人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质达标测试

课时同步练习(四十二)　周期性与奇偶性

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)

A．y＝sin　　　 B．y＝cos

C．y＝cos x   D．y＝cos 2x

D　[A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]

2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

B　[由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.

故选B.]

3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　)

A．5　　　　B．10       C．15　　　　D．20

B　[由已知得＝，又ω＞0，

所以＝，ω＝10.]

4．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)

A.   B．π

C．2π   D．4π

B　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π.]

5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1　　　　B．－1        C．0　　　　D．2

B　[由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

所以f＝f＝f＝－f＝－1.]

二、填空题

6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②存在φ，使f(x)是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中错误的是________(填序号)．

①④　[φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．]

7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．

6　[T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，

∴ω的最大值是6.]

8．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为________．

f(x)＝－cos x－sin x　[x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x，

因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，

即x＜0时，f(x)＝－cos x－sin x．]

三、解答题

9．已知函数y＝sin x＋|sin x|.

(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

[解]　(1)y＝sin x＋|sin x|

＝图象如下：

(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.

10．判断函数f(x)＝lg(sin x＋)的奇偶性．

[解]　∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋]

＝lg(－sin x)＝lg

＝lg(sin x＋)－1＝－lg(sin x＋)

＝－f(x)．

又当x∈R时，均有sin x＋＞0，

∴f(x)是奇函数．

[等级过关练]

1．函数f(x)＝是(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．非奇非偶函数   D．既是奇函数又是偶函数

C　[由1＋sin x≠0得sin x≠－1，

所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．]

2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝(　　)

A.   B．－

C．0   D.

D　[∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝336sin＋sinπ＋sin π＋sinπ＋sinπ＋sin 2π＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sin＋sinπ＋sinπ＝.]

3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是______________________．

∪(0,1)∪　[∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为－，－1∪(0,1)∪，3.]

4．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.

　[因为f(x)·f(x＋2)＝13，

所以f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.]

5．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．

[解]　当x∈时，

g(x)＝f＝cos.

因为x＋∈，

所以由g(x)＝

解得x＋＝－或，

即x＝－或－.

又因为g(x)的最小正周期为π，

所以g(x)＝的解集为

.