2020-2021学年江西省上饶市高一（上）分科考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（上）分科考试数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|1−xx>0，集合B=x|lg2x−1<0，则A∩B=( )
A.0,12B.12,1C.(0,1]D.12,+∞

2. 已知点A1,−3，B−1,3，则直线AB的倾斜角为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

3. 已知两条直线l， m和一个平面α，下列说法正确的是（ ）
A.若l//α，m//α， 则l//mB.若l⊥m，l⊥α，则m//α
C.若l⊥m ，m//α， 则l⊥αD.若l⊥α ，m//α，则l⊥m

4. 若直线l1:ax+2y+a+3=0与l2：:x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为（ ）
A.1B.−2C.1或−2D.−1或2

5. 不等式x2−2x+4≤a2−2a的解集为⌀，则实数a的取值范围为( )
A.−3,1B.−1,3C.−1,3D.−3,1

6. 已知f(x)=2x(x≥4),f(x+1)(x<4),则f(lg23)的值为（ ）
A.24B.3C.6D.12

7. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB， CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

8. 设定义在R上的奇函数fx满足，对任意x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2都有fx1−fx2x1−x2<0，且f2=0, 则不等式2019f−x−2020fxx≤0的解集为( )
A.−2,0∪0,2B.[−2,0]∪[2,+∞）
C.(−∞,−2]∪(0,2]D.−∞,−2∪2,+∞

9. 已知点A2,−3，B−3,−2，直线l方程为kx+y−k−1=0 ，且与线段AB没有交点，则实数k的取值范围为（ ）
A.k>34或k<−4B.k>34或k<−14C.−34
10. 已知函数fx是定义在R上的减函数，且对于任意实数x，均有ffx+2x=2，设gx=x2+x, x≤a，fx, x>a，若gx在其定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.(−∞,−2]∪[−1,−12]B.−∞,−2∪−1,+∞
C.−2,−12D.(−∞,−12]

11. 在四面体P−ABC中，三角形ABC为等边三角形，边长为3，PA=3，PB=4，PC=5，则四面体P−ABC外接球表面积为( )
A.324π11B.25πC.80π9D.12π

12. 已知函数f(x)=ex−a+e−x+a，若3a=lg3b=c，则（ ）
A.f(a)二、填空题

当点A4,7到直线l:x+my−3m=0的距离最大时m的值为________.
三、解答题

设全集U=R，集合A=x|2≤x<4，B=x|23x−7≥122x−8.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；

(2)若集合C=x|2x+a>0，且B∪C=C，求a的取值范围．

已知三角形ABC的顶点坐标为A−1,5，B−2,−1，C4,3.
(1)求AB边上的高线所在的直线方程；

(2)求AB边所在的直线方程和三角形ABC的面积．

如图所示，在四棱锥E−ABCD中，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE的中点．

(1)证明：AE // 平面BDF；

(2)若点P为线段AE的中点，求证：BE⊥平面PCD．

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x+2)−f(x)=−4x，且方程f(x)=6x有两个相等的实根．
(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[2, 4]，f(x)−2mx>0恒成立，求实数m的范围．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上， PA//平面EBD．

(1)证明：点E为线段PC中点；

(2)已知PA⊥平面ABCD， ∠ABC=60∘，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥P−ABCD的体积为23，求PA．

已知函数f(x)=lga(x+1+x2)(x∈R，a>0，a≠1)．
(1)判断f(x)奇偶性；

(2)若g(x)图象与曲线y=f(x)(x≥34)关于y=x对称，求g(x)的解析式及定义域；

(3)若g(x)<5m−5−m2对于任意的m∈N∗恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）分科考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
对数与对数运算
【解析】
由集合交集的运算得：A=(0, 1]，B=(12,1)，所以A∩B=(12, 1），得解．
【解答】
解：解1−xx>0得：0解0<2x−1<1得：12所以A∩B=(12, 1).
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
利用两点斜率公式得到tanα=−3，即可求出角的范围.
【解答】
解：点A1,−3，B−1,3，
则直线AB的斜率为：k=3+3−1−1=−3.
设直线AB的倾斜角为α，
则tanα=−3，
∴ α=120∘.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
利用线面垂直的判定定理和性质定理、线面平行的性质定理对选项分别分析选择．
【解答】
解：对于A，若l//α，m//α，则l与m平行、相交或者异面，故A错误；
对于B，若l⊥m，l⊥α，则m//α或m⊂α，故B错误；
对于C，若l⊥m ，m//α，则l与α可能平行，故C错误；
对于D，若l⊥α ，m//α，则l⊥m，故D正确.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用直线与直线平行的性质求解．
【解答】
解：∵ 直线l1:ax+2y+a+3=0，l2:x+(a+1)y+4=0，l1 // l2，
∴ a1=2a+1≠a+34，
解得a=1或a=−2．
∵ 当a=1时，两直线重合，
∴ a≠1，
∴ a=−2．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
不等式恒成立的问题
【解析】
由题可知x2−2x+4>a2−2a恒成立，再求解函数y=x2−2x+4的最小值即可．
【解答】
解：因为不等式x2−2x+4≤a2−2a的解集为⌀，
故x2−2x+4>a2−2a恒成立，
又y=x2−2x+4=x−12+3≥3，
故3>a2−2a，
即a−3a+1<0，
解得a∈−1,3.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
函数的求值
【解析】
由对数函数的性质判断：1【解答】
解：∵ 1∵ f(x)=2x(x≥4),f(x+1)(x<4),
∴ f(lg23)=f(3+lg23)=23+lg23=24.
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将EA1平移到GB1，连接FB1，如图所示，
则∠FGB1就是异面直线所成的角．
因为FB1=5，GB1=2，
FG=CG2+CF2=1+1+1=3 ，
FB12=FG2+GB12，
所以∠FGB1=90∘．
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由题意可得，函数的图象关于原点对称，函数在（0，+∞）上是减函数，函数在−∞,0上也是减函数，由不等式2019f−x−2020fxx≤0可得fxx≥0，再由f2=−f−2，数形结合可得不等式的解集.
【解答】
解：对于任意x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−x2x1−x2<0，
故函数f(x)在0,+∞上是减函数，
因为函数f(x)为奇函数，故函数f(x)在−∞,0上也是减函数.
由f2=0可得f−2=0.
不等式2019f−x−2020fxx≤0，
即 −4039fxx≤0，
则有fxx≥0，
故0故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
直线l过定点P1,1，且与线段AB没有公共点，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出k的取值范围．
【解答】
解：直线l的方程kx+y−k−1=0可化为kx−1+y−1=0，
直线l过定点P1,1，且直线l的斜率为−k.
如图所示：
则直线PA的斜率是kPA=−3−12−1=−4，
直线PB的斜率是kPB=−2−1−3−1=34，
若直线l与线段AB没有交点，
则−4<−k<34，
所以k的取值范围是 −34故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质
分段函数的应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
利用换元法令fx+2x=m​，由此可得fm=2​，fm+2m=m​，计算可得m的值，从而求得函数f(x)的解析式，和gx的函数解析式，根据分段函数的性质及单调性即可求得a的取值范围．
【解答】
解：函数fx是定义在R上的减函数，且对于任意实数x，
均有ffx+2x=2.
令fx+2x=m，
则fm=2，即fm+2m=m，
所以2+2m=m，解得m=−2，
所以fx=−2x−2，
所以gx=x2+x,x≤a,−2x−2,x>a.
又因为gx在其定义域上是单调函数，
所以gx在R上为减函数，
所以−12≥a,a2+a≥−2a−2,
解得a≤−2或−1≤a≤−12．
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
先取PC中点D，连接AD，BD，结合图形与题中条件，勾股定理及线面垂直的判定定理证明得△PBC与△ABD是直角三角形，从而得出AD⊥平面PBC，得出点O必在线段AD的延长线上，再由边的关系求解得球的半径，代入球的表面积公式后即可得解.
【解答】
解：取PC中点D，连接AD，BD，如图所示：
因为△ABC的边长为3，PA=3,PB=4,PC=5，
所以PB2+BC2=42+32=52=PC2，
所以PB⊥BC，
则△PBC为直角三角形，
所以BD=CD=PD=12PC=52.
因为AC=PA=3，点D为PC中点，
所以AD⊥PC，
AD=AC2−CD2=32−522=112.
因为AC=AB=3,BD=CD=52，
所以AD2+BD2=AB2，
则△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
因为BD∩PC=D，BD⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以AD⊥平面PBC.
设四面体P−ABC的外接球圆心为点O，
因为BD=CD=PD，AD⊥平面PBC，
AD=112<52=CD，
所以点O必在线段AD的延长线上，
设球O的半径为R，则OD=R−AD=R−112，
因为OC2=R2=CD2+OD2，整理得11R=9，
解得R=91111，
所以四面体P−ABC的外接球表面积为4πR2=324π11.
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意可得b>c>a，再根据函数f(x)＝ex−a+1ex−a在(a, +∞)上单调递增，可得f(a)、f(c)、f(b)的大小关系．
【解答】
解：函数f(x)=ex−a+e−x+a=ex−a+1ex−a，
根据3a=lg3b=c，可得a=lg3c，b=3c，可得b>c>a．
又函数f(x)=ex−a+e−x+a=ex−a+1ex−a在(a, +∞)上单调递增，
故有f(a)故选C.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线恒过定点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线l的方程可以表示为x+m(y−3)=0，
令x=0,y−3=0,
解得y=3，
所以直线l经过顶点A(0,3)，
设P4,7，
当点P4,7到直线l:x+my−3m=0的距离最大时，直线PA和直线l垂直，
所以kPA⋅kl=3−70−4⋅−1m=−1，
解得m=1.
故答案为：1.
三、解答题
【答案】
解：(1)全集U=R，集合A={2≤x<4}，B=x|23x−7≥122x−8.
由23x−7≥122x−8得3x−7≥8−2x，
∴ x≥3，从而B={x|x≥3}，
∴ A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x≥2}，
(∁UA)∩B={x|x<2或x≥4}∩{x|x≥3}={x≥4} .
(2)集合C={x|2x+a>0}，化简得C={x|x>−a2}，
∵ B∪C=C，∴ B⊆C，
从而−a2<3，解得a>−6 .
∴ a的取值范围是(−6,+∞) .
【考点】
并集及其运算
交、并、补集的混合运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】

【解答】
解：(1)全集U=R，集合A={2≤x<4}，B=x|23x−7≥122x−8.
由23x−7≥122x−8得3x−7≥8−2x，
∴ x≥3，从而B={x|x≥3}，
∴ A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x≥2}，
(∁UA)∩B={x|x<2或x≥4}∩{x|x≥3}={x≥4} .
(2)集合C={x|2x+a>0}，化简得C={x|x>−a2}，
∵ B∪C=C，∴ B⊆C，
从而−a2<3，解得a>−6 .
∴ a的取值范围是(−6,+∞) .
【答案】
解：(1)由题意可得kAB=−1−5−2−−1=−6−1=6，
∴AB边高线斜率k=−16,
∴AB边上的高线的方程为y−3=−16x−4，
化为一般式可得x+6y−22=0.
(2)由(1)知直线AB的方程为y−5=6x+1，
即6x−y+11=0，
∴点 C到直线AB 的距离：
d=|24−3+11|36+1=3237=323737，
又∵ AB=(−1+2)2+(5+1)2=37 ，
∴ 三角形ABC的面积S=12|AB|⋅d=12×37×323737=16.
【考点】
斜率的计算公式
直线的点斜式方程
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得kAB=−1−5−2−−1=−6−1=6，
∴AB边高线斜率k=−16,
∴AB边上的高线的方程为y−3=−16x−4，
化为一般式可得x+6y−22=0.
(2)由(1)知直线AB的方程为y−5=6x+1，
即6x−y+11=0，
∴点 C到直线AB 的距离：
d=|24−3+11|36+1=3237=323737，
又∵ AB=(−1+2)2+(5+1)2=37 ，
∴ 三角形ABC的面积S=12|AB|⋅d=12×37×323737=16.
【答案】
证明：(1)连结AC，交BD于O，连结OF，如图.
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ O是AC中点.
∵ 点F为CE的中点，∴ AE // OF.
∵ OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，
∴ AE // 平面BDF．
(2)取BE中点G，连结CG，PG，如图，
∵ 四边形ABCD为矩形，点P为线段AE的中点，∴ PG // AB // CD，
∴ 平面PCD与平面PGCD是同一个平面.
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AB⊥BC.
∵ 平面ABCD⊥平面BCE，∴ AB⊥平面BCE.
∵ PG // AB，∴ PG⊥平面BCE，∴ PG⊥BE.
∵ BC=CE，点G为BE的中点，∴ CG⊥BE.
∵ PG∩CG=G，∴ BE⊥平面PCD．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
（1）连结AC，交BD于O，连结OF，推导出AE // OF，由此能证明AE // 平面BDF．
（2）取BE中点G，连结CG、PG，则PG // AB // CD，由AB⊥BC，得AB⊥平面BCE，从而PG⊥平面BCE，进而PG⊥BE，再由BC＝CE，点F为CE的中点，得CG⊥BE，由此能证明BE⊥平面PCD．
【解答】
证明：(1)连结AC，交BD于O，连结OF，如图.
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ O是AC中点.
∵ 点F为CE的中点，∴ AE // OF.
∵ OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，
∴ AE // 平面BDF．
(2)取BE中点G，连结CG，PG，如图，
∵ 四边形ABCD为矩形，点P为线段AE的中点，∴ PG // AB // CD，
∴ 平面PCD与平面PGCD是同一个平面.
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AB⊥BC.
∵ 平面ABCD⊥平面BCE，∴ AB⊥平面BCE.
∵ PG // AB，∴ PG⊥平面BCE，∴ PG⊥BE.
∵ BC=CE，点G为BE的中点，∴ CG⊥BE.
∵ PG∩CG=G，∴ BE⊥平面PCD．
【答案】
解：(1)∵ f(x)=ax2+bx+c，
∴ f(x+2)−f(x)
=a(x+2)2+b(x+2)+c−ax2−bx−c
=4ax+4a+2b
=−4x，
∴ 4a=−4，4a+2b=0，解得：a=−1，b=2，
又f(x)=6x有等根，
即x2+4x−c=0有等根，
∴ Δ=16+4c=0，解得：c=−4，
∴ f(x)=−x2+2x−4.
(2)由(1)得f(x)=−x2+2x−4，对于任意的x∈[2, 4]，f(x)−2mx>0恒成立，
代入化简得：2m<−x2+2x−4x=−x−4x+2，
设g(x)=−x−4x+2，x∈[2, 4]函数递减，g(x)的最小值为g(4)=−3，
则由2mm<−32．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数恒成立问题
【解析】
（1）代入联立解方程组即可；
（2）参数分离法，分离出2m，恒成立问题，求出g(x)最小值即可．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=ax2+bx+c，
∴ f(x+2)−f(x)
=a(x+2)2+b(x+2)+c−ax2−bx−c
=4ax+4a+2b
=−4x，
∴ 4a=−4，4a+2b=0，解得：a=−1，b=2，
又f(x)=6x有等根，
即x2+4x−c=0有等根，
∴ Δ=16+4c=0，解得：c=−4，
∴ f(x)=−x2+2x−4.
(2)由(1)得f(x)=−x2+2x−4，对于任意的x∈[2, 4]，f(x)−2mx>0恒成立，
代入化简得：2m<−x2+2x−4x=−x−4x+2，
设g(x)=−x−4x+2，x∈[2, 4]函数递减，g(x)的最小值为g(4)=−3，
则由2mm<−32．
【答案】
(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，如图，
∵PA//平面EBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBD=OE，
∴PA//OE.
∵底面ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∴E是PC的中点．
(2)解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OA.
由(1)可知PA//OE，∴OA⊥OE.
又四边形ABCD是菱形，∴OA⊥BD，
∴OA⊥平面EBD.
∵PA//平面EBD，故P到平面EBD的距离等于A到平面EBD的距离，即OA=1.
又∠ABC=60∘，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，故AB=BC=AC=2，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×34×22=23，
∴VP−ABCD=13×23×PA=23，∴PA=3.
【考点】
直线与平面平行的性质
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，如图，
∵PA//平面EBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBD=OE，
∴PA//OE.
∵底面ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∴E是PC的中点．
(2)解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OA.
由(1)可知PA//OE，∴OA⊥OE.
又四边形ABCD是菱形，∴OA⊥BD，
∴OA⊥平面EBD.
∵PA//平面EBD，故P到平面EBD的距离等于A到平面EBD的距离，即OA=1.
又∠ABC=60∘，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，故AB=BC=AC=2，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×34×22=23，
∴VP−ABCD=13×23×PA=23，∴PA=3.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=lga(x+1+x2)，
∴ f(−x)=lga[−x+1+(−x)2]=lga(−x+1+x2)，
可得f(x)+f(−x)=lga[(x+1+x2)(−x+1+x2)]
=lga(1+x2−x2)=lga1=0，
∴ f(−x)=−f(x).
∵ f(x)的定义域为R，
∴ 函数f(x)是奇函数.
(2)∵ f(x)=lga(x+1+x2)，
g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，
∴ 函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，
令x=lga(y+1+y2)，得y+1+y2=ax，
得(ax−y)2=1+y2，
∴ 2yax=a2x−1，得y=a2x−12ax，
因此g(x)的解析式为g(x)=12(ax−a−x).
∵ f(x)的定义域为{x|x≥34}，
∴ 解不等式12(ax−a−x)≥34，得ax≥2，
当a>1时，g(x)的定义域为[lga2, +∞)；
当0(3)由(2)得g(x)=12(ax−a−x)，
当0当a>1时，需所有正整数在定义域中，故lga2≤1，得a≥2.
∵ g(x)=12(ax−a−x)在其定义域内是增函数，
∴ 由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，
所求a的取值范围是2≤a<5.
【考点】
函数奇偶性的判断
对数函数图象与性质的综合应用
函数的定义域及其求法
反函数
不等式恒成立问题
【解析】
（1）根据对数的运算性质，化简得f(x)+f(−x)=0，可得f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)是奇函数；
（2）由题意，函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，将f(x)的x、y互换，解出用x表示y的式子，即可得到g(x)的解析式．再结合a的范围加以讨论，即可得到函数g(x)的定义域；
（3）根据a的范围加以讨论，并结合函数g(x)的单调性，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=lga(x+1+x2)，
∴ f(−x)=lga[−x+1+(−x)2]=lga(−x+1+x2)，
可得f(x)+f(−x)=lga[(x+1+x2)(−x+1+x2)]
=lga(1+x2−x2)=lga1=0，
∴ f(−x)=−f(x).
∵ f(x)的定义域为R，
∴ 函数f(x)是奇函数.
(2)∵ f(x)=lga(x+1+x2)，
g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，
∴ 函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，
令x=lga(y+1+y2)，得y+1+y2=ax，
得(ax−y)2=1+y2，
∴ 2yax=a2x−1，得y=a2x−12ax，
因此g(x)的解析式为g(x)=12(ax−a−x).
∵ f(x)的定义域为{x|x≥34}，
∴ 解不等式12(ax−a−x)≥34，得ax≥2，
当a>1时，g(x)的定义域为[lga2, +∞)；
当0(3)由(2)得g(x)=12(ax−a−x)，
当0当a>1时，需所有正整数在定义域中，故lga2≤1，得a≥2.
∵ g(x)=12(ax−a−x)在其定义域内是增函数，
∴ 由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，
所求a的取值范围是2≤a<5.