数学必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂检测题

课时同步练习(四十七)　两角和与差的正切公式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)

A．2　　　　　　 B.

C．－2   D．－

C　[∵tan＝＝＝－，

∴tan α＝－2，

∵点P(1，a)在角α的终边上，

∴tan α＝＝a，∴a＝－2.]

2.的值等于(　　)

A．tan 42°   B．tan 3°

C．1   D．tan 24°

A　[∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.]

3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　)

A.   B．7

C．－   D．－7

D　[∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，

∴tan α＝，

∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.]

4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[tan＝tan＝＝＝.]

5．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　)

A.m   B.(1－m)

C.(m－1)   D.(m＋1)

B　[由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)

＝(1－m)．]

二、填空题

6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.

　[tan＝tan

＝

＝＝.]

7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.

　[由题意得tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，

∴tan(A＋B)＝＝＝1.

又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，

∴C＝.]

8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．

1　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°

＝1.]

三、解答题

9．已知tan＝2，tan β＝，

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

[解]　(1)∵tan＝2，

∴＝2，

∴＝2，解得tan α＝.

(2)原式

＝

＝＝

＝tan(β－α)＝

＝＝.

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．

[解]　由条件得cos α＝，cos β＝.

∵α，β为锐角，

∴sin α＝＝，

sin β＝＝.

因此tan α＝＝7，

tan β＝＝.

(1)tan(α＋β)＝

＝＝－3.

(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝

＝＝，

∴tan(α＋2β)＝

＝＝－1.∵α，β为锐角，

∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.

[等级过关练]

1．若2cos α－sin α＝0，则tan等于(　　)

A．－　　　　B.　　　　C．－3　　　　D．3

B　[tan＝＝＝.]

2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　)

A．30°  B．45°  C．120°   D．60°

D　[由公式变形得：

tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)

＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)

＝－tan C(1－tan Atan B)

＝－tan C＋tan Atan Btan C，

∴tan A＋tan B＋tan C

＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C

＝tan Atan Btan C＝3.

∵tan2B＝tan Atan C，

∴tan3B＝3，

∴tan B＝，B＝60°.]

3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

　[由条件知＝＝3，

则tan α＝2.

因为tan(α－β)＝2，

所以tan(β－α)＝－2，

故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝＝＝.]

4．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．

或1　[∵α＋β＝，

∴tan(α＋β)＝＝1，

tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

即lg (10a)＋lg＝1－lg (10a)lg，

1＝1－lg (10a)lg，

∴lg (10a)lg＝0，

∴lg (10a)＝0或lg＝0，

解得a＝或a＝1.]

5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．

[解]　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立．

由(1)得＋β＝，

所以tan＝＝.

又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，

解得x1＝1，x2＝2－.

若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.