2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）1月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）1月月考数学试卷 (1)人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列事件中，随机事件的个数是( )
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4​∘C时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0.
A.1B.2C.3D.4

2. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为( )

A.85，86B.85，85C.86，85D.86，86

3. 抛物线y2=8x的焦点为F，过F作直线l交抛物线于A，B两点，设|FA→|=m，|PB→|=n，则m⋅n的取值范围( )
A.(0, 4]B.(0, 16]C.[16, +∞)D.[4, +∞)

4. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A.OM→=OA→+OB→+OC→
B.OM→=13OA→+13OB→+13OC→
C.OM→=OA→+12OB→+13OC→
D.OM→=2OA→−OB→−OC→

5. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1−3,0，F23,0，过原点的直线与C交于A，B两点．若∠AF2B=2π3， |AF2|+|BF2|=26，则C的方程为( )
A.x22−y2=1B.x2−y22=1C.x2−y25=12D.x25−y2=12

6. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠ABC=90∘，AB=BC=1，AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于( )
A.55B.25C.45D.255

7. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

8. 双曲线C:x2a2 − y2b2 = 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1→⋅(OF1→+OP→)=0（O为坐标原点），cs∠PF2F1 = 1213，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.53C.135D.137
二、多选题

下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1，3，5，7从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A=2,3,4,5,6,7，B=2,3,6,9．在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35

设抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到2,t时，|PF|=4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M4,1，下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为y2=4x
B.|PM|+|PF|的最小值为6
C.存在直线l，使得A，B两点关于x+y−6=0对称
D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切

双曲线C:x24−y22=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为62
B.双曲线y24−x28=1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为2
D.|PF|的最小值为2

已知曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1k∈R，则下列结论正确的是( )
A.当k=4时，曲线C为圆
B.“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±3x
D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为2
三、填空题

国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17，20，16，18，19，则这五位同学答对题数的方差是________．

已知命题“∀x∈R，x2−4x+a>0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________.

已知函数fx=ax+2a>0， gx=2x−1，若∃x1∈−1,2，∀x2∈2,3，使fx1=gx2成立，则实数a的取值范围是________.

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为________．
四、解答题

已知△ABC中，A2,−1，B4,3，C3,−2.
(1)求直线AB的方程．

(2)求BC边上的高所在直线的方程；

(3)求△ABC的面积．

为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分100分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．

(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.

根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP中的比重如下：

(1)在所给坐标系中作出数据对应的散点图；

(2)建立第三产业在GDP中的比重y关于年份代码x的回归方程；

(3)按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP中的比重．
附注：回归直线方程y=a+bx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx¯2=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2，a=y¯−bx¯，

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB // EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)当AD的长为何值时，二面角D−FE−B的大小为60∘.

如图，方程为x2=2py的抛物线C，其上一点Qa,2到焦点F的距离为3，直线AB与C交于A，B两点（点A在y轴左侧，点B在y轴右侧），与y轴交于D点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若OA→⋅OB→=−4，求证直线AB过定点，并求出定点坐标；

(3)若D0,5，OA⊥BF，求直线OA的斜率t的值．

已知点A−10,7，B4,7，C−1,0，D1,0，直线l:y=x+3.
(1)求圆心在直线l上，且过A，B两点的圆的标准方程E1；

(2)若动点M满足|MC||MD|=2，求点M的轨迹方程E2；

(3)若圆心为Q的动圆与E1，E2均相切，求点Q的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
利用随机事件的概念直接判断．
【解答】
解：由题知①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
所以随机事件的个数为2.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
根据中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数据的平均数），求出即可．
【解答】
解：由茎叶图知，甲的8个得分中，出现频率最多的数是85，所以甲的众数为85.
乙的8个得分中，按照从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的两个数是85和85，所以中位数是85+852=85．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，设出方程与抛物线联立，再根据抛物线的定义，即可求得结论．
【解答】
解：抛物线y2=8x的焦点为F(2, 0)，
若直线l的斜率不存在，则|FA→|=m=|FB→|=n=4，
此时m⋅n=16，
若直线l的斜率存在，设l:y=kx−2k，与y2=8x联立，
消去y可得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则x1+x2=4+8k2，x1x2=4，
根据抛物线的定义可知|FA→|=m=x1+2，|FB→|=n=x2+2，
∴ m⋅n=(x1+2)(x2+2)
=x1x2+2(x1+x2)+4
=16+8k2>16，
综上所述，m⋅n的取值范围为[16, +∞)，
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM→=xAB→+yAC→，即OM→=(1−x−y)OA→+xOB→+yOC→，即可判断出．
【解答】
解：若点M与点A，B，C共面，则存在实数x，y，使得AM→=xAB→+yAC→，
化为OM→=(1−x−y)OA→+xOB→+yOC→.
选项A，C中系数之和不等于1；
选项B中系数之和为：13+13+13=1，可得点M与点A，B，C一定共面；
选项D可以化为：OM→=BA→+CA→，
因此OM平行于平面ABC，不满足题意，舍去.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
余弦定理
【解析】
由于双曲线和直线都关于原点对称，知|OA|=|OB|，连结AF1， BF1，则四边形AF1BF2为平行四边形，利用余弦定理求出|AF2|⋅|BF2|=4，又由双曲线的定义得|BF2|−|AF2|=±2a，代入整理即可得出结果．
【解答】
解：如图：
由过原点的直线与C交于A，B两点，
则A，B在双曲线的两支，且|OA|=|OB|，
连结AF1，BF1，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
所以|AF1|=|BF2|， |AF2|=|BF1|，∠F1BF2=π3，
在△F1BF2中，由余弦定理得：
2c2=|BF1|2+|BF2|2−2×|BF1||BF2|csπ3
=|AF2|2+|BF2|2−|AF2||BF2|
=|AF2|+|BF2|2−3|AF2|⋅|BF2|，
即232=262−3|AF2|⋅|BF2|，
化简得， |AF2|⋅|BF2|=4，
又由双曲线的定义， |AF1|−|AF2|=±2a，
即|BF2|−|AF2|=±2a，
∴ (2a)2=(|AF2|+|BF2|)2−4×|AF2|⋅|BF2|
=(26)2−16=8，
故a2=2，
从而b2=1，
故双曲线的方程为x22−y2=1.
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】
解：以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1, 0, 0)，B1(0, 0, 2)，B(0, 0, 0)，C1(0, 1, 2)，
AB1→=(−1, 0, 2)，BC1→=(0, 1, 2).
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则csθ=|AB1→⋅BC1→||AB1→|⋅|BC1→|=45×5=45，
∴ 异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为45．
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC1与侧面ACC1A1所成角的大小．
【解答】
解：取AC的中点O，连接OC1，如图：
∵ AA1⊥底面ABC，∴ 平面ACC1A1⊥底面ABC，
∵ △ABC是边长为1的正三角形，∴ BO⊥AC，
∴ BO⊥平面ACC1A1，
∴ ∠OC1B是BC1与平面ACC1A1所成角，
∵ 侧棱长为2，则在△OC1B中，BC1=3，BO=32，OC1=32，
∴ cs∠OC1B=OC1BC1=323=32．
则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为30∘.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
取PF1的中点为M，由向量的三角形法则和向量的数量积的性质，可得PF1 → ⊥OM → ，PF1 → ⊥PF2 → ．运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．
【解答】
解：取PF1的中点为M，则OM→=12(OF1→+OP→)，
由PF1→⋅(OF1→+OP→)=0，得PF1→⋅OM→=0，即PF1→⊥OM→．
因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1→⊥PF2→．
由cs∠PF2F1=1213，
设|PF2|=12，则|F1F2|=13，|PF1|=5，
所以|PF2|−|PF1|=2a=7，|F1F2|=2c=13，
所以e=ca=137．
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：结合古典概型的概率计算公式对各选项依次判断即可．
对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙）（甲、丙）（乙、丙）共3种情况，
其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P=23，故A正确；
对于B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型．
又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种情况，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况，
所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14，故B正确：
对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26=13，故C正确；
对于D，因为A∪B=2,3,4,5,6,7,9,A∩B=2,3,6，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37，故D错误.
故选ABC.
【答案】
B,D
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，当P运动到(2, t)时，|PF|=4，由抛物线的定义可知，p2=4−xp=4−2=2，所以p=4，
故抛物线的方程为y2=8x，即A错误；
对于B，过点P作PP′垂直抛物线的准线，则|PM|+|PF|=|PM|+|PP′|≥|MP′|=xM+p2=4+2=6，当且仅当P′，P和M三点共线时，等号成立，即B正确；
对于C，假设A，B两点关于x+y−6=0对称，所以直线l的斜率为1，
设直线l的方程为y=x+m，A，B的坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，
联立y=x+m,y2=8x, 得x2+(2m−8)x+m2=0，所以x1+x2=8−2m,x1x2=m2,Δ=(2m−8)2−4m2>0, ，
所以m0，
解得：40”的否定是假命题，
∴ 命题“∀x∈R，x2−4x+a>0”是真命题，
∴ Δ=16−4a4.
故答案为：(4,+∞).
【答案】
[1,+∞)
【考点】
函数的值域及其求法
集合关系中的参数取值问题
【解析】
要使使∃x1∈−1,2，∀x2∈2,3，使得fx1=gx2，则1,2⊆−a+2,2a+2，利用集合的包含关系求解即可.
【解答】
解：当x∈−1,2时，fx=ax+2∈−a+2,2a+2；
当x∈2,3，gx=2x−1∈1,2,
要使∃x1∈−1,2，∀x2∈2,3，使fx1=gx2成立，
则1,2⊆−a+2,2a+2，
∴ −a+2≤1且2a+2≥2，
解得a≥1.
故答案为：[1,+∞).
【答案】
75
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
设出双曲线的焦点，运用双曲线的定义求得|PF2|=|PF1|−2a=2c−2a，结合条件可得|QF1|=|QF2|+2a=3c−a，在△PF1F2和△QF1F2中，分别运用余弦定理以及∠F1F2Q+∠F1F2P=π，得cs∠F1F2Q+cs∠F1F2P=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到．
【解答】
解：设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，
则|PF1|=|F1F2|=2c.
由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|−2a=2c−2a.
由3|PF2|=2|QF2|，可得|QF2|=3c−3a.
由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c−a.
在△PF1F2中，
cs∠F1F2P=|F1F2|2+|PF2|2−|PF1|22|F1F2|⋅|PF2|
=4c2+4(c−a)2−4c22×2c×2(c−a)=c−a2c.
在△QF1F2中，
cs∠F1F2Q=|F1F2|2+|QF2|2−|QF1|22|F1F2|⋅|QF2|
=4c2+9(c−a)2−(3c−a)22×2c×3(c−a)=c−2a3c.
由∠F1F2Q+∠F1F2P=π，可得cs∠F1F2Q+cs∠F1F2P=0，
即c−a2c+c−2a3c=0，即5c=7a，
所以e=ca=75．
故答案为：75．
四、解答题
【答案】
解：(1)因为kAB=2，
所以AB所在的直线方程为y−−1=2x−2，
即AB直线方程：2x−y−5=0．
(2)因为kBC=5，
所以BC边上的高AD所在直线斜率k=−15．
所以AD所在直线方程为y+1=−15x−2．
即x+5y+3=0．
(3)BC的直线方程为：y+2=3−−24−3x−3，
化简得5x−y−17=0.
点A到直线BC的距离为d=|2×5−−1−17|52+−12=626．
又|BC|=3−42+−2−32=26，
所以△ABC的面积为S△ABC=12|BC|d=12×26×626=3．
【考点】
直线的点斜式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
三角形的面积公式
点到直线的距离公式
【解析】



【解答】
解：(1)因为kAB=2，
所以AB所在的直线方程为y−−1=2x−2，
即AB直线方程：2x−y−5=0．
(2)因为kBC=5，
所以BC边上的高AD所在直线斜率k=−15．
所以AD所在直线方程为y+1=−15x−2．
即x+5y+3=0．
(3)BC的直线方程为：y+2=3−−24−3x−3，
化简得5x−y−17=0.
点A到直线BC的距离为d=|2×5−−1−17|52+−12=626．
又|BC|=3−42+−2−32=26，
所以△ABC的面积为S△ABC=12|BC|d=12×26×626=3．
【答案】
解：(1)由频率和为1，
得(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040.
设综合评分的中位数为x，
则(0.005+0.010+0.025)×10+0.040×(x−80)=0.5，
解得x=82.5，
所以综合评分的中位数为82.5.
(2)由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.040+0.020)×10=0.6，
所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，
则一等品与非一等品的抽样比为3:2，
所以抽取5个产品中，一等品有3个，记为a，b，c；非一等品有2个，记为D，E，
从这5个产品中随机抽取2个，
基本事件为：ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种；
其中抽取的2个产品中恰有一个一等品的可能有：aD，aE，bD，bE，cD，cE，共6种，
故所求概率P=610=35．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）由频率和为1列方程求出a的值，利用中位数两边频率相等求出中位数的值；
（2）由频率分布直方图求得一等品和非一等品的频率，得出分层抽样比，
计算抽取样本的组成，利用列举法计算基本事件数，再求概率值．

【解答】
解：(1)由频率和为1，
得(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040.
设综合评分的中位数为x，
则(0.005+0.010+0.025)×10+0.040×(x−80)=0.5，
解得x=82.5，
所以综合评分的中位数为82.5.
(2)由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.040+0.020)×10=0.6，
所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，
则一等品与非一等品的抽样比为3:2，
所以抽取5个产品中，一等品有3个，记为a，b，c；非一等品有2个，记为D，E，
从这5个产品中随机抽取2个，
基本事件为：ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种；
其中抽取的2个产品中恰有一个一等品的可能有：aD，aE，bD，bE，cD，cE，共6种，
故所求概率P=610=35．
【答案】
解：(1)根据所给的数据绘制散点图如图所示：
(2)结合所给数据计算可得：
x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=44.3+45.5+46.9+48.1+50.55=47.06，
则b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−n(x)2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=1510=1.5，
a=y¯−bx¯=42.56，
故回归方程为：y=bx+a=1.5x+42.56．
(3)代入2017年的年份代码x=7可得：y=1.5×7+42.56=53.06，
故按照当前的变化趋势，预测2017年我国第三产业在GDP中的比重将达到53.06%．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
(1)利用题中所给的数据描点画出散点图即可；
(2)首先求得样本中心点，然后利用回归方程计算公式求解即可；
(3)利用回归方程的预测作用结合(2)中的结果进行预测即可．


【解答】
解：(1)根据所给的数据绘制散点图如图所示：
(2)结合所给数据计算可得：
x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=44.3+45.5+46.9+48.1+50.55=47.06，
则b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−n(x)2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=1510=1.5，
a=y¯−bx¯=42.56，
故回归方程为：y=bx+a=1.5x+42.56．
(3)代入2017年的年份代码x=7可得：y=1.5×7+42.56=53.06，
故按照当前的变化趋势，预测2017年我国第三产业在GDP中的比重将达到53.06%．
【答案】
(1)证明：∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴ CB⊥平面ABEF．
∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
又∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
∴ AF⊥平面CBF．
∵ AF⊂平面DAF，
∴ 平面DAF⊥平面CBF．
(2)解：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，过点F作FH⊥AB，垂足为H.
由(1)可知，DA⊥平面ABEF，
又AM∩DA=A，
∴EF⊥平面DAM，
则DM⊥EF，
∴ ∠DMA为二面角D−FE−B的平面角，即∠DMA=60∘．
在Rt△AFH中，易得AH=12，AF=1，
∴ FH=32．
又∵ 四边形AMFH为矩形，
∴ MA=FH=32，
∴ AD=MA⋅tan∠DMA=32×3=32，
因此，当AD的长为32时，二面角D−FE−B的大小为60∘．
【考点】
平面与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）欲证平面DAF⊥平面CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圆中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，进一步易得平面DAF⊥平面CBF
（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，则∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由DA⊥平面ABEF可知：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，所以∠DMA为二面角D−FE−B的平面角，∠DMA＝60∘．
【解答】
(1)证明：∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴ CB⊥平面ABEF．
∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
又∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
∴ AF⊥平面CBF．
∵ AF⊂平面DAF，
∴ 平面DAF⊥平面CBF．
(2)解：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，过点F作FH⊥AB，垂足为H.
由(1)可知，DA⊥平面ABEF，
又AM∩DA=A，
∴EF⊥平面DAM，
则DM⊥EF，
∴ ∠DMA为二面角D−FE−B的平面角，即∠DMA=60∘．
在Rt△AFH中，易得AH=12，AF=1，
∴ FH=32．
又∵ 四边形AMFH为矩形，
∴ MA=FH=32，
∴ AD=MA⋅tan∠DMA=32×3=32，
因此，当AD的长为32时，二面角D−FE−B的大小为60∘．
【答案】
解：(1)因为抛物线C的方程为x2=2py，
所以抛物线C的准线方程为y=−p2，
因为抛物线C上一点Q(a,2)到焦点F的距离为3，
所以结合抛物线定义易知，2+p2=3，解得p=2，
故抛物线C的方程为x2=4y，F0,1．
(2)由题意易知直线AB的斜率定存在，
设直线AB的方程为y=kx+b，
联立y=kx+b,x2=4y,
整理得x2−4kx−4b=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=4k，x1x2=−4b，
故y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=−4bk2+4bk2+b2=b2，
因为OA→⋅OB→=−4，
所以x1x2+y1y2=−4，即b2−4b+4=0，解得b=2，
故直线AB的方程为y=kx+2，过定点0,2．
(3)设直线OA的方程为y=tx，
联立y=txx2=4y，整理得x2−4tx=0，解得x=0或4t，则A4t,4t2，
则kAD=4t2−54t，直线AB方程为y=4t2−54tx+5，
联立y=4t2−54tx+5,x2=4y,
整理得x2−4t2−5tx−20=0，
解得x=4t或−5t，B−5t,254t2，
则OA→=4t,4t2，则BF→=(5t,1−254t2)，
因为OA⊥BF，
所以OA→⋅BF→=20+4t2−25=0，
解得t=±52，
结合图像易知，t=−52，即直线OA的斜率t的值为−52．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】



【解答】
解：(1)因为抛物线C的方程为x2=2py，
所以抛物线C的准线方程为y=−p2，
因为抛物线C上一点Q(a,2)到焦点F的距离为3，
所以结合抛物线定义易知，2+p2=3，解得p=2，
故抛物线C的方程为x2=4y，F0,1．
(2)由题意易知直线AB的斜率定存在，
设直线AB的方程为y=kx+b，
联立y=kx+b,x2=4y,
整理得x2−4kx−4b=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=4k，x1x2=−4b，
故y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=−4bk2+4bk2+b2=b2，
因为OA→⋅OB→=−4，
所以x1x2+y1y2=−4，即b2−4b+4=0，解得b=2，
故直线AB的方程为y=kx+2，过定点0,2．
(3)设直线OA的方程为y=tx，
联立y=txx2=4y，整理得x2−4tx=0，解得x=0或4t，则A4t,4t2，
则kAD=4t2−54t，直线AB方程为y=4t2−54tx+5，
联立y=4t2−54tx+5,x2=4y,
整理得x2−4t2−5tx−20=0，
解得x=4t或−5t，B−5t,254t2，
则OA→=4t,4t2，则BF→=(5t,1−254t2)，
因为OA⊥BF，
所以OA→⋅BF→=20+4t2−25=0，
解得t=±52，
结合图像易知，t=−52，即直线OA的斜率t的值为−52．
【答案】
解：(1)设圆心为(a,b)，
由题意有(−10−a)2+(7−b)2=r2,(4−a)2+(7−b)2=r2,b=a+3,
解得a=−3,b=0,r2=98,
故圆的标准方程E1为(x+3)2+y2=98.
(2)设Mx,y.
因为C−1,0，D1,0，
所以|MC|=x+12+y2，|MD|=x−12+y2.
因为|MC||MD|=2，
所以 x+12+y2(x−1)2+y2=2，化简得x−32+y2=8，
故Mx,y的轨迹方程E2为x−32+y2=8 .
(3)设Qx,y.
E1:x+32+y2=98的圆心为−3,0，半径r1=72，E1的右顶点坐标为72−3,0.
E2:x−32+y2=8的圆心为3,0，半径r2=22，E2的右顶点坐标为3+22,0.
因为72−3>3+22，
所以E2含于E1中，|QE1|+|QE2|=r1+r2=92，
则点Q的轨迹是以E1−3,0和E23,0为左、右焦点的椭圆，
且a=|QE1|+|QE2|2=922，c=3，b=a2−c2=3142，
故点Q的轨迹方程为x2812+y2632=1 .
【考点】
圆的标准方程
轨迹方程
【解析】



【解答】
解：(1)设圆心为(a,b)，
由题意有(−10−a)2+(7−b)2=r2,(4−a)2+(7−b)2=r2,b=a+3,
解得a=−3,b=0,r2=98,
故圆的标准方程E1为(x+3)2+y2=98.
(2)设Mx,y.
因为C−1,0，D1,0，
所以|MC|=x+12+y2，|MD|=x−12+y2.
因为|MC||MD|=2，
所以 x+12+y2(x−1)2+y2=2，化简得x−32+y2=8，
故Mx,y的轨迹方程E2为x−32+y2=8 .
(3)设Qx,y.
E1:x+32+y2=98的圆心为−3,0，半径r1=72，E1的右顶点坐标为72−3,0.
E2:x−32+y2=8的圆心为3,0，半径r2=22，E2的右顶点坐标为3+22,0.
因为72−3>3+22，
所以E2含于E1中，|QE1|+|QE2|=r1+r2=92，
则点Q的轨迹是以E1−3,0和E23,0为左、右焦点的椭圆，
且a=|QE1|+|QE2|2=922，c=3，b=a2−c2=3142，
故点Q的轨迹方程为x2812+y2632=1 . 年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份代码x
1
2
3
4
5
第三产业比重y(%)
44.3
45.5
46.9
48.1
50.5