2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x∈R|0≤x<1，B=−1,0,1，则A∩B=( )
A.−1B.1C.−1,0D.0

2. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x12B.y=2−xC.y=lg12xD.y=1x

3. 设f(x)=1−x,x≥0，2x,x<0，则f(f(−2))=( )
A.−1B.14C.12D.32

4. 已知集合A={a−2, a2+4a, 10}，若−3∈A，则实数a的值为（ ）
A.−3B.−1C.−3或−1D.无解

5. 已知a=1.90.4，b=lg0.41.9，c=0.41.9，则（ ）
A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

6. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2−x，则f(1)=( )
A.−3B.1C.−1D.2

7. 已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．若A∪B=B，则实数a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤1C.a>2D.a≥2

8. 函数fx=xlg|x|的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.

9. 计算lg2−lg15−eln2−14−12+−22的值为（ ）
A.−1B.−5C.32D.−52

10. 函数fx=x2+ln|x|+1，则使得fx>fx−1成立的x的取值范围（ ）
A.12,+∞B.1,+∞C.−12,12D.R

11. 已知函数fx=lnx+ln4−x，则（ ）
A.fx在0,2上单调递减B.fx在0,2上单调递增
C.fx图像关于原点对称D.fx图像关于y轴对称

12. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数 y=f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对 [P,Q] 是函数 y=f(x)的一对“友好点对”，（点对 [P,Q] 与[Q,P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f(x)=lgax(x>0),|x+3|(−4≤x<0) (a>0且a≠1)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(14,1)C.(0,14)D.(14,1)∪(1,+∞)
二、填空题

已知函数fx=x2−mx−4，若对任意的x∈m,2，都有fx<0成立，则实数m的取值范围是________.
三、解答题

已知函数fx=x2−2bx−1b∈R.
(1)当b=1时，求函数fx的值域；

(2)若函数fx在x∈[2,+∞）上单调递增，求实数b的取值范围．

已知函数fx=lgx−2的定义域为A，函数gx=2x0≤x≤1的值域为B．
(1)求集合A∪B；

(2)若C=x|a≤x≤2a−1，且C⊆B，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=lga(x+1)−lga(1−x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；

(2)求使f(x)>0的x的解集．

函数gx=ax2−2ax+1+ba>0在区间2,3上有最大值5，最小值2，设fx=gxxx≠0.
(1)求 a,b的值；

(2)不等式f2x−k⋅2x≥0在x∈−1,0上恒成立，求实数k的取值范围．

在2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时；当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数，且当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0.
(1)当20≤x≤220时，求函数vx的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时） fx=x⋅vx可以达到最大？并求出最大值．

已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)=|x+4x−5|.
(1)判定函数g(x)=x+4x在(2, +∞)的单调性，并用定义证明；

(2)设方程f(x)=m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．
①求乘积x1⋅x2⋅x3⋅x4的值；
②在[1, 4]是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a, b]单调，且f(x)的取值范围为[ma, mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ A=x∈R|0≤x<1，B=−1,0,1，
∴ A∩B=0.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，要求函数在(0,+∞)上为增函数，
A：y=x12=x在(0,+∞)为增函数；
B:y=2−x=12x在(0,+∞)为减函数；
C：y=lg12x底数为12，在(0,+∞)为减函数；
D:y=1x在(0,+∞)为减函数.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f(−2)=2−2=14，
所以f(f(−2))=f14=1−14=1−12=12．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
由于−3∈A则a−2=−3或a2+4a=−3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．
【解答】
解：∵ −3∈A，
∴ −3=a−2或−3=a2+4a
∴ a=−1或a=−3，
∴ 当a=−1时，a−2=−3，a2+4a=−3，不符合集合中元素的互异性，故a=−1应舍去；
当a=−3时，a−2=−5，a2+4a=−3，满足.
∴ a=−3．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
指数函数单调性的应用
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
解：a=1.90.4>1.90=1，
b=lg0.41.90∴ a>c>b．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
将x≤0的解析式中的x用−1代替，求出f(−1)；利用奇函数的定义得到f(−1)与f(1)的关系，求出f(1)．
【解答】
解：∵ f(−1)=2+1=3，f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ f(−1)=−f(1)，
∴ f(1)=−3.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．
【解答】
解：因为A∪B=B，所以A⊆B，
由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．
所以a≤1．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
先判断函数f(x)=xlg|x|为奇函数，排除选项A,C，再根据f(12)<0，排除B,即可得解.


【解答】
解：∵ f(x)=xlg|x|，函数的定义域x|x≠0，
∴ f(−x)=−xlg|−x|=−xlgx=−fx，
∴ 函数f(x)=xlg|x|为奇函数，故排除选项A,C.
又∵ f(12)=12lg12<0,故排除B.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
对数及其运算
【解析】
利用指数，对数的性质和运算法则求解．
【解答】
解：原式=lg2+lg5−2−2+2
=lg10−2
=1−2=−1．
故选A.
10.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
【解析】
本题主要通过偶函数的单调性然后等到未知数的方程，然后通过两边取平方除去绝对值，最终求出结果即可
【解答】
解：函数fx=x2+ln|x|+1，
f−x=−x2+ln|−x|+1=x2+ln|x|+1=fx，
所以fx为定义域为R的偶函数，
当x≥0时，y=x2与y=ln|x|+1均单调递增，
所以fx=x2+ln|x|+1在x≥0时单调递增，
所以fx>fx−1等价为f|x|>f|x−1|，
即|x|>|x−1|，
两边平方得x2>x−12，
即2x>1⇒x>12.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
复合函数的单调性
对数的运算性质
【解析】
将函数fx化为f(x)=ln4−x−22，利用复合函数的单调性的判断方法可得答案.
【解答】
解： fx=lnx+ln4−x=lnx4−x
=ln4−x−22,x∈0,4．
设z=4−x−22，x∈(0,4)，
由于z=4−x−22在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减，
y=lnz在（0，+∞）上单调递增．
∴ f(x)在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减.
故B正确．
12.
【答案】
D
【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数新定义问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意可以画出分段函数的图象，如图：
当0所以要使函数的“友好点对”有且只有一对，
则当x=4时，lga4<−1，
解得：a>14，
所以a∈(14,1)；
当a>1时，即图中C1，
则函数的“友好点对”有且只有一对，
综上所述，a的取值范围是(14,1)∪(1,+∞).
故选D.
二、填空题
【答案】
(0,2)
【考点】
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，f(m)=−4<0,f(2)=−2m<0,，
解得m>0，且m<2，
∴0故答案为：(0,2).
三、解答题
【答案】
解：(1)当b=1时，fx=x2−2x−1=x−12−2，
所以fxmin=f1=−2，
所以函数fx的值域为[−2,+∞).
2由题意可得函数fx的对称轴为x=−−2b2×1=b，
因为fx在x∈[2,+∞)上单调递增，
所以b≤2，
所以b的取值范围为(−∞,2].
【考点】
函数的值域及其求法
二次函数的性质
【解析】
1利用二次函数的进行配方求最小值即可得；
2利用二次函数的性质和函数的对称轴进行求解即可得.
【解答】
解：(1)当b=1时，fx=x2−2x−1=x−12−2，
所以fxmin=f1=−2，
所以函数fx的值域为[−2,+∞).
2由题意可得函数fx的对称轴为x=−−2b2×1=b，
因为fx在x∈[2,+∞)上单调递增，
所以b≤2，
所以b的取值范围为(−∞,2].
【答案】
解：(1)由题意得：A=x|x>2，B=y|1≤y≤2，
所以A∪B=x|x≥1.
(2)由(1)知：B=y|1≤y≤2，
又C⊆B，
①当C=⌀时，2a−1②当C≠⌀时，2a−1≥a即a≥1时，要使C⊆B；
则a≥1,2a−1≤2,
解得1≤a≤32，
综上，a∈−∞,32.
【考点】
并集及其运算
对数函数的定义域
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
无

【解答】
解：(1)由题意得：A=x|x>2，B=y|1≤y≤2，
所以A∪B=x|x≥1.
(2)由(1)知：B=y|1≤y≤2，
又C⊆B，
①当C=⌀时，2a−1②当C≠⌀时，2a−1≥a即a≥1时，要使C⊆B；
则a≥1,2a−1≤2,
解得1≤a≤32，
综上，a∈−∞,32.
【答案】
解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x>0且1−x>0，
解得−1∴ f(x)的定义域为(−1, 1)．
(2)由f(x)>0，得lga(x+1)>lga(1−x)，
当a>1时，
∵ y=lgax为增函数，
∴ x+1>1−x>0，
解得：0当0∵ y=lgax为减函数，
∴ 0综上可知，当a>1时，x的取值范围为(0, 1)；
当0【考点】
对数函数的定义域
对数函数的图象与性质
【解析】
（1）根据对数的真数大于0，可得x的范围，即定义域；
（2）利用定义即可判断奇偶性；
（3）运用对数的运算法则化简，对底数a讨论，求解f(x)>0的x的取值范围即可，注意考虑定义域范围．
【解答】
解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x>0且1−x>0，
解得−1∴ f(x)的定义域为(−1, 1)．
(2)由f(x)>0，得lga(x+1)>lga(1−x)，
当a>1时，
∵ y=lgax为增函数，
∴ x+1>1−x>0，
解得：0当0∵ y=lgax为减函数，
∴ 0综上可知，当a>1时，x的取值范围为(0, 1)；
当0【答案】
解：(1)gx=ax−12+1+b−a(a>0)，
可得gx在2,3上为增函数，
故g3=5，g2=2⇒3a+1+b=5，1+b=2⇒a=1，b=1.
(2)gx=x2−2x+2，fx=x+2x−2，
不等式f2x−k⋅2x≥0化为2x+22x−2≥k⋅2x，
即1+2⋅12x2−2⋅12x≥k.
令12x=t，则k≤2t2−2t+1，
∵ x∈[−1,0]，∴ 2x∈12,1，∴ t∈1,2.
记φt=2t2−2t+1，
∴ φtmin=1，∴ k≤1．
【考点】
函数的单调性及单调区间
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)gx=ax−12+1+b−a(a>0)，
可得gx在2,3上为增函数，
故g3=5，g2=2⇒3a+1+b=5，1+b=2⇒a=1，b=1.
(2)gx=x2−2x+2，fx=x+2x−2，
不等式f2x−k⋅2x≥0化为2x+22x−2≥k⋅2x，
即1+2⋅12x2−2⋅12x≥k.
令12x=t，则k≤2t2−2t+1，
∵ x∈[−1,0]，∴ 2x∈12,1，∴ t∈1,2.
记φt=2t2−2t+1，
∴ φtmin=1，∴ k≤1．
【答案】
解：(1)由题意，当0≤x≤20时，
v(x)=100，
当20≤x≤220时，
设v(x)=ax+b，
则20a+b=100,220a+b=0,
解得：a=−12，b=110，
∴ 当20≤x≤220时，v(x)=−12x+110.
(2)由题意，f(x)=100x,0≤x<20,−12x2+110x,20≤x≤220,
当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)=2000，
当20≤x≤220时，
f(x)=−12(x−110)2+6050，
当x=110时，f(x)的最大值为f(110)=6050，
∴当车流密度为110辆/千米时，
车流量最大，最大值为6050辆/时．
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)由题意，当0≤x≤20时，
v(x)=100，
当20≤x≤220时，
设v(x)=ax+b，
则20a+b=100,220a+b=0,
解得：a=−12，b=110，
∴ 当20≤x≤220时，v(x)=−12x+110.
(2)由题意，f(x)=100x,0≤x<20,−12x2+110x,20≤x≤220,
当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)=2000，
当20≤x≤220时，
f(x)=−12(x−110)2+6050，
当x=110时，f(x)的最大值为f(110)=6050，
∴当车流密度为110辆/千米时，
车流量最大，最大值为6050辆/时．
【答案】
解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，
证明：任取x1，x2∈(2, +∞)，且x1∵ g(x1)−g(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)
=(x1−x2)+(4x1−4x2)
=(x1−x2)+4(x2−x1x1x2)
=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2，
其中x1−x2<0，x1x2>0，x1x2−4>0，
∴ g(x1)−g(x2)<0，
∴ g(x1)∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.
(2)①|(x+4x)−5|=m⇒(x+4x)−5=m或(x+4x)−5=−m,
即x2−(m+5)x+4=0或m2+(m−5)x+4=0,
∵ x1，x2，x3，x4为方程f(x)=m的四个不相等的实根，
∴ 由根与系数的关系得x1⋅x2⋅x3⋅x4=4×4=16.
②如图，可知0(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，
则f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx，m=−4x2+5x−1在x∈[1, 2]有两个不等实根，
而令1x=t∈[12,1]，则−4x2+5x−1=φ(t)=−4(t−58)2+916，
作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m<916，
(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减，
则f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a−b)(a+b−5)=0，
∴ a+b=5，∴ b=5−a>a，
∴ 2≤a<52，
由−a−4a+5=mb，
得m=5−a−4a5−a=1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，
∴ m∈[13,925)；
综上，m的取值范围为[13,925)∪[12,916)．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）由题意得：g(x)在[2, +∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明．
（2）有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案．
【解答】
解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，
证明：任取x1，x2∈(2, +∞)，且x1∵ g(x1)−g(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)
=(x1−x2)+(4x1−4x2)
=(x1−x2)+4(x2−x1x1x2)
=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2，
其中x1−x2<0，x1x2>0，x1x2−4>0，
∴ g(x1)−g(x2)<0，
∴ g(x1)∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.
(2)①|(x+4x)−5|=m⇒(x+4x)−5=m或(x+4x)−5=−m,
即x2−(m+5)x+4=0或m2+(m−5)x+4=0,
∵ x1，x2，x3，x4为方程f(x)=m的四个不相等的实根，
∴ 由根与系数的关系得x1⋅x2⋅x3⋅x4=4×4=16.
②如图，可知0(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，
则f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx，m=−4x2+5x−1在x∈[1, 2]有两个不等实根，
而令1x=t∈[12,1]，则−4x2+5x−1=φ(t)=−4(t−58)2+916，
作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m<916，
(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减，
则f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a−b)(a+b−5)=0，
∴ a+b=5，∴ b=5−a>a，
∴ 2≤a<52，
由−a−4a+5=mb，
得m=5−a−4a5−a=1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，
∴ m∈[13,925)；
综上，m的取值范围为[13,925)∪[12,916)．