2021年人教版高中数学必修第一册章末综合测评(三)《函数的概念与性质》(含答案详解)

章末综合测评(三)　函数的概念与性质

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　 )

A．y＝x－1和y＝

B．y＝x0和y＝1

C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝和g(x)＝

D　[A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同．]

2．函数f(x)＝＋的定义域是(　　 )

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1,0)∪(0，＋∞)

D．R

C　[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.]

3．已知f(x)＝则f(3)＝(　　 )

A．7　　　 B．2

C．10   D．12

D　[∵3>1，

∴f(3)＝32＋3＝12.]

4．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)＝(　　 )

A．0   B．－1

C．1   D．2

A　[f(x)＝x3＋2x是R上的奇函数，故f(－a)＝－f(a)，∴f(a)＋f(－a)＝0.]

5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　)

A．y＝x＋1   B．y＝x3

C．y＝－   D．y＝x4

B　[对于A，y＝x＋1为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除A；对于C，y＝－为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C；对于D，y＝x4为偶函数，排除D，选B.]

6．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是(　　 )

A．[－4，＋∞)   B．[－3,5]

C．[－4,5]   D．(－4,5]

C　[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，

当x＝2时，f(x)取到最小值－4，

当x＝5时，f(x)取得最大值5，

故值域为[－4,5]．]

7．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　 )

A．－10   B．－2

C．－6   D．14

B　[∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，

∴125a＋5b＝6，

∴f(－5)＝－125a－5b＋4

＝－(125a＋5b)＋4

＝－6＋4＝－2.]

8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C　[∵f(x)＝

由函数图象(图略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1.]

9．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　 )

A.   B．[6＋，＋∞)

C．[6，＋∞)   D．[，＋∞)

B　[∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数，

∴ymin＝3×2＋

＝6＋.

∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞)．]

10．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　 )

A．a≤2或a≥3   B．2≤a≤3

C．a≤－3或a≥－2   D．－3≤a≤－2

A　[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，

由已知得，a≤2或a≥3.]

11．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　 )

A．f(2)<f(1)<f(4)   B．f(1)<f(2)<f(4)

C．f(4)<f(2)<f(1)   D．f(2)<f(4)<f(1)

A　[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)<f(1)<f(4)．]

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　 )

A．－6   B．6

C．－8   D．8

C　[由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)⇒函数图象关于直线x＝2对称．又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m>0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4.f(－6＋x)＝f[(x－2)－4]＝－f(x－2)＝－f[(x＋2)－4]＝f(x＋2)＝f[(6＋x)－4]＝－f(6＋x)＝f(－6－x)．

∴f(x)关于直线x＝－6对称．此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________.

3　[∵－3<0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，

∵1>0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，

∴f(－3)＝3.]

14．已知f(x)为R上的减函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围为________．

(－∞，0)∪(1，＋∞)　[∵f(x)在R上是减函数，

∴<1，解得x>1或x<0.]

15．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．

f(x)＝　[设函数解析式为y＝ax＋b，利用待定系数法求解．]

16．已知函数f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函数，则a＋b＝________.

4　[因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，所以

∴a＝1，b＝3，

∴a＋b＝4.]

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．

[解]　由于△ABC是直角三角形，

则有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－，

由题意得解得x>1.

所以函数的定义域是(1，＋∞)．

18．(本小题满分12分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．

[解]　2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①

将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②

①②联立，得

把f(x)与f(－x)看成未知数解得f(x)＝x＋1.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，

(1)证明：函数f(x)是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；

(3)写出函数的值域．

[解]　(1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．

∴f(x)是偶函数．

(2)f(x)＝

图象如图所示：

(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

[解]　(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数．最大值为f(4)＝＝，最小值为f(1)＝＝.

21．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.

(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a、x、y间的函数关系式；

(2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？

[解]　(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.

依题意，当x＝12时，y＝－55，

∴－55＝a＋12k，

解得k＝－.

∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12)．

又当x＞12时，y＝－55.

∴所求的函数关系式为

y＝

(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，

即3 km上空的温度为8 ℃.

22．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.

(1)求f(1)的值；

(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．

[解]　(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)设0<x1<x2，则x2－x1>0.

又因为当x1≠x2时，>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，

所以f(x)在定义域内为增函数．

令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，

即f(16)＝2.

当即x>0时，

原不等式可化为f[x(x＋6)]>f(16)．

又因为f(x)在定义域上为增函数，

所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.

又因为x>0，所以x>2.

所以x的取值范围为(2，＋∞)．