2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列符号表述正确的是( )
A.0∈N∗∉QC.⌀∈0D.⌀⊆x|x≤2

2. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则(∁UA)∩B=( )
A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7

3. 已知函数y=fx，部分x与y的对应关系如表：
则ff4=( )
A.−1B.−2C.−3D.3

4. 函数fx=x+12−x的定义域为( )
A.[−1,2)∪(2,+∞)B.−1,+∞C.[−1,2)D.[−1,+∞)

5. 集合M=x|6x2−5x+1=0，P=x|ax=1，若P⊆M，则a的取值集合为( )
A.{2}B.3C.2,3D.0,2,3

6. 函数y=fx的图象与直线x=a的交点个数为( )
A.0B.1C.0或1D.无数个

7. 下列函数为同一函数的是( )
A.fx=|x|x与gx=1,x≥0−1, x<0B.fx=xx+1与gx=xx+1
C.fx=x2−2x−1 与gt=t2−2t−1D.fx=1与gx=x0x≠0

8. 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为( )
A.10B.11C.12D.13

9. 已知函数f(x+2)=x+4x+5，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+1B.f(x)=x2+1(x≥2)C.f(x)=x2D.f(x)=x2(x≥2)

10. 函数fx=|x3+1|+|x3−1|，则函数fx图象( )
A.关于原点对称B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称D.关于y轴对称

11. 已知f(x)=(3a−1)x+4a(x<1)，−ax(x≥1)是定义在 R上的减函数，则a的取值范围是( )
A. [18,13) B.(18,13] C.(0,13) D.(−∞,13]

12. 设集合M满足：若t∈M，则2020−t∈M，且集合M中所有元素之和m∈2020×11,2020×12，则集合M中元素个数为( )
A.22B.22或23C.23D.23或24
二、填空题

已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, 2)，则f(9)=________．

已知集合A=2,4,6,8,9,11，B=1,2,3,5,7,8，非空集合C满足：C中每一个元素都加上2变成A的一个子集，C中每一个元素都减去2变成B的一个子集，则集合C中元素的个数最多有________ 个．

函数fx=1−x2+5x−6的单调递减区间是________.

设函数f(x)=(x+1)2+a2xx2+1,a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．
三、解答题

已知集合A=−5,6，B=2m−1,m+1.
(1)当m=−3时，求 A∩B，A∪B；

(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=2x−3x+1．
(1)判断函数f(x)在区间[0, +∞)上的单调性，并用定义证明其结论；

(2)求函数f(x)在区间[2, 9]上的最大值与最小值．

某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过a m3时，只缴纳基本月租费c元；如果超过这个使用量，超出的部分按b元/m3计费．

(1)写出每个月的煤气费y(元)关于该月使用的煤气量x(m3)的函数解析式；

(2)如果某个居民7∼9月份使用煤气与收费情况如上表，请确定a，b，c及y与x的函数关系式.(其中，仅7月份煤气使用量未超过a m3.)

已知二次函数f(x)的图象过点(0, 4)，对任意x满足f(3−x)=f(x)，且有最小值是74．
(1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[−1, 3]上，y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

已知函数f(x)=x+ax，g(x)=x2−bx，(a，b∈R，a≠0)．
(1)若集合{x|f(x)=2x+2}为单位素集，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，对任意m∈[2, 4]，存在n∈[1, 5]，使f(m)≥g(n)成立，试求实数b的取值范围．

设二次函数fx=x2−4a−2x+5a2−4a+2，x∈0,1的最小值为ga.
(1)求ga的解析式；

(2)求ga的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
元素与集合关系的判断
【解析】
本题主要考查集合中特殊集合表达的含义，以及元素与集合，集合与集合的关系，通过基础概念辨析即可作答.
【解答】
解：A，0是自然数，N∗是正整数，所以0∉N∗，故此选项错误；
B，1.732为有理数，Q表示有理数，所以1.732∈Q，故此选项错误；
C，⌀不是一个元素，所以⌀∉0，故此选项错误；
D，⌀是任何非空集合的子集，所以⌀⊆x|x≤2，故此选项正确.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，
∴ ∁UA={1,6,7}.
∵ B={2,3,6,7}，
∴ (∁UA)∩B=6,7.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
【解析】
先求出f4，再求ff4即可.
【解答】
解：由表格可知：f4=−3，
所以ff4=f−3=3.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
函数y=x+12−x中既有二次根号又有分母，兼顾这两方面可得，函数的定义域为[−1, 2)∪(2, +∞)．求函数的定义域常要考虑以下问题：①分母不为零；②偶次根式被开方数不小于零；③对数的真数大于零等等．
【解答】
解：由题意，得 x+1≥0，2−x≠0，
解得： x≥−1，x≠2.
所以函数的定义域为[−1, 2)∪(2, +∞).
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
首先化简集合M，再利用子集的关系，即可求出参数范围.
【解答】
解：集合M=x|6x2−5x+1=0=13,12.
①当a=0时，P=⌀，
此时满足P⊆M；
②当a≠0时，P=1a，
∴ 1a=13或1a=12，
解得：a=3或a=2.
综上可得：a的取值集合为0,2,3.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的概念
【解析】
求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．
【解答】
解：设函数y=f(x)的定义域为M.
若a∈M，
根据函数的定义可得，定义域内每一个x对应唯一的y，
可得，函数y=fx的图象与直线x=a的交点个数为1.
若a∉M，
函数y=fx的图象与直线x=a的交点个数为0.
∴ 函数y=fx的图象与直线x=a的交点个数为0或1.
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
表示同一个函数要从三方面来判断，一是定义域，二是对应法则，三是值域，逐一判断即可．
【解答】
解：A， fx定义域是x|x≠0，gx的定义域是R，故不是同一函数；
B， fx定义域是x|x≥0，gx的定义域是{x|x≥0或x≤−1}，故不是同一函数；
C，fx=x2−2x−1，gt=t2−2t−1，两函数的定义域及对应关系相同，是同一函数；
D，fx=1的定义域为R，gx=x0的定义域为x|x≠0，定义域不同，故不是同一函数.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
子集与交集、并集运算的转换
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
设A={x|x为参加书法竞赛的同学人数}， B={x|x为参加数学竞赛的同学人数}，作出韦恩图，由韦恩图能求出两科均未取得优秀的人数．
【解答】
解：设集合A为参加书法竞赛的同学人数，
集合B为参加数学竞赛的同学人数，
集合U为全班49名同学，
则由韦恩图可知，
没有参加过比赛的同学有49−24+25−12=12(名).
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
可变形原解析式得出f(x+2)=(x+2)2+1，将x+2换上x(x≥2)即可得出f(x)的解析式．
【解答】
解：∵ f(x+2)=x+4x+5
=(x+2)2+1，
由x≥0可得，x+2≥2，
∴ f(x)=x2+1(x≥2).
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
根据函数奇偶性的定义判断即可得解.
【解答】
解：由题可知，函数fx=x3+1+x3−1的定义域为R.
∵ f−x=−x3+1+−x3−1=fx，
∴ 函数fx为偶函数，
∴ fx的图象关于y轴对称.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
本题考查了分段函数的单调性，通过单调性求参数的取值范围，属于基础题
【解答】
解：由题意，得3a−1<0，−a<0，3a−1+4a≥−a，
解得：18≤a<13.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
集合中元素的个数
元素与集合关系的判断
【解析】
直接利用元素的关系，结合条件，得到元素的个数.
【解答】
解：∵ 集合M一个元素为t，另一个元素为2020−t，
∴ 集合M中的每一对对应元素的和为 t+2020−t=2020.
又∵ 集合M中所有元素之和为m，且m∈2020×11,2020×12，
∴ 集合M中必有元素1010，
∴ 集合M中元素总个数为x∈11×2,12×2，
即x=23.
故选C.
二、填空题
【答案】
3
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值.
【解答】
解：设y=f(x)=xa.
∵ y=f(x)图象过点(2, 2)，
∴ 2=2a，
解得：a=12，
∴ y=f(x)=x12，
∴ f(9)=3．
故答案为：3．
【答案】
3
【考点】
子集与真子集
元素与集合关系的判断
【解析】
根据题意得到满足条件的集合D和E，确定出满足条件的集合C的个数即可．
【解答】
解：由题意得，集合C为非空集合.
设集合A中的每一个元素都减去2得到集合D，
则D=0,2,4,6,7,9；
集合B中的每一个元素都加上2得到集合E，
则E=3,4,5,7,9,10，
∴ D∩E=4,7,9，
∴ 集合C=4或7或9或4,7或4,9或7,9或4,7,9，
∴ 集合C中元素的个数最多有3个.
故答案为：3.
【答案】
2,52
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数ux=−x2+5x−6的单调递增区间即可得出答案．
【解答】
解：由题意，得−x2+5x−6>0，
解得：2∴ fx=1−x2+5x−6的定义域为2,3.
令ux=−x2+5x−6=−(x−52)2+14，
∴ 对称轴为x=52，且开口向下，
∴ ux=−x2+5x−6在2,52上是增函数，在52,3上是减函数.
又fu=1u在定义域内是减函数，
根据复合函数单调性的判断规则，可得，
fx=1−x2+5x−6的单调递减区间是2,52.
故答案为：2,52.
【答案】
2
【考点】
函数奇偶性的性质
函数奇偶性的判断
【解析】
把已知函数解析式变形，可得f(x)=1+(a2+2)xx2+1，证明函数g(x)=(a2+2)xx2+1(a∈R)为定义域上的奇函数，再由奇函数图象关于原点对称求解．
【解答】
解：f(x)=(x+1)2+a2xx2+1
=x2+1+(a2+2)xx2+1
=1+(a2+2)xx2+1.
令g(x)=(a2+2)xx2+1，a∈R，
∴ g(−x)=−(a2+2)xx2+1=−g(x).
∵ g(x)的定义域为R，
∴ 函数g(x)为奇函数.
设g(x)的最大值为S，则其最小值为−S，
∴ M=1+S，m=1−S，
∴ M+m=2．
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ m=−3，
∴ 集合B=−7,−2.
∵ 集合A=−5,6，
∴ A∩B=−5,−2，
A∪B=−7,6.
(2)∵ A∪B=A，
∴ B⊆A.
当B=⌀时，2m−1>m+1，
解得：m>2.
当B≠⌀时，
2m−1≤m+1,2m−1≥−5,m+1≤6, 解得：−2≤m≤2，
综上，实数m的取值范围为[−2,+∞).
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
并集及其运算
【解析】


【解答】
解：(1)∵ m=−3，
∴ 集合B=−7,−2.
∵ 集合A=−5,6，
∴ A∩B=−5,−2，
A∪B=−7,6.
(2)∵ A∪B=A，
∴ B⊆A.
当B=⌀时，2m−1>m+1，
解得：m>2.
当B≠⌀时，
2m−1≤m+1,2m−1≥−5,m+1≤6, 解得：−2≤m≤2，
综上，实数m的取值范围为[−2,+∞).
【答案】
解：(1)f(x)在区间[0, +∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1,x2∈[0, +∞)，且x1f(x1)−f(x2)=2x1−3x1+1−2x2−3x2+1
=(2x1−3)(x2+1)(x1+1)(x2+1)−(2x2−3)(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=5(x1−x2)(x1+1)(x2+1).
∵ x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ 函数f(x)在区间[0, +∞)上是增函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在区间[2, 9]上是增函数，
故函数f(x)在区间[2, 9]上的最大值为f(9)=2×9−39+1=32，
最小值为f(2)=2×2−32+1=13.
【考点】
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
【解析】
(1)利用函数的单调性的定义证明即可．
(2)利用函数的单调性，求解函数的最值即可．
【解答】
解：(1)f(x)在区间[0, +∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1,x2∈[0, +∞)，且x1f(x1)−f(x2)=2x1−3x1+1−2x2−3x2+1
=(2x1−3)(x2+1)(x1+1)(x2+1)−(2x2−3)(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=5(x1−x2)(x1+1)(x2+1).
∵ x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ 函数f(x)在区间[0, +∞)上是增函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在区间[2, 9]上是增函数，
故函数f(x)在区间[2, 9]上的最大值为f(9)=2×9−39+1=32，
最小值为f(2)=2×2−32+1=13.
【答案】
解：(1)由题意，得y=3+c(0≤x≤a)，3+c+b(x−a)(x>a).
(2)由表可得3+c=4，3+c+b(25−a)=14，3+c+b(35−a)=19，
解得：a=5，b=12，c=1，
所以y=4(0≤x≤5)，12x+32(x>5).
【考点】
分段函数的应用
【解析】
(1)当x≤a时可得y=3+c，当x>a时可得y=3+c+b(x−a)，从而可得y关于x的函数关系式.
(2)由表中数据可得3+c=43+c+b(25−a)=143+c+b(35−a)=19，从而可求a，b，c，进而可求y关于x的函数的解析式
【解答】
解：(1)由题意，得y=3+c(0≤x≤a)，3+c+b(x−a)(x>a).
(2)由表可得3+c=4，3+c+b(25−a)=14，3+c+b(35−a)=19，
解得：a=5，b=12，c=1，
所以y=4(0≤x≤5)，12x+32(x>5).
【答案】
解：(1)∵ 二次函数f(x)对任意x都满足f(3−x)=f(x)，
∴ 对称轴x=32.
∵ f(x)存在最小值74，
∴ 二次项系数a>0.
设f(x)=a(x−32)2+74．
∵ 二次函数f(x)的图象过点(0, 4)，
∴ f(0)=94a+74=4，
解得：a=1，
∴ f(x)=(x−32)2+74=x2−3x+4．
(2)由题意可得，f(x)>2x+m对于x∈[−1, 3]恒成立，
∴ m∵ g(x)=x2−5x+4在x∈[−1, 3]上的最小值为−94，
∴ m<−94．
【考点】
函数恒成立问题
二次函数的性质
函数的最值及其几何意义
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
本题（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点(0, 4)，f(3−x)=f(x)，最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；
（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到本题结论．
【解答】
解：(1)∵ 二次函数f(x)对任意x都满足f(3−x)=f(x)，
∴ 对称轴x=32.
∵ f(x)存在最小值74，
∴ 二次项系数a>0.
设f(x)=a(x−32)2+74．
∵ 二次函数f(x)的图象过点(0, 4)，
∴ f(0)=94a+74=4，
解得：a=1，
∴ f(x)=(x−32)2+74=x2−3x+4．
(2)由题意可得，f(x)>2x+m对于x∈[−1, 3]恒成立，
∴ m∵ g(x)=x2−5x+4在x∈[−1, 3]上的最小值为−94，
∴ m<−94．
【答案】
解：(1)由题意知，x+ax=2x+2有唯一实数解，
∴ x2+2x−a=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=4+4a=0，
∴ a=−1.
(2)由题意得，f(m)=m−1m.
∵ m∈[2, 4]，
∴ f(m)min=2−12=32.
∵ 对任意m∈[2, 4]，存在n∈[1, 5]，使f(m)≥g(n)成立，
∴ 存在n∈[1, 5]，使n2−bn≤32成立，
∴ b≥(n−32n)min.
∵ y=n−32n在[1, 5]上单调递增，
∴ b≥ymin=1−32=−12，
∴ 实数b的取值范围为[−12,+∞).
【考点】
函数恒成立问题
根的存在性及根的个数判断
【解析】
（1）f(x)=2x+2}转化为x2+2x−a=0，利用根的判别式为0，可求若集合{x|f(x)=2x+2}只含有一个元素，实数a的值；
（2）求出f(m)的最小值，问题转化为n2−bn≤32，n∈[1, 5]时恒成立，分离参数求最值，即可求实数b的取值范围．
【解答】
解：(1)由题意知，x+ax=2x+2有唯一实数解，
∴ x2+2x−a=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=4+4a=0，
∴ a=−1.
(2)由题意得，f(m)=m−1m.
∵ m∈[2, 4]，
∴ f(m)min=2−12=32.
∵ 对任意m∈[2, 4]，存在n∈[1, 5]，使f(m)≥g(n)成立，
∴ 存在n∈[1, 5]，使n2−bn≤32成立，
∴ b≥(n−32n)min.
∵ y=n−32n在[1, 5]上单调递增，
∴ b≥ymin=1−32=−12，
∴ 实数b的取值范围为[−12,+∞).
【答案】
解：(1)f(x)=[x−(2a−1)]2+a2+1，x∈[0,1]，
①若2a−1<0，即a<12时，
g(a)=f(0)=5a2−4a+2；
②若0≤2a−1≤1，即12≤a≤1时，
g(a)=f(2a−1)=a2+1；
③若2a−1>1，即a>1时，
g(a)=f(1)=5a2−8a+5，
综上所述g(a)=5a2−4a+2,a<12,a2+1,12≤a≤1,5a2−8a+5,a>1.
(2)由(1)知，g(a)=5a2−4a+2,a<12,a2+1,12≤a≤1,5a2−8a+5,a>1.
①当a<12时，
g(a)=5a−252+65∈65,+∞；
②当12≤a≤1时，
g(a)=a2+1∈54,2；
③当a>1时，
g(a)=5a−452+95∈(2,+∞)，
所以g(a)min=65．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)f(x)=[x−(2a−1)]2+a2+1，x∈[0,1]，
①若2a−1<0，即a<12时，
g(a)=f(0)=5a2−4a+2；
②若0≤2a−1≤1，即12≤a≤1时，
g(a)=f(2a−1)=a2+1；
③若2a−1>1，即a>1时，
g(a)=f(1)=5a2−8a+5，
综上所述g(a)=5a2−4a+2,a<12,a2+1,12≤a≤1,5a2−8a+5,a>1.
(2)由(1)知，
①当a<12时，
g(a)=5a−252+65∈65,+∞；
②当12≤a≤1时，
g(a)=a2+1∈54,2；
③当a>1时，
g(a)=5a−452+95∈(2,+∞)，
所以g(a)min=65．x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
3
2
1
0
0
−1
−2
−3
月份
煤气使用量/m3
煤气费/元
7
4
4
8
25
14
9
35
19