∵ y=−1.5x+1，y¯=4，
∴ y¯=−1.5x¯+1=4，
∴ x¯=−2，
∴ 原来样本点的中心为(−2,4)，
∵ 去掉−1.7,2.9，−2.3,5.1，
∴ 2个点中点为−1.7−2.32,2.9+5.12=(−2,4)，
∴ 新的样本点中心仍为(−2,4)，
∴ y1¯=4.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
先确定所求事件的概率类型是古典概型，然后利用列举法分别求出总的基本事件个数与所求事件所包含的基本事件个数，最后代入古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：设该生非常喜欢的两门分别为a，b，其余三门为1，2，3，
则从这5门中随机选2门共有10种情况，
分别为 a,1，a,2，a,3，a,b，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(1,2)，1,3，2,3，
其中该生至少能选到1门非常喜欢的课程的情况有7种，则概率为710.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设a→与c→的夹角为θ，可得出a→+3c→=−b→，两边平方，进行数量积的运算即可求出b→⋅c→的值，进而可得出csθ的值，从而可得出θ的值．
【解答】
解：设a→与c→的夹角为θ，
∴a→+3c→=−b→，
∴ (a→+3c→)2=(−b→)2，
即|a→|2+23a→⋅c→+3|c→|2=|b→|2，
∴ 1+3+23|a→|⋅|c→|csθ=1，
得23csθ=−3，
∴ csθ=−32.
∵0∘≤θ≤180∘，
∴θ=150∘=56π.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用中间值对三个数进行比较即可
【解答】
解：∵ 20.1>20=1，
12=lg330=lg51∴ a>1，12∴ a>b>c，
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
求出函数的解析式，再分别解不等式即可．
【解答】
解：依题意，当x<0时，−x>0，则f−x=x2+x，
又函数fx为偶函数，所以当x<0时，fx=x2+x，
故当x≥0时，f2x−1>0，即
2x−1≥0,2x−12−2x−1>0,
解得x>1，
当x<0时，f2x−1>0，
即2x−1<0,2x−12+2x−1>0,，
解得x<0，
综上，不等式的解集为−∞,0∪1,+∞．
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
分段函数的应用
由函数零点求参数取值范围问题
函数的周期性
【解析】

【解答】
解：由题知f(−x)=−f(x)，f(x)+f(3−x)=0，f(3−x)=f(−x)，
T=3，周期为3，根据表达式画出大致图象，
在x=5处，由lgax>−1得lga5>lga1a，解得a<15，
在x=8处，由lgax<−1得lga818，
在x=−4处，由lga(−x)>−1得lga4>lga1a，解得a<14，
在x=−7处，由lga(−x)<−1得lga7>lga1a，解得a>17，
故17故选B.
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由平面向量共线的坐标公式得到−2m=2，求解即可.
【解答】
解：由题意可知，−2m=2，
解得m=−1.
故答案为：−1.
【答案】
2 ​​π​​
【考点】
三角函数的周期性及其求法
两角和与差的正弦公式
【解析】
通过辅助角公式，将函数转化为正弦型函数，然后再利用周期公式T=2 ​​π​​ |ω|，求出周期.
【解答】
解：f(x)=3sinx+2csx
=13(31313sinx+21313csx)
=13sin(x+θ)，其中tanθ=23，
所以 T=2 ​​π​​ .
故答案为：2 ​​π​​ .
【答案】
1−π6
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
首先根据直角三角形内切圆的性质，采用等面积法求出内切圆的半径，进而得到内切圆的面积，求出直角三角形的面积，利用几何概型的概率公式即可求解.
【解答】
解：由勾股定理可得斜边长为32+42=5，设其内切圆的半径为r，
由等面积法，可得123+4+5r=12×3×4，
则r=1．
∵ S△ABC=12×3×4=6，S圆=π×12=π，
∴ 往该直角三角形中随机投掷一个点，
则该点落在此三角形内切圆外的概率为6−π6=1−π6．
故答案为：1−π6．
【答案】
223
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
构造基本不等式模型，再利用基本不等式求最小值
【解答】
解：因为 a+2b=2，a+2b+1=3，
所以a+2a+1+1b−2
=1+1a+1+1b−2
=1a+1+1b−1
=(1a+1+1b)(a+2b+1)⋅13−1
=(1a+1+1b)(a+1+2b)⋅13−1
=13(2ba+1+a+1b)≥13⋅22ba+1⋅a+1b=223，
当且仅当2ba+1=a+1b时等号成立.
故答案为：223.
三、解答题
【答案】
解：(1)由tanα=m−3=−43，
得m=4.
(2)由(1)得，sinα=45，csα=−35，
sin2α+cs2021π+α=2sinαcsα−csα
=2×45×−35−−35=−925.
【考点】
任意角的三角函数
二倍角的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由tanα=m−3=−43，
得m=4.
(2)由(1)得，sinα=45，csα=−35，
sin2α+cs2021π+α=2sinαcsα−csα
=2×45×−35−−35=−925.
【答案】
解：(1)由已知及正弦定理有12sinA+sinBcsA=sinC=sinA+B，
所以12sinA+sinBcsA=sinAcsB+csAsinB，
所以12sinA=sinAcsB，
又因为A，B∈0,π，
所以sinA≠0，
所以csB=12，
所以B=π3.
(2)由(1)可知S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4①，
又由余弦定理有b2=a2+c2−2accsB=a+c2−3ac，
所以a+c=4②，
由①②联立解得a=c=2.
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知及正弦定理有12sinA+sinBcsA=sinC=sinA+B，
所以12sinA+sinBcsA=sinAcsB+csAsinB，
所以12sinA=sinAcsB，
又因为A，B∈0,π，
所以sinA≠0，
所以csB=12，
所以B=π3.
(2)由(1)可知S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4①，
又由余弦定理有b2=a2+c2−2accsB=a+c2−3ac，
所以a+c=4②，
由①②联立解得a=c=2.
【答案】
解：(1)由5×0.01+0.03+a+0.06+a+0.02=1，
得a=0.04．
(2)由5×0.01+0.03+0.04=0.4，
设中位数为x，
则x−15×0.06=0.1，
从而x≈16.67．
(3)样本中月均用水量不低于20吨的用户数的频率是5×0.04+0.02=0.30，
所以估计30万户居民中月均用水量不低于20吨的用户数为30×0.30=9万户．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
无
【解答】
解：(1)由5×0.01+0.03+a+0.06+a+0.02=1，
得a=0.04．
(2)由5×0.01+0.03+0.04=0.4，
设中位数为x，
则x−15×0.06=0.1，
从而x≈16.67．
(3)样本中月均用水量不低于20吨的用户数的频率是5×0.04+0.02=0.30，
所以估计30万户居民中月均用水量不低于20吨的用户数为30×0.30=9万户．
【答案】
解：(1)由已知x¯=3.5，y¯=3，
所以b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2=81.3−6×3.5×391−6×3.52≈1.05，
所以a=3−1.05×3.5=−0.68，
故月销量与月份之间的线性回归方程为y=1.05x−0.68.
(2)由(1)可知1.05×7−0.68=6.67，
即7月份的预测销量为6.67万瓶.
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知x¯=3.5，y¯=3，
所以b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2=81.3−6×3.5×391−6×3.52≈1.05，
所以a=3−1.05×3.5=−0.68，
故月销量与月份之间的线性回归方程为y=1.05x−0.68.
(2)由(1)可知1.05×7−0.68=6.67，
即7月份的预测销量为6.67万瓶.
【答案】
(1)证明：因为Sn+1=3Sn+4nn∈N∗①，
所以n≥2时，Sn=3Sn−1+4n−1②．
从而由①−②得an+1=3an+4，
所以an+1+2=3an+2，
所以n≥2时，an+1+2an+2=3，
又由①知，当n=1时，S2=3S1+4，
所以a2=2a1+4=4，
所以a2+2a1+2=3，
所以an+1+2an+2=3，n∈N∗，
故数列an+2是等比数列．
(2)解：由(1)知an+2=2×3n−1，
所以an+2an+4an+1+4=2×3n−143n−1+13n+1
=14⋅13n−1+1−13n+1，
所以Tn=14[130+1−131+1+131+1−132+1
+⋯+13n−1+1−13n+1]=1412−13n+1<12，
所以Tn<12恒成立．
【考点】
等比关系的确定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为Sn+1=3Sn+4nn∈N∗①，
所以n≥2时，Sn=3Sn−1+4n−1②．
从而由①−②得an+1=3an+4，
所以an+1+2=3an+2，
所以n≥2时，an+1+2an+2=3，
又由①知，当n=1时，S2=3S1+4，
所以a2=2a1+4=4，
所以a2+2a1+2=3，
所以an+1+2an+2=3，n∈N∗，
故数列an+2是等比数列．
(2)解：由(1)知an+2=2×3n−1，
所以an+2an+4an+1+4=2×3n−143n−1+13n+1
=14⋅13n−1+1−13n+1，
所以Tn=14[130+1−131+1+131+1−132+1
+⋯+13n−1+1−13n+1]=1412−13n+1<12，
所以Tn<12恒成立．
【答案】
解：(1)设fx=ax2+bx+ca≠0，
则ffx=aax2+bx+c2+bax2+bx+c+c
=a3x4+2a2bx3+2a2c+ab2+abx2+2abc+b2x+ac2+bc+c
=8x4+16x2+10．
因为a≠0，故b=0，
所以a3=8,2a2c=16,ac2+c=10,解得a=2，c=2，
从而fx=2x2+2.
(2)对任意x>1，fx≥ax−1恒成立等价于2x2+2−ax−1≥0恒成立．
令gx=2x2+2−ax−1=2x2−ax+a+2=2x−a42−a28−a−2，
则其开口向上，对称轴为x=a4，
①当a4≤1，即a≤4时，gx在1,+∞单调递增，
gx≥0只需g1≥0即可，
得4≥0恒成立，故a≤4.
②当a4>1，即a>4时，gx在1,a4单调递减，
在a4,+∞单调递增，
gx≥0只需ga4≥0即可，
解得4−42≤a≤4+42，
故4综上所述，a的取值范围是(−∞,4+42].
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
不等式恒成立问题
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设fx=ax2+bx+ca≠0，
则ffx=aax2+bx+c2+bax2+bx+c+c
=a3x4+2a2bx3+2a2c+ab2+abx2+2abc+b2x+ac2+bc+c
=8x4+16x2+10．
因为a≠0，故b=0，
所以a3=8,2a2c=16,ac2+c=10,解得a=2，c=2，
从而fx=2x2+2.
(2)对任意x>1，fx≥ax−1恒成立等价于2x2+2−ax−1≥0恒成立．
令gx=2x2+2−ax−1=2x2−ax+a+2=2x−a42−a28−a−2，
则其开口向上，对称轴为x=a4，
①当a4≤1，即a≤4时，gx在1,+∞单调递增，
gx≥0只需g1≥0即可，
得4≥0恒成立，故a≤4.
②当a4>1，即a>4时，gx在1,a4单调递减，
在a4,+∞单调递增，
gx≥0只需ga4≥0即可，
解得4−42≤a≤4+42，
故4综上所述，a的取值范围是(−∞,4+42].月份：x
1
2
3
4
5
6
月销量：y
0.7
1.3
2.2
3.4
4.6
5.8