2021学年3.3 幂函数当堂检测题

3.3 幂函数

【题组一 幂函数的判断】

1．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高一期末）若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】形如的函数是幂函数,

幂函数的系数为,指数是常数,

所以,,,,

,,七个函数中,

是幂函数的是和.

故选:C

2．（2020·重庆高一月考）下列函数是幂函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的系数不是1，不是幂函数；函数的解析式不是单项式，不是幂函数；函数与幂函数，定义域不相同，不正确；只有A中 满足幂函数定义，正确.

故选：A

3（2019·河北张家口.高一月考）在函数①，②， ③， ④， ⑤，⑥中，是幂函数的是（　　）

A．①②④⑤ B．①⑤⑥

C．①②⑥ D．①②④⑤⑥

【答案】B

【解析】根据幂函数的定义：幂函数是形如 的函数。

在函数中：

①是的情形，是幂函数；

②系数是 ，不是幂函数；

③系数是， 是一次函数，不是幂函数；

④不是幂函数，；

⑤是的情形，是幂函数；

⑥是的情形，是幂函数。

故是幂函数的有①⑤⑥，

故选：B

4．（2020·全国高三月考（理））“”是“函数（为常数）为幂函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】∵当函数为幂函数时，，解得或，

∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.

5．（2020·浙江高一课时练习）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（    ）

A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤

【答案】C

【解析】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，

④的定义域为R，⑤的定义域为，故选：C.

【题组二 幂函数的三要素】

1．（2020·浙江高二学业考试）已知幂函数的图象过点，则______.

【答案】

【解析】为幂函数，可设，，解得：，

，.故答案为：.

2．（2020·吉林松原 高三其他（文））已知幂函数的图像过点，则实数的值为______.

【答案】

【解析】因为幂函数的图像过点，所以，即，解得，

故答案为：

3．（2020·江苏省响水中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则的值为_________．

【答案】

【解析】根据题意可设因为的图象过点，所以，解得.

所以，所以.故答案为：.

4．（2020·绥德中学高一期末（文））已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为________．

【答案】

【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以

故答案为：

5．（2018·重庆市綦江中学高一期中）若幂函数的图像过点，则的值域是_________

【答案】

【解析】由幂函数的图像过点，可得，可得，

故，由幂函数的性质可得其值域为，故答案为：.

【题组三 幂函数的性质】

1．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____

【答案】1

【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或，

又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，

即的值是1，故答案为：1.

2．（2020·黑龙江高二期末（文））已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.

【答案】2

【解析】由题意可知，解得故答案为：

3．（2019·浙江高一期中）已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．

【答案】       

【解析】设幂函数，由，得到，于是；

若，则，所以，解得．

故答案为；

4．（2020·全国高一课时练习）已知是幂函数，求m，n的值.

【答案】或1，.

【解析】由题意得，解得或，所以或，.

5．（2019·全国高一课时练习）若，试求的取值范围.

【答案】

【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.

【题组四 幂函数的图像】

1．（2020·云南寻甸.昆明黄冈实验学校高一月考）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（    ）

A．2，1，， B．2，，1，

C．，1，2， D．，1，2，

【答案】A

【解析】幂函数在区间上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为，

对应曲线有.故选：A

2．（2020·上海市控江中学高一期末）已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图象可得函数的定义域为，选项不满足；

选项，当，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征.故选:C.

3．（2019·东城.北京一七一中高一期中）函数的大致图象是　　

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A．

4．（2020·西藏城关.拉萨中学高一期中）函数y=的图象是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】y=过点(1,1)和点(8,2),由过点(8,2)可知此时函数y=在直线y=x下方.故选B.

5．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（文））以下命题正确的是（    ）

①幂函数的图像都经过

②幂函数的图像不可能出现在第四象限

③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）

④是奇函数，且在定义域内为减函数

A．①② B．②④ C．②③ D．①③

【答案】C

【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；

②形如，的函数是幂函数，当时，，

所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；

③的定义域是，，所以时，

的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；

④是奇函数，函数的定义域是，

函数在是减函数，在也是减函数，

但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C

6．（2017·湖南高三学业考试）既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（    ）

A．（0,0） B．（1,1） C． D．

【答案】B

【解析】由幂函数图象恒过，故选项满足条件。故选：

7．（2020·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是(     )

A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

B．当幂指数α取1,3， 时，幂函数y＝xα是增函数

C．幂函数的图象可以出现在第四象限

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

【答案】B

【解析】幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A错误；

当幂指数α取1，3，时，幂函数y=xa在定义域上是增函数，故B正确；幂函数的图象不会出现在第四象限，故C错误；当幂指数α=﹣1时，幂函数y=xa在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但

在定义域上不是减函数，故D错误；故选B．

8．（2019·全国高一课时练习）若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．

【答案】

【解析】因为过定点，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，

所以过定点.故答案为：.