2020-2021学年江西省南昌市高一（上）11月联考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省南昌市高一（上）11月联考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y=3x−2的定义域是( )
A.[1, +∞)B.[23,+∞)C.[23,1]D.(23,1]

2. (614)−12=( )
A.32B.23C.25D.52

3. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A.y=1和y=x0B.y=|x|和y=x,x>0−x,x≤0
C.y=x2和y=xD.y=x2−1x−1和y=x+1

4. 若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则加上下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点( )
A.f(3)<0B.f(−1)>0
C.函数在定义域内为增函数D.函数在定义域内为减函数

5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1B.y=−x3C.y=1xD.y=x3+x

6. 函数y=lga(2x−3)+22(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，P在幂函数y=f(x)的图象上，则f(9)=( )
A.13B.3C.3D.9

7. 方程12019x=|lg2018x|的解的个数是 ( )
A.3个B.2个C.1个D.0个

8. 设fx是定义在R上的奇函数且fx+3=−fx，f1=−2，则f2020=( )
A.0.5B.0C.2D.−1

9. 若x∈(e−1, 1)，a=lnx，b=(12)lnx，c=elnx，则( )
A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

10. 函数f(x)=11−x(1−x)的最大值是( )
A.43B.34C.45D.54

11. 已知函数f(x)=x2−2tx+1在(−∞,1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0,t+1]，总有|f(x1)−f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A.[1,2]B.[−2,2]C.(1,2)D.(−2,2)

12. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0,1)为减函数，在[1,+∞)为增函数，f(2)=0,则不等式x[f(x)−f(−x)]≥0的解集为( )
A.(−∞,−2]∪[0,2]B.[−2,0]∪[2,+∞)
C.(−∞,−1]∪{0}∪[1,+∞)D.(−∞,−2]∪{0}∪[2,+∞)
二、填空题

已知集合U={2, 3, 6, 8}，A={2, 3}，B={2, 6, 8}，则(∁UA)∩B＝________．

函数fx=lg12x,x≥1，2x, x<1的值域为________.

已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=2x−1，则f(−lg23)=________．

函数f(x)=(a−1)x+52，x≤1，2a+1x，x>1在定义域R上满足对任意实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则a的取值范围是________．
三、解答题

计算：
(1)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0;

(2)12lg3249−43lg8+lg245．

已知A={x|13<3x<9}，B={x|lg2x>0}．
(1)求A∩B和A∪B；

(2)定义A−B={x|x∈A且x∉B}，求A−B和B−A．

已知函数fx=2x−5x .
(1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)用单调性的定义证明函数fx=2x−5x在0,+∞上单调递增．

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若在区间[−1, 1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

已知fx=|2x−3|+ax−6（a是常数， a∈R).
(1)当a=1时，求不等式fx≥0的解集；

(2)如果函数y=fx恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+1+a是奇函数．
(1)求实数a，b的值；

(2)判断f(x)在R上的单调性；

(3)若f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省南昌市高一（上）11月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
结合根式成立的条件进行求解即可．
【解答】
解：要使函数有意义，
则3x−2≥0得x≥23，
即函数的定义域为[23, +∞)，
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
有理数指数幂的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=(254)−12=425=25.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可
【解答】
解：选项A中，函数y=x0的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域不一样；
选项B中，两个函数定义域和对应法则都一样，是同一函数；
选项C中，函数y=x2的值域为[0,+∞)，值域不一样；
选项D中，函数y=x2−1x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，定义域不一样.
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
A，B可用反例说明是错误的．C函数不会是增函数，条件自相矛盾，C错．
D结合减函数定义可知正确．
【解答】
解：A，如图，
则此选项错误；
B，如图，
则此选项错误；
C，f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0则函数不会是增函数，则此选项错误；
D ，由已知，函数在(1,2)内有一个零点，函数在定义域内为减函数，则零点唯一．则此选项正确.
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
【解析】
根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．
【解答】
解：A，由于函数y=x+1是非奇非偶函数，故排除A；
B，由于y=−x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除B；
C，由于y=1x在−∞,0∪0,+∞ 上不具有单调性，故排除C；
D，函数为增函数，(−x)3+(−x)=−(x3+x)是奇函数，满足题意，故D正确．
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
依题意，可求得定点P的坐标，设出幂函数f(x)的表达式，将点P的坐标代入，求得该表达式，即可求得f(9)．
【解答】
解：∵ y=lga(2x−3)+22，
∴ 其图象恒过定点P(2, 22)，
设幂函数f(x)=xa，
∵ P在幂函数f(x)的图象上，
∴ 2a=22，
∴ a=−12，
∴ f(x)=x−12，
∴ f(9)=13．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
判断图象交点的个数，然后结合方程的根与函数图象交点个数相同，即可得到答案．
【解答】
解：作出y=(12019)x和y=|lg2018x|的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象有2个交点．
故方程12019x=|lg2018x|的解的个数也为2个．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
先根据题意得到fx+6=fx，fx是周期函数，周期为6，则有f2020=−f1可得答案．
【解答】
解： fx是定义在R上的奇函数，
∵ fx+3=−fx，
可得：fx+6=−fx+3=fx，
∴ fx是周期为6的周期函数，
∴ f2020=f6×336+4=f4
=f(1+3)=−f1=2.
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
指数函数与对数函数的关系
【解析】
依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a<0，b>1，1ec<1，从而可得答案．
【解答】
解：∵ x∈(e−1, 1)，a=lnx，
∴ a∈(−1, 0)，即a<0；
又y=(12)x为减函数，
∴ b=(12)lnx,(12)ln1=(12)0=1，即b>1；
又c=elnx=x∈(e−1, 1)，
∴ b>c>a．
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
利用配方法求出1−x(1−x)的范围，取倒数得答案．
【解答】
解：∵ 1−x(1−x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34，
∴ f(x)=11−x(1−x)∈(0, 43]．
∴ 函数f(x)=11−x(1−x)的最大值是43．
故选A.
11.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数f(x)在(−∞,1]上单调递减，
所以t≥1，
所以当x∈[0,t+1]时，f(x)max=f(0)，f(x)min=f(t)．
又对任意的x1，x2∈[0,t+1]，
总有|f(x1)−f(x2)|≤2等价于f(x)max−f(x)min≤2，
即f(0)−f(t)≤2，
所以1−(t2−2t×t+1)≤2，
所以t2≤2，
又t≥1，
所以1≤t≤2，
所以实数t的取值范围为[1,2]．
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
奇函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)为奇函数，
则x[f(x)−f(−x)]≥0可化为2xf(x)≥0,
则可得x=0或x>0,f(x)≥0,或x<0,f(x)≤0,
解得x=0或x≥2或x≤−2.
故选D.
二、填空题
【答案】
{6, 8}
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出集合A的补集，再利用交集的定义求(∁UA)∩B
【解答】
解：由题意知，
∵ U={2, 3, 6, 8}，集合A={2, 3}，
∴ ∁UA={6, 8}，
又B={2, 6, 8}，
故(∁UA)∩B={6, 8}.
故答案为：{6, 8}
【答案】
−∞,2
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据题意，由于函数 fx=lg12x,x≥12x, x<1 ，当x≥1，lg12x≤0，当x<1，则2x<2，据此求出函数的值域．
【解答】
解：根据题意，
由于函数 fx=lg12x,x≥1，2x, x<1，
当x≥1时，lg12x≤0，
当x<1时，则0<2x<2，
故可知函数的值域为−∞,2．
故答案为：−∞,2．
【答案】
−2
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
指数式与对数式的互化
【解析】
根据奇函数的性质，结合指数恒等式进行转化求解即可．
【解答】
解：∵ f(x)是奇函数，
∴ f(−lg23)=−f(lg23)=−(2​lg23−1)
=−(3−1)=−2，
故答案为：−2.
【答案】
(−12, 12]
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
【解析】
由已知可得函数f(x)=(a−1)x+52，x≤12a+1x，x>1，在定义域R上为减函数，则a−1<02a+1>0a−1+52≥2a+1，解得a的取值范围．
【解答】
解：若在定义域R上满足对任意实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
则函数f(x)=(a−1)x+52，x≤1，2a+1x，x>1，在定义域R上为减函数，
则a−1<0，2a+1>0，a−1+52≥2a+1，
解得：a∈(−12, 12]，
故答案为：(−12, 12].
三、解答题
【答案】
解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0
=[(32)3]−23−[(73)2]12+(5−1)−2×225−1
=(32)−2−73+52×225−1
=49−73+1
=−89．
(2)12lg3249−43lg8+lg245
=lg(3249)12−43lg232+lg(5×49)
=lg32−lg7−lg4+lg5+lg7
=lg32×54
=lg10
=12．
【考点】
对数的运算性质
有理数指数幂的化简求值
【解析】
(1)利用分数指数幂的性质、运算法则求解．
(2)利用对数的性质、运算法则求解．
【解答】
解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0
=[(32)3]−23−[(73)2]12+(5−1)−2×225−1
=(32)−2−73+52×225−1
=49−73+1
=−89．
(2)12lg3249−43lg8+lg245
=lg(3249)12−43lg232+lg(5×49)
=lg32−lg7−lg4+lg5+lg7
=lg32×54
=lg10
=12．
【答案】
解：(1)由A中的不等式变形得：3−1<3x<32，
解得−1即A=(−1, 2)，
由B中的不等式变形得：lg2x>0=lg21，
得到x>1，
∴ B=(1, +∞)，
则A∩B=(1, 2)，A∪B=(−1, +∞)；
(2)∵ A=(−1, 2)，B=(1, +∞)，
又A−B={x|x∈A且x∉B}，
∴ A−B=(−1, 1]，B−A=[2, +∞).
【考点】
集合新定义问题
指、对数不等式的解法
交集及其运算
并集及其运算
【解析】
（1）求出A与B中其他不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集，并集即可；
（2）根据A−B的定义，求出A−B与B−A即可．
【解答】
解：(1)由A中的不等式变形得：3−1<3x<32，
解得−1即A=(−1, 2)，
由B中的不等式变形得：lg2x>0=lg21，
得到x>1，
∴ B=(1, +∞)，
则A∩B=(1, 2)，A∪B=(−1, +∞)；
(2)∵ A=(−1, 2)，B=(1, +∞)，
又A−B={x|x∈A且x∉B}，
∴ A−B=(−1, 1]，B−A=[2, +∞).
【答案】
证明：(1)易知fx的定义域为x|x≠0，关于原点对称．
又因为f−x=2−x−5−x=−2x+5x
=−2x−5x=−fx，
所以fx是奇函数．
(2)任取x1,x2∈0,+∞，且x1则fx2−fx1=2x2−5x2−2x1−5x1
=2(x2−x1)+5(1x1−1x2)=(x2−x1)(2+5x1x2)，
因为0所以x2−x1>0，x1x2>0，
所以fx2−fx1>0，
即fx2>fx1，
所以fx=2x−5x在0,+∞上单调递增.
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)易知fx的定义域为x|x≠0，关于原点对称．
又因为f−x=2−x−5−x=−2x+5x
=−2x−5x=−fx，
所以fx是奇函数．
(2)任取x1,x2∈0,+∞，且x1则fx2−fx1=2x2−5x2−2x1−5x1
=2(x2−x1)+5(1x1−1x2)=(x2−x1)(2+5x1x2)，
因为0所以x2−x1>0，x1x2>0，
所以fx2−fx1>0，
即fx2>fx1，
所以fx=2x−5x在0,+∞上单调递增.
【答案】
解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，
∴ 对称轴为x=1.
又∵ 最小值为1，
设f(x)=a(x−1)2+1，
又f(0)=3，
∴ a=2，
∴ f(x)=2(x−1)2+1=2x2−4x+3.
(2)由已知2x2−4x+3>2x+2m+1在[−1, 1]上恒成立，
化简得m设g(x)=x2−3x+1，
则g(x)在区间[−1, 1]上单调递减，
∴ g(x)在区间[−1, 1]上的最小值为g(1)=−1，
∴ m<−1.
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
二次函数的性质
函数单调性的性质
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）用待定系数法先设函数f(x)的解析式，再由已知条件求解未知量即可
（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可
【解答】
解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，
∴ 对称轴为x=1.
又∵ 最小值为1，
设f(x)=a(x−1)2+1，
又f(0)=3，
∴ a=2，
∴ f(x)=2(x−1)2+1=2x2−4x+3.
(2)由已知2x2−4x+3>2x+2m+1在[−1, 1]上恒成立，
化简得m设g(x)=x2−3x+1，
则g(x)在区间[−1, 1]上单调递减，
∴ g(x)在区间[−1, 1]上的最小值为g(1)=−1，
∴ m<−1.
【答案】
解：(1)当a=1时，
fx=|2x−3|+x−6=3x−9, x≥32，−3−x,x<32，
则原不等式等价于 x≥32，3x−9≥0， 或 x<32，−3−x≥0，
解得x≥3或x≤−3，
则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤−3}·
(2)由fx=0，
得|2x−3|=−ax+6，
令y=|2x−3|,y=−ax+6，
作出它们的图像，
可以知道，当−2所以函数y=fx恰有两个不同的零点时，a的取值范围是−2,2.
【考点】
其他不等式的解法
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，
fx=|2x−3|+x−6=3x−9, x≥32，−3−x,x<32，
则原不等式等价于 x≥32，3x−9≥0， 或 x<32，−3−x≥0，
解得x≥3或x≤−3，
则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤−3}·
(2)由fx=0，
得|2x−3|=−ax+6，
令y=|2x−3|,y=−ax+6，
作出它们的图像，
可以知道，当−2所以函数y=fx恰有两个不同的零点时，a的取值范围是−2,2.
【答案】
解：(1)f(x)在R上为奇函数，
∴ f(0)=0,f(−1)=−f(1),
∴ b−12+a=0,b−121+a=−b−24+a,
解得a=2，b=1.
(2)设任意x1∵ x1∴ fx1>fx2,
∴ fx在−∞,+∞上是减函数.
(3)∵ f(x)为奇函数，
∴ 由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0得，f(k⋅3x)>f(9x−3x−2)；
又f(x)在(−∞, +∞)上单调递减；
∴ k⋅3x<9x−3x−2，该不等式对于任意x≥1恒成立；
∴ (3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立；
设3x=t，则t2−(k+1)t−2>0对于任意t≥3恒成立；
设g(t)=t2−(k+1)t−2，Δ=(k+1)2+8>0；
∴ k应满足：k+12<3,g(3)=4−3k>0,
解得k<43；
∴ k的取值范围为(−∞,43)．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
【解析】
（1）根据f(x)为R上的奇函数便可得到f(0)=0f(−1)=−f(1)，这样便可求出a=2，b=1；
（2）分离常数可以得到f(x)=−12+12x+1，根据指数函数y=2x的单调性可以判断出x增大时，f(x)减小，从而可判断出f(x)在(−∞, +∞)上单调递减；
（3）根据f(x)的奇偶性和单调性便可由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0得到(3x)2−(k+1)⋅3x−2>0对于任意的x≥1恒成立，可设3x=t，从而有t2−(k+1)t−2>0对于任意的t≥3恒成立，可设g(t)=t2−(k+1)t−2，从而可以得到k+12<3g(3)=4−3k>0，这样解该不等式组便可得出k的取值范围．
【解答】
解：(1)f(x)在R上为奇函数，
∴ f(0)=0,f(−1)=−f(1),
∴ b−12+a=0,b−121+a=−b−24+a,
解得a=2，b=1.
(2)设任意x1∵ x1∴ fx1>fx2,
∴ fx在−∞,+∞上是减函数.
(3)∵ f(x)为奇函数，
∴ 由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0得，f(k⋅3x)>f(9x−3x−2)；
又f(x)在(−∞, +∞)上单调递减；
∴ k⋅3x<9x−3x−2，该不等式对于任意x≥1恒成立；
∴ (3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立；
设3x=t，则t2−(k+1)t−2>0对于任意t≥3恒成立；
设g(t)=t2−(k+1)t−2，Δ=(k+1)2+8>0；
∴ k应满足：k+12<3,g(3)=4−3k>0,
解得k<43；
∴ k的取值范围为(−∞,43)．