人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课后复习题，共5页。

[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
C [“∀”和“任选一个”都是全称量词．]
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，|x|＝0
B．∃x∈R,2x－10＝1
C．∀x∈R，x3>0
D．∀x∈R，x2＋1>0
C [当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]
3．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．∀x∈R，x2＞0
B．∃x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
B [A含有全称量词∀，为全称量词命题，B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B.]
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq \f(1,x)<0，所以D是假命题．]
5．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C [利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.]
二、填空题
6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．
存在量词命题 ∃x，y∈R，x＋y＞1 [命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”．]
7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．
存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0 [原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]
8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．
{m|m≤－4} [由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
[解] (1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在量词命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)q：有些梯形的对角线相等．
[解] (1)﹁p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．
由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．
(2)﹁q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．
[等级过关练]
1．下列命题中正确的个数是( )
①∃x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．故选D.]
2．下列命题的否定是真命题的为( )
A．p1每一个合数都是偶数
B．p2两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3有些实数的绝对值是正数
D．p4某些平行四边形是菱形
A [若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即﹁p2，﹁p3，﹁p4均为假命题．]
3．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________．
∃x＞0，使得x2－x＋3＞0 [命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x＞0，使得x2－x＋3＞0.]
4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤1} [存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：某些平行四边形是菱形；
(3)可以被5整除的数，末位是0；
(4)能被3整除的数，也能被4整除．
[解] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．
(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题.