2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

展开

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=0,2，则下列关系表示错误的是( )
A.0∈AB.2∈AC.⌀⊆AD.0,2⊆A

2. 已知映射f:x,y→x+2y,x−2y，在映射f下3,−1的象是（）
A.3,−1B.1,1C.1,5D.5,−7

3. 函数y=ax+1+1(a>0且a≠1）图象一定过点（）
A.0,1B.−1,1C.0,2D.−1,2

4. 若a=332 ，b=352，c=lg0.53，则( )
A.c
5. 全集U=R，集合A=x|xx−4≤0，集合B=x|lg2x−1>2，图中阴影部分所表示的集合为( )

A.(−∞,0]∪[4,5]B.(−∞,0)∪(4,5]C.−∞,0∪4,5D.(−∞,4]∪(5,+∞)

6. 已知函数fx=lg21−x1+x+1，若fa=12，则f−a=( )
A.32B.−32C.12D.−12

7. 函数fx是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是减函数且f2=0，则使xfx<0的x的取值范围( )
A.−∞,2B.2,+∞C.−∞,−2∪0,2D.−2,2

8. 函数fx=ax与gx=x+a在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B.
C.D.

9. 若 fx=lgax, x>1，4−a2x−2, x≤1 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.1,+∞B.8,+∞C.[4,8）D.1,8

10. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况．我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即一局围棋有1000052种不同的变化．下列选项中最接近33611000052的值是（）（参考值：lg3≈0.477）
A.10−25B.10−26C.10−35D.10−36

11. 对于每个实数x，设f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=−2x+4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为( )
A.3B.83C.23D.12

12. 已知函数f(x)=lg12[x2−2(2a−1)x+8]，a∈R，若f(x)在[a, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围为（）
A.(−∞, 2]B.(−43, 1]C.(−∞, 1]D.(−43,2]
二、填空题

下列给出的命题中：
①若fx的定义域为R，则gx=fx+f−x一定是偶函数；
②若fx是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有fx+f2−x=0，则函数fx的图象关于直线x=1对称；
③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；
④若fx=ax+1x+2在区间−2,+∞上是增函数，则a>12.
其中正确的命题序号是________.
三、解答题

计算下列各式的值：
(1)823−(12)−2+(1681)−34−(2−1)0；

(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．

已知全集U=R，集合A={x|x<−4或x>1}，B=x|−3≤x−1≤2.
(1)求A∩B，∁UA∪∁UB；

(2)若集合M=x|2k−1≤x≤k+1是集合A的子集，求实数k的取值范围．

已知函数fx是定义在R上的偶函数，已知x≤0时， fx=x2+4x+3.

(1)求函数fx的解析式；

(2)画出函数fx的图象，并写出函数fx的单调递增区间；

(3)试讨论fx=aa∈R的解的个数．

设fx是R上的奇函数，且对任意的实数a，b，当a+b≠0时，都有fa+fba+b>0.
(1)若a>b，试比较fa,fb的大小；

(2)对于任意的实数x∈1,2，不等式fx−c+fx−c2>0恒成立，求实数c的取值范围．

某批发市场一服装店试销一种成本为每件60元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%，经试销发现销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=80时，y=40；x=70时，y=50．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式，并指出x的取值范围；

(2)若该服装店获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价x定为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？

已知函数f(x)=lg2(4x+1)+mx．
(1)若f(x)是偶函数，求实数m的值；

(2)当m>0时，关于x的方程f8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=1在区间[1, 22]上恰有两个不同的实数解，求m的范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
元素与集合关系的判断
集合的含义与表示
【解析】
根据元素与集合关系的表示法，可以判断A的真假；根据集合与集合关系的表示法，可以判断B的真假；根据⌀的性质可以判断C的真假；根据集合子集的定义，可以判断D的真假，进而得到答案．
【解答】
解：0∈A，故A正确；
2⊆A，故B错误；
⌀是任意集合的子集，⌀⊆A，故C正确；
0,2⊆A，故D正确.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
本题考察映射的定义
从已知条件出发，分别计算即可
【解答】
解：已知映射f:x,y→x+2y,x−2y，
在映射f下3,−1的象是3−2，3+2=1，5.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
本题考察指数函数图像问题
利用指数函数性质求解
【解答】
解：函数y=ax+1+1a>0且a≠1，
当x=−1时，y=a0+1=2，
故函数的图像一定过点−1，2.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
指数函数单调性的应用
【解析】
利用指数函数和对数函数的性质求解即可.
【解答】
解：∵ b=352>a=332>0，
c=lg0.53∴ c故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
交、并、补集的混合运算
【解析】
图中阴影部分所表示的集合为∁UA∪B，再利用集合的运算求解即可.
【解答】
解：图中阴影部分所表示的集合为∁UA∪B.
∵ 集合A=x|xx−4≤0=x|0≤x≤4，
集合B=x|lg2x−1>2=x|x>5，
∴ A∪B={x|0≤x≤4或x>5}，
∴ ∁UA∪B =(−∞,0)∪(4,5].
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
函数的求值
【解析】
利用对数的运算和函数的奇偶性得到f(a)+f(−a)=2，即可得到答案.
【解答】
解：fa=lg21−a1+a+1=12，
∴lg21−a1+a=−12，
f(−a)=lg21+a1−a+1=−lg21−a1+a+1
=12+1=32.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
函数奇偶性的性质
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性可以得到大致图形，即可求出结果.
【解答】
解：∵f(x)为偶函数，
则f(−2)=f(2)=0，
由函数的单调性可得，当x<−2或x>2时，f(x)>0；
当−2若想满足xfx<0，则x与f(x)异号，
故x<−2或0故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
把a看做直线y=x+a在y轴上的截距，对应函数y=x+a单调递增，而函数y=ax当a>1时单调递增，当0用以上两条选出答案．
【解答】
解：a为直线y=x+a在y轴上的截距，函数y=x+a单调递增；
当a>1时，函数y=ax单调递增，当0A中，直线y=x+a单调递减，故错误；
B中，直线y=x+a单调递减，故错误；
C中，从图象上看，y=ax的a满足0D中，从图象上看，y=ax的a满足01，故错误.
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
利用每一段单调递增，且在衔接点处不减进行求解即可.
【解答】
解：若f(x)=lgax，x>1，(4−a2)x−2,x≤1是R上的增函数，
则实数a的取值范围为应该满足：
a>1，4−a2>0，4−a2−2≤0，
解得4≤a<8.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，对于33611000052，
有lg33611000052=lg3361−lg1000052
=361×lg3−52×4≈−35.8，
则33611000052≈10−35.8，
分析选项：D中10−36与其最接近.
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
求出f(x)的解析式，分段求最大值得出．
【解答】
解：联立4x+1联立x+2<4x+1，x+2<4−2x，得13联立4−2x<4x+1，4−2x23，
∴ f(x)=4x+1,x≤13，x+2,1323，
当x≤13时，f(x)是增函数，fmax(x)=f(13)=73，
当13当x>23时，f(x)是减函数，fmax(x)综上，f(x)的最大值是83．
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据复合函数的单调性知，g(x)＝x2−2(2a−1)x+8在区间[a, +∞)上单调递增且g(x)>0，由此列出不等式组，求出a的取值范围．
【解答】
解：令g(x)=x2−2(2a−1)x+8，
由题意知：g(x)在区间[a, +∞)上单调递增且g(x)>0，
所以2a−1≤a,g(a)=a2−2a(2a−1)+8>0,
解得a≤1,−43即−43所以a的取值范围是(−43, 1]．
故选B.
二、填空题
【答案】
①③④
【考点】
函数单调性的性质
函数奇偶性的判断
函数的对称性
函数的周期性
【解析】
由偶函数的定义，可判断①的真假；由函数对称性满足的条件，及函数周期性的性质，可以判断②的真假；找出函数y=0，可判断③的真假；由函数的单调性的定义转化求解a的范围，可以判断④的真假，进而得到答案．
【解答】
解：∵ fx的定义域为R，gx=fx+f−x，
∴ g−x=f−x+fx=gx，
故gx是偶函数，故①正确；
∵ 定义域为R的奇函数fx，对于任意的x∈R都有fx+f2−x=0，
则fx=fx−2，它表示函数是一个周期为2的周期函数，其图象不一定是轴对称图形，
故②错误；
函数y=0，函数是奇函数也是偶函数，故③正确；
对④：设x1>x2>−2，则fx1>fx2，
所以fx1−fx2=ax1+1x1+2−ax2+1x2+2=x1−x22a−1x1+2x2+2>0，
则2a−1>0，
所以a>12，故④正确.
故答案为①③④.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=23×23−4+(23)4×(−34)−1
=4−4+278−1=198.
(2)原式=2lg5+2lg2+lg5⋅(lg2+1)+(lg2)2
=2+lg2(lg5+lg2)+lg5
=2+lg2+lg5
=3．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数的运算性质
【解析】
利用指数和对数的性质和运算法则，进行计算．
【解答】
解：(1)原式=23×23−4+(23)4×(−34)−1
=4−4+278−1=198.
(2)原式=2lg5+2lg2+lg5⋅(lg2+1)+(lg2)2
=2+lg2(lg5+lg2)+lg5
=2+lg2+lg5
=3．
【答案】
解：(1)因为全集U=R，
集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}，
所以B={x|−2≤x≤3},
∁UA={x|−4≤x≤1}，
∁UB={x|x<−2或x>3}，
所以A∩B=x|1∁UA∪∁UB={x|x≤1或x>3}．
(2)因为集合M=x|2k−1≤x≤k+1是集合A的子集，
所以①当M=⌀时，2k−1>k+1，解得k>2；
②当M≠⌀时，2k−1≤k+1，k+1<−4或2k−1>1，
解得：k<−5或1综上所述：实数k的取值范围是k<−5或k>1．
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为全集U=R，
集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}，
所以B={x|−2≤x≤3},
∁UA={x|−4≤x≤1}，
∁UB={x|x<−2或x>3}，
所以A∩B=x|1∁UA∪∁UB={x|x≤1或x>3}．
(2)因为集合M=x|2k−1≤x≤k+1是集合A的子集，
所以①当M=⌀时，2k−1>k+1，解得k>2；
②当M≠⌀时，2k−1≤k+1，k+1<−4或2k−1>1，
解得：k<−5或1综上所述：实数k的取值范围是k<−5或k>1．
【答案】
解：(1)当x>0时，−x<0，
∴ f−x=−x2+4⋅−x+3=x2−4x+3，
∴ fx为R上的偶函数，
∴ f−x=fx=x2−4x+3，
∴ fx=x2−4x+3,x>0,x2+4x+3,x≤0.
(2)fx的图象如图，
由图可得fx单调增区间为−2,0和[2,+∞) ．
(3)由(2)中图可得
①当a<−1时，无解；
②a=−1或a>3时，有2个解；
③a=3时，有3个解；
④−1【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数奇偶性的性质
函数的单调性及单调区间
函数的图象
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)当x>0时，−x<0，
∴ f−x=−x2+4⋅−x+3=x2−4x+3，
∴ fx为R上的偶函数，
∴ f−x=fx=x2−4x+3，
∴ fx=x2−4x+3,x>0,x2+4x+3,x≤0.
(2)fx的图象如图，
由图可得fx单调增区间为−2,0和[2,+∞) ．
(3)由(2)中图可得
①当a<−1时，无解；
②a=−1或a>3时，有2个解；
③a=3时，有3个解；
④−1【答案】
解：(1)由已知得fa−fba−b=fa+f−ba+−b>0.
又∵ a>b，∴ a−b>0，
∴ fa−fb>0，
即fa>fb．
(2)∵ fx为奇函数，
∴ fx−c+fx−c2>0等价于fx−c>fc2−x．
又由(1)知fx单调递增，
∴ 不等式等价x−c>c2−x,
即c2+c<2x．
由于任意实数x∈1,2，使得不等式c2+c<2x成立，
∴ c2+c<2．
∴ c的取值范围为−2,1．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知得fa−fba−b=fa+f−ba+−b>0.
又∵ a>b，∴ a−b>0，
∴ fa−fb>0，
即fa>fb．
(2)∵ fx为奇函数，
∴ fx−c+fx−c2>0等价于fx−c>fc2−x．
又由(1)知fx单调递增，
∴ 不等式等价x−c>c2−x,
即c2+c<2x．
由于任意实数x∈1,2，使得不等式c2+c<2x成立，
∴ c2+c<2．
∴ c的取值范围为−2,1．
【答案】
解：(1)将(70, 50)，(80, 40)代入y=kx+b，
70k+b=50,80k+b=40, 解得：k=−1,b=120,
∴ 一次函数y=kx+b的表达式为y=−x+120．
∵ 60×(1+40%)=84（元），
∴ 一次函数y=kx+b的表达式为y=−x+120(60≤x≤84)．
(2)根据题意得：W=(x−60)⋅y=(x−60)(−x+120)
=−x2+180x−7200
=−(x−90)2+900(60≤x≤84)，
∵ −1<0，
∴ 当x=84时，W取最大值，最大值为−(84−90)2+900=864．
答：销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数y＝kx+b的表达式，再结合题意找出x的取值范围即可；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出w关于x的二次函数表达式，利用配方法即可解决最值问题．
【解答】
解：(1)将(70, 50)，(80, 40)代入y=kx+b，
70k+b=50,80k+b=40, 解得：k=−1,b=120,
∴ 一次函数y=kx+b的表达式为y=−x+120．
∵ 60×(1+40%)=84（元），
∴ 一次函数y=kx+b的表达式为y=−x+120(60≤x≤84)．
(2)根据题意得：W=(x−60)⋅y=(x−60)(−x+120)
=−x2+180x−7200
=−(x−90)2+900(60≤x≤84)，
∵ −1<0，
∴ 当x=84时，W取最大值，最大值为−(84−90)2+900=864．
答：销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．
【答案】
解：(1)若f(x)是偶函数，
则有f(−x)=f(x)恒成立，
即：lg2(4−x+1)−mx=lg2(4x+1)+mx．
于是2mx=lg2(4−x+1)−lg2(4x+1)
=lg2(4x+14x)−lg2(4x+1)=−2x，
即2mx=−2x对x∈R恒成立，
故m=−1．
(2)当m>0时，y=lg2(4x+1)在R上单调递增，y=mx在R上也单调递增，
所以f(x)=lg2(4x+1)+mx在R上单调递增，且f(0)=1，
则f8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=1=f(0)可化为：
8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=0.
令t=lg2x，则t∈[0, 32]，
即−2t2+2t−4m+4=0，
画出y=−2t2+2t+4，t∈[0, 32]的图像，如图所示：
根据图象知4≤4m<92，
解得89即m∈89,1.
【考点】
对数函数的图象与性质
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
(Ⅰ)根据f(x)是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；
(Ⅱ)利用对数函数的性质，利用换元法，转化为两个函数的交点问题即可得到结论．
【解答】
解：(1)若f(x)是偶函数，
则有f(−x)=f(x)恒成立，
即：lg2(4−x+1)−mx=lg2(4x+1)+mx．
于是2mx=lg2(4−x+1)−lg2(4x+1)
=lg2(4x+14x)−lg2(4x+1)=−2x，
即2mx=−2x对x∈R恒成立，
故m=−1．
(2)当m>0时，y=lg2(4x+1)在R上单调递增，y=mx在R上也单调递增，
所以f(x)=lg2(4x+1)+mx在R上单调递增，且f(0)=1，
则f8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=1=f(0)可化为：
8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=0.
令t=lg2x，则t∈[0, 32]，
即−2t2+2t−4m+4=0，
画出y=−2t2+2t+4，t∈[0, 32]的图像，如图所示：
根据图象知4≤4m<92，
解得89即m∈89,1.