2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期末考试数学（理）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期末考试数学（理）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合A=x|−1A.x|−1
2. 已知函数fx=lg2x,x>0,3x, x≤0,则f[f(1)]=( )
A.0B.13C.1D.3

3. 函数y=2−x+lgx−1的定义域是( )
A.(0,2]B.(1,2]C.(1,+∞)D.1,2

4. 过点−1,−3且平行于直线x−2y+1=0的直线方程为（）
A.x−2y+7=0B.2x+y−1=0C.x−2y−5=0D.2x+y−5=0

5. 若函数fx=x2+2ax+5在区间[1,+∞）是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[−1,+∞)B.(−∞,−1]C.[1,+∞)D.(−∞,1]

6. 函数fx=3x−lnx+1的零点所在区间是( )
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

7. 设a=3−0.2，b=lg30.2，c=lg23，则（）
A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

8. 已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是( )
A.若l//m,m⫋α，则l//αB.若l⊥α，m⫋α，则l⊥m
C.若l//α ，m⫋α，则l//mD.若l⊥m,l⊥α，则m//α

9. 当a>1时，函数y=ax与函数y=a−1x2+x在同一坐标系内的图象可能是（）
A.B.
C.D.

10. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )

A.12+23B.12+3C.18+23D.18+3

11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−1,−4，若将军从点A−1,2处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A.13B.17C.217D.10

12. 已知函数 fx=x+12, x≤0,|lg2x|, x>0, 若方程fx=a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4且x1A.4,5B.(4,5]C.4,+∞D.[4,+∞)
二、填空题

点A，B，C，D在同一个球的球面上， AB=BC=AC=3，若四面体ABCD体积的最大值为32，则这个球的表面积为________.
三、解答题

已知全集U=R，集合A={x|22}，C=x|a−6≤x<2a−1,a∈R.
(1)求A∩B；

(2)若∁U(A∪B)⊆C，求实数a的取值范围．

已知点A1,0，直线l：x−2y−2=0.
(1)求直线l1：2x−y+2=0与直线l的交点坐标；

(2)求过点A，且与直线l垂直的直线方程．

已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1）的图象过点3,127.
(1)求函数fx的解析式；

(2)设函数g(x)=f(x−1)−1,x∈[−1,+∞），求函数gx的值域．

已知二次函数fx满足fx+1−fx=4x+5，且fx的图象经过点A1,−13.
(1)求fx的解析式；

(2)若对任意m∈−2,3，不等式fx≤mx恒成立，求实数x的取值范围．

如图，圆柱的轴截面ABCD是长方形，点E是底面圆周上异于A，B的一点， AF⊥DE，F是垂足．

(1)证明： AF⊥DB；

(2)若AB=2,AD=3，当三棱锥D−ABE体积最大时，求点C到平面BDE的距离．

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．为降低疫情影响．某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x千件，需另投入成本为Cx （万元），当年产量不足80千件时， Cx=12x2+10x （万元）．当年产量不小于80千件时， Cx=52x+20000x+2−600（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润Lx（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
运用结合并集运算法则运算即可求解。
【解答】
解：∵ 集合 A=x|−1∴A∪B={x|−1故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
先求出f(1)=lg21=0，再求f[f(1)]求解即可.
【解答】
解：∵ fx=lg2x,x>0,3x, x≤0,
∴ f(1)=lg21=0，
∴ f[f(1)]=f(0)=30=1.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
要根据使函数有意义的概念来解题.
【解答】
解：要使函数有意义，2−x≥0且x−1>0，
解得：1故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线的点斜式方程
【解析】
先求与直线x−2y+1=0平行的直线的斜率，再根据其过点(−1, −3)，用点斜式求直线方程．
【解答】
解：∵ 直线x−2y+1=0的斜率k=12，
∴ 所求直线斜率k′=12．
故过点(−1, −3)且与已知直线平行的直线为y+3=12(x+1)，
即x−2y−5=0．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
利用二次函数的单调性得解.
【解答】
解：f(x)=x2+2ax+5=x+a2+5−a2，
所以对称轴为x=−a，函数图象开口向上，在[−a,+∞)上单调递增，
由题设得−a≤1，
解得a≥−1.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
利用对数的运算判定零点所在的区间.
【解答】
解：f1=3−ln2>0，
f2=32−ln3，又ln3≈1.1，所以f2>0，
f3=1−ln4<0，
所以f(2)⋅f(3)<0，
故零点在2,3上.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
根据对数函数的单调性即可得出lg30.2<0， lg23>1，并得出0<3−0.2<1，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵ 0<3−0.2<1， lg30.2lg22=1，
∴ c>a>b.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，若l//m,m⫋α，则l//α或l⫋α，故A错误；
对于B，若l⊥α，m⫋α，则l⊥m，故B正确；
对于C，若l//α ，m⫋α，则l与m可能平行也可能异面，故C错误；
对于D，若l⊥m,l⊥α，则m//α或m⫋α，故D错误.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
对数函数的图象与性质
【解析】
利用指数函数单调性，和二次函数的开口方向和对称轴的位置，从而得出答案．
【解答】
解：∵ a>1，
∴ 指数函数y=ax是增函数，排除AB，
二次函数y=a−1x2+x开口向上，对称轴为x=−12a−1<0，排除C.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
由三视图得原几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱，可得表面积.
【解答】
解：由三视图得原几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱，
S=34×22×2+3×2×3=18+23.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
两点间的距离公式
与直线关于点、直线对称的直线方程
中点坐标公式
【解析】
利用点关于直线的对称点解得A′1,4，再利用两点间距离公式得解.
【解答】
解：由题设A关于直线x+y=3的对称点A′m,n，
则AA′的中点坐标为m−12,n+22，
则n−2m+1=1,m−12+n+22=3,得m=1,n=4,则A′1,4,
所以A′B=1+12+4+42=217.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
【解答】
解：作出函数fx=x+12, x≤0,|lg2x|, x>0, 的图象如下：
因为方程fx=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4，
且x1所以有x1+x2=−2,x3x4=1，
故2x32x4−x3x1+x2=2x3+2x3，
再由|lg2x|=1可得x=2或x=12，即12≤x3<1，
令gx=2x+2x12≤x<1，
则易知函数gx=2x+2x在[12,1)上单调递减，
又g12=5,g1=4，所以gx∈4,5.
即2x32x4−x3x1+x2的取值范围是(4,5].
故选B．
二、填空题
【答案】
25π4
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为334，
外接圆的半径为1，小圆的圆心为Q，由于底面积S△ABC不变，高
最大时体积最大，所以DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为
13S△ABC⋅DQ=32,∴DQ=2，
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+2−R2，∴ R=54，
则这个球的表面积为：S=4π542=25π4 .
故答案为：25π4 .
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ A={x|22}，
∴ A∩B=x|2(2)∵ A∪B=B，
∴ ∁U(A∪B)=−4,2，
∵ ∁U(A∪B)⊆C，
∴ 2a−1>2，a−6≤−4，
∴ 32【考点】
交集及其运算
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
(1)直接由交集运算即可；
(2)利用集合的运算和集合之间的包含关系求解即可.
【解答】
解：(1)∵ A={x|22}，
∴ A∩B=x|2(2)∵ A∪B=B，
∴ ∁U(A∪B)=−4,2，
∵ ∁U(A∪B)⊆C，
∴ 2a−1>2，a−6≤−4，
∴ 32【答案】
解：1由题意得
x−2y−2=0，2x−y+2=0，解得，x=−2，y=−2，
则所求的交点坐标为−2,−2.
2与直线l垂直的直线方程可设为2x+y+c=0，
因为直线过点A1,0，
所以可得2×1+0+c=0，
所以c=−2，
所求直线方程为2x+y−2=0.
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
1由两直线方程联立方程组，求解即可得解；

2先由题意设出所求直线的一般式方程，再由直线过点A1,0，把坐标代入求解得c，即可得解.
【解答】
解：1由题意得
x−2y−2=0，2x−y+2=0，解得，x=−2，y=−2，
则所求的交点坐标为−2,−2.
2与直线l垂直的直线方程可设为2x+y+c=0，
因为直线过点A1,0，
所以可得2×1+0+c=0，
所以c=−2，
所求直线方程为2x+y−2=0.
【答案】
解：(1)∵ 指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1）的图象过点3,127，
∴ a3=127，解得：a=13 ，
∴ fx=13x .
(2)依题意可知gx=13x−1−1，
由函数fx=13x为减函数可知：
函数gx=13x−1−1x≥−1为减函数，
∴ 当x=−1时，g(x)max=8.
又13x−1>0，∴ 13x−1−1>−1，
∴ gx的值域为(−1,8]．
【考点】
指数函数的定义、解析式、定义域和值域
指数函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1）的图象过点3,127，
∴ a3=127，解得：a=13 ，
∴ fx=13x .
(2)依题意可知gx=13x−1−1，
由函数fx=13x为减函数可知：
函数gx=13x−1−1x≥−1为减函数，
∴ 当x=−1时，g(x)max=8.
又13x−1>0，∴ 13x−1−1>−1，
∴ gx的值域为(−1,8]．
【答案】
解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c，
∵f(x+1)−f(x)=4x+5，
∴2ax+a+b=4x+5，
得a=2，b=3，
∵f(x)的图象经过点A(1,−13)，
∴f(1)=2+3+c=−13，c=−18，
故f(x)=2x2+3x−18．
(2)f(x)−mx=2x2+(3−m)x−18，
设g(m)=−xm+2x2+3x−18，
当m∈[−2,3]时，不等式f(x)≤mx恒成立，
∴g(−2)≤0,g(3)≤0,即2x2+5x−18≤0,x2−9≤0,
解得−3≤x≤2，
故x的取值范围是[−3,2]．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数恒成立问题
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c，
∵f(x+1)−f(x)=4x+5，
∴2ax+a+b=4x+5，
得a=2，b=3，
∵f(x)的图象经过点A(1,−13)，
∴f(1)=2+3+c=−13，c=−18，
故f(x)=2x2+3x−18．
(2)f(x)−mx=2x2+(3−m)x−18，
设g(m)=−xm+2x2+3x−18，
当m∈[−2,3]时，不等式f(x)≤mx恒成立，
∴g(−2)≤0,g(3)≤0,即2x2+5x−18≤0,x2−9≤0,
解得−3≤x≤2，
故x的取值范围是[−3,2]．
【答案】
(1)证明：∵ EB⊂平面AEB，∴ DA⊥EB.
∵ AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴ AE⊥EB.
又AE∩DA=A，
∴ BE⊥平面DAE.
∵ AF⊂平面DAE，
∴ EB⊥AF.
又∵ AF⊥DE，且EB∩DE=E，
∴ AF⊥平面DEB.
∵DB⊂平面DEB，
∴ AF⊥DB .
(2)解：VD−AEB=13×S△AEB×DA，DA=3，
当VD−AEB最大时，即S△AEB最大，即△AEB是等腰直角三角形时，
∵ DA=3,AB=2，∴ BE=2,DE=32+22=11，
点E到平面ABCD的距离为12AB=1，
设点C到平面EBD的距离为ℎ，则
VC−DBE=VE−CBD，
即13×12×2×11×ℎ=13×12×3×2×1，
解得：ℎ=31122.
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
柱体、锥体、台体的体积计算
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ EB⊂平面AEB，∴ DA⊥EB.
∵ AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴ AE⊥EB.
又AE∩DA=A，
∴ BE⊥平面DAE.
∵ AF⊂平面DAE，
∴ EB⊥AF.
又∵ AF⊥DE，且EB∩DE=E，
∴ AF⊥平面DEB.
∵DB⊂平面DEB，
∴ AF⊥DB .
(2)解：VD−AEB=13×S△AEB×DA，DA=3，
当VD−AEB最大时，即S△AEB最大，即△AEB是等腰直角三角形时，
∵ DA=3,AB=2，∴ BE=2,DE=32+22=11，
点E到平面ABCD的距离为12AB=1，
设点C到平面EBD的距离为ℎ，则
VC−DBE=VE−CBD，
即13×12×2×11×ℎ=13×12×3×2×1，
解得：ℎ=31122.
【答案】
解：(1)∵ 每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为(0.05×1000x)万元，
当0=−12x2+40x−100；
当x≥80时，Lx=0.05×1000x−52x+20000x+2−600−100
=500−2x−20000x+2，
∴ Lx=−12x2+40x−100,0(2)当0当x=40时，即Lxmax=700；
当x≥80时，L(x)=500−2x−20000x+2
=500−2(x+2)+10000x+2−2,
令t=x+2t≥82, 则
x+2+10000x+2=t+10000t=t−100t2+200，
∴t=100x=98时，t+10000tmin=200，
L(x)=500−2(x+2)+10000x+2−2≤500−2×198=104，
∵ 700>104，
∴ 当年产量为40千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为700万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为(0.05×1000x)万元，
当0=−12x2+40x−100；
当x≥80时，Lx=0.05×1000x−52x+20000x+2−600−100
=500−2x−20000x+2，
∴ Lx=−12x2+40x−100,0(2)当0当x=40时，即Lxmax=700；
当x≥80时，L(x)=500−2x−20000x+2
=500−2(x+2)+10000x+2−2,
令t=x+2t≥82, 则
x+2+10000x+2=t+10000t=t−100t2+200，
∴t=100x=98时，t+10000tmin=200，
L(x)=500−2(x+2)+10000x+2−2≤500−2×198=104，
∵ 700>104，
∴ 当年产量为40千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为700万元．