人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时作业

课时同步练习(四十八)　二倍角的正弦、余弦、正切公式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1.的值是(　　)

A.　　　　 B．－

C.   D．－

A　[原式＝＝＝＝.]

2．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)

A．第一象限的角   B．第二象限的角

C．第三象限的角   D．第四象限的角

C　[∵sin α＝2sincos＝2××＜0，

cos α＝cos2－sin2＝2－2＜0，

∴α是第三象限的角．]

3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

A　[∵sin α－cos α＝，

∴1－2sin αcos α＝，

即1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]

4．若＝，则tan 2α＝(　　)

A．－　　B.    C．－　　D.

B　[因为＝，

整理得tan α＝－3，

所以tan 2α＝＝＝.]

5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)

A.   B.

C．－   D．－

A　[设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.

∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，

∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ

＝2××＝.]

二、填空题

6．已知sin 2α＝，则cos2＝________.

　[cos2＝＝＝＝.]

7．已知tan α＝－，则＝________.

－　[＝＝＝tan α－＝－.]

8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.

－　[∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝－，

∴tan α＝－或tan α＝2.

∵α在第二象限，∴tan α＝－.]

三、解答题

9．求证：＝tan.

[证明]　

＝

＝＝tan.

10．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．

[解]　∵cos x＝，x∈，

∴sin x＝－＝－，

∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，

∴cos＋sin2x

＝＋＝－sin 2x＝－×＝.

[等级过关练]

1．已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A.   B.

C．－   D．－

C　[因为cos＝sin

＝sin＝，

所以cos＝2cos2－1

＝2×2－1＝－.]

2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　)

A.   B.

C.   D．π

D　[由题意得

①2＋②2得cos β＝，cos α＝，

由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，

∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，

∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，

∴α＋2β＝π.故选D.]

3．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________.

－1　[原式＝·cos 10°·

＝·cos 10°·

＝·cos 10°·

＝－·

＝－1.]

4．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.

　[由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，

∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，

∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，

∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.

∵α为锐角，

∴cos2α≠0，sin α＋1≠0，

∴2sin α－1＝0，

∴sin α＝，

∴α＝.]

5．已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)．

(1)求tan 2α的值；

(2)求2sin2－sin.

[解]　(1)由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)，所以α∈，

所以sin α－cos α

＝＝，

解得sin α＝，cos α＝－，

故tan α＝－，

所以tan 2α＝＝.

(2)2sin2－sin

＝1－cos－sin

＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α

＝1－cos α

＝.