数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课时练习

这是一份数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课时练习，共6页。

[合格基础练]
一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(1,3)，则3cs α＋4tan α＝( )
A．－eq \r(2) B.eq \r(2)
C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
A [因为α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(1,3)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4)，
所以3cs α＋4tan α＝－2eq \r(2)＋eq \r(2)＝－eq \r(2).]
2．化简sin2α＋cs4α＋sin2αcs2α的结果是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
C [原式＝sin2α＋cs2α(cs2α＋sin2α)
＝sin2α＋cs2α＝1.]
3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)
B [sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α)＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1＝－eq \f(3,5).]
4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x＋\f(1,tan x)))cs2x等于( )
A．tan x B．sin x
C．cs x D.eq \f(1,tan x)
D [原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)＋\f(cs x,sin x)))·cs2x
＝eq \f(sin2x＋cs2x,sin xcs x)·cs2x
＝eq \f(1,sin xcs x)·cs2x＝eq \f(cs x,sin x)＝eq \f(1,tan x).]
5．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ≤\f(π,4)))，则sin θ－cs θ＝( )
A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
B [由(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，得2sin θcs θ＝eq \f(7,9)，则(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，由0<θ≤eq \f(π,4)，知sin θ－cs θ≤0，所以sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).]
二、填空题
6．化简eq \f(1,\r(1＋tan220°))的结果是________．
cs 20° [eq \f(1,\r(1＋tan220°))＝eq \f(1,\r(1＋\f(sin220°,cs220°)))
＝eq \f(1,\r(\f(cs220°＋sin220°,cs220°)))
＝eq \f(1,\r(\f(1,cs220°)))＝|cs 20°|＝cs 20°.]
7．已知cs α＋2sin α＝－eq \r(5)，则tan α＝________.
2 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＋2sin α＝－\r(5)，,sin2α＋cs2α＝1，))得(eq \r(5)sin α＋2)2＝0，
∴sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝－eq \f(\r(5),5)，∴tan α＝2.]
8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝________.
1 [4sin2α－3sin αcs α－5cs2α
＝eq \f(4sin2α－3sin αcs α－5cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)
＝eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝eq \f(5,5)＝1.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)．
[解] (1)原式＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)
＝eq \f(1＋cs α,sin α)(1－cs α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.
10．若eq \f(3π,2)<α<2π，求证： eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＋eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＝－eq \f(2,sin α).
[证明] ∵eq \f(3π,2)<α<2π，∴sin α<0.
左边＝eq \r(\f(1－cs α2,1＋cs α1－cs α))＋
eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs α1＋cs α))
＝ eq \r(\f(1－cs α2,sin2α))＋ eq \r(\f(1＋cs α2,sin2α))
＝eq \f(|1－cs α|,|sin α|)＋eq \f(|1＋cs α|,|sin α|)
＝－eq \f(1－cs α,sin α)－eq \f(1＋cs α,sin α)
＝－eq \f(2,sin α)＝右边．
∴原等式成立．
[等级过关练]
1．在△ABC中，eq \r(2)sin A＝eq \r(3cs A)，则角A＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
C [由题意知cs A＞0，即A为锐角．
将eq \r(2)sin A＝eq \r(3cs A)两边平方得2sin2A＝3cs A，
∴2cs2A＋3cs A－2＝0，
解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－2(舍去)．
∴A＝eq \f(π,3).]
2.eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cs 10°
B [eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))
＝eq \f(\r(cs 10°－sin 10°2),sin 10°－\r(cs210°))＝eq \f(|cs 10°－sin 10°|,sin 10°－cs 10°)
＝eq \f(cs 10°－sin 10°,sin 10°－cs 10°)＝－1.]
3．已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，则m的值为________．
0或8 [因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1.
整理得m2－8m＝0，解得m＝0或8.]
4．已知sin θ，cs θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝________.
±eq \r(2) [eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin θ,1－\f(cs θ,sin θ))＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ，又因为sin θ，cs θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcs θ＝eq \f(1,2)，则(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝2，所以sin θ＋cs θ＝±eq \r(2).]
5．求证：eq \f(1－2sin 2xcs 2x,cs22x－sin22x)＝eq \f(1－tan720°＋2x,1＋tan360°＋2x).
[证明] 法一：右边＝eq \f(1－tan 2x,1＋tan 2x)＝eq \f(1－\f(sin 2x,cs 2x),1＋\f(sin 2x,cs 2x))
＝eq \f(cs 2x－sin 2x,cs 2x＋sin 2x)
＝eq \f(cs 2x－sin 2x2,cs 2x＋sin 2xcs 2x－sin 2x)
＝eq \f(cs22x＋sin22x－2cs 2xsin 2x,cs22x－sin22x)
＝eq \f(1－2sin 2xcs 2x,cs22x－sin22x)＝左边．
所以原等式成立．
法二：左边＝eq \f(sin22x＋cs22x－2sin 2xcs 2x,cs22x－sin22x)
＝eq \f(cs 2x－sin 2x2,cs 2x－sin 2xcs 2x＋sin 2x)
＝eq \f(cs 2x－sin 2x,cs 2x＋sin 2x).
右边＝eq \f(1－tan 2x,1＋tan 2x)＝eq \f(1－\f(sin 2x,cs 2x),1＋\f(sin 2x,cs 2x))
＝eq \f(cs 2x－sin 2x,cs 2x＋sin 2x).
所以原等式成立.