2021学年3.4 函数的应用（一）练习题

课时同步练习(二十二)　函数的应用(一)

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)

A．2 000双　　 B．4 000双

C．6 000双   D．8 000双

D　[由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]

2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是(　　)

A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域

B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域

C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域

D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域

A　[由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]

3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝

其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)

A．15   B．40

C．25   D．130

C　[令y＝60.

若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；

若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；

若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．

故拟录用25人．]

4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)

A．12   B．15

C．25   D．50

B　[设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：

解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]

5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)

A．此人可在7 s内追上汽车

B．此人可在10 s内追上汽车

C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m

D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m

D　[设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]

二、填空题

6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.

2t2＋108t＋400，t∈N　[日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]

7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.

2　[设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，

这两个正三角形面积之和的最小值是2cm2.]

8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．

3 800　[若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)．

又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800元．]

三、解答题

9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”．若全票价为240元．

(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；

(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？

(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？

[解]　(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，

y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．

(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．

(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．

10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．

[解]　设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得＝，即＝，解得y＝40－x，

记剩下的残料面积为S，则

S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1 200＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，

故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，

所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm2.

[等级过关练]

1．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(　　)

 C　[根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．]

2．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货(　　)

A．月初售出好   B．月末售出好

C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定

D　[设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；

若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．

可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．

∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]

3．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．

(1)　　         　(2)

16　[由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，

所以AB＝5＋＝5＋3＝8.

所以S△ABC＝×8×4＝16.]

4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．

3　30　[设四边形EFGH的面积为S，则

S＝13×3－2

＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．

因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，

所以当x＝3时，S有最大值为30.]

5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式

f(x)＝

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

[解]　(1)当0<x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，

由f(x)的图象(图略)可知，当x＝10时，f(x)max＝f(10)＝59；

当10<x≤16时，f(x)＝59；

当16<x≤30时，f(x)max＜59.

因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．

(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，

f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，

∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.