人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时训练

课时同步练习(四十六)　两角和与差的正弦、余弦公式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．化简sin＋sin＝(　　)

A．－sin x　　　 B．sin x

C．－cos x   D．cos x

B　[sin＋sin

＝sin x＋cos x＋sin x－cos x

＝sin x．]

2．cos－sin的值是(　　)

A.   B．－

C．0   D.

A　[cos－sin

＝

＝cos＝cos(－4π)＝.]

3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[∵0＜β＜α＜，

∴0＜α－β＜，

由cos α＝得sin α＝，

由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×

＝＝，

∴β＝.]

4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由题意知sin∠BEC＝，

cos∠BEC＝，

又∠CED＝－∠BEC，

所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.]

5．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]   B.

C．[－1,1]   D.

B　[f(x)＝sin x－cos

＝sin x－cos x＋sin x

＝sin x－cos x

＝sin，

所以函数f(x)的值域为[－，]．

故选B.]

二、填空题

6．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为________．

　[∵cos α＝－，α∈，

∴sin α＝＝.

∵sin β＝－，β∈，

∴cos β＝＝，

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×＝.]

7．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则角C等于________．

30°　[已知两式两边分别平方相加，得

25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝37，

即25＋24sin(A＋B)＝37，

∴sin C＝sin(A＋B)＝，

∴C＝30°或150°.

当C＝150°时，A＋B＝30°，

此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]

8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

－　[f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.

由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，

∴cos θ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cos φ－sin(θ－φ)sin φ＝－sin φ＝－.]

三、解答题

9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．

[解]　∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α

＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α

＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，

∴sin β＝－，又β是第三象限角，

∴cos β＝－＝－，

∴sin

＝sin βcos＋cos βsin

＝×＋×

＝－.

10．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．

[解]　∵0＜α＜＜β＜，

∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.

又sin＝，

cos＝，

∴cos＝－，

sin＝－，

∴cos(α＋β)＝sin

＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝－.

[等级过关练]

1．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等边三角形　　 B．不含60°的等腰三角形

C．钝角三角形   D．直角三角形

D　[∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B，

由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)

得sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，

∴sin(A＋B)＝1，即sin C＝1，

∴C＝，即△ABC是直角三角形．]

2．已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

C　[∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α

＝＝cos

＝－，

∴cos＝－，

∴cos＝cos＝－cos＝－cos＝.]

3．若tan α＝2tan，则＝________.

3　[＝＝

＝＝

＝＝3.]

4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.

　[(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝2＋2cos(α－β)＝2＋＝.]

5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值．

(2)若f＝，求cos的值．

[解]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

由－≤φ＜，得k＝0，

所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f

＝sin＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝

＝＝.

因此cos＝sin α

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×＝.