2020-2021年桂林市高二（上）1月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年桂林市高二（上）1月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若a>b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是( )
A.a2>b2B.1a<1bC.ac2>bc2D.2a>2b

2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=15，则a8=( )
A.11B.12C.23D.24

3. 抛物线y=2x2的焦点坐标为( )
A.0,18B.0,12C.18,0D.12,0

4. 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足a+b2−c2=3，且C=120∘，则ab的值为( )
A.1B.2C.3D.4

5. 设命题 p:∃x0∈(0,+∞)，lnx0=−1， 命题q:若 m>1，则方程 x2+my2=1表示焦点在x轴上的椭圆，那么下列命题属于真命题的是( )
A.¬pB.¬p∨¬qC.p∧qD.p∧(¬q)

6. 设x，y满足约束条件x−y≥0,x−2y≤0,y−1≤0,则z=2x+y的最大值是( )
A.0B.3C.4D.5

7. 已知函数fx的导函数为f′x，且满足fx=2xf′1+lnx，则f′2=( )
A.32B.1C.−1D.−32

8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1−csA=c−bc，则△ABC的形状为( )
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形

9. “x≥1”是“1x≤1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|=6．若△ABF2的周长为24，则双曲线C的实轴长是( )
A.3B.6C.9D.12

11. fx是定义在R上的奇函数，当x<0时， fx+x⋅f′x<0，且f−3=0，则不等式fx<0的解集为( )
A.−3,0∪3,+∞B.−3,0∪0,3
C.−∞,−3∪3,+∞D.−∞,−3∪0,3

12. 设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于( )
A.13B.33C.12D.22
二、填空题

设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S4S2=3，则q=________.

已知直线y=kx+2与曲线y=lnx相切，则k=________.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=23，a=2， csB+3sinB=2，则角A=________．

已知a>b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则a2+b2a−b的最小值为________.
三、解答题

已知命题p:∀x∈[1, 2]，x2−a≥0，命题q:∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边， a=2b， csA=14．
(1)求sinB 的值；

(2)若△ABC的面积为15，求c的值．

已知等差数列an的前n项和为Sn，Sn=n2+n+m．
(1)求m的值；

(2)已知bn=1Sn+2an，求数列bn的前n项和Tn．

目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前nn∈N∗年的支出成本为10n2−5n万元，每年的销售收入95万元．
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；

(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．

已知函数fx=x2−a+2x+alnx （a为实数）．
(1)求函数fx的单调区间；

(2)若存在x∈1,e，使得fx≤0成立，求实数a的取值范围．

已知直线l:y=−x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2, 1)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l′:y=−x+b交C于A，B两点，是否存在以AB为直径的圆经过点P，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021年桂林市高二(上)1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】
解：A，取a=0，b=−1，a2B，当a>0，b<0时，1a>1b，故B选项错误；
C，c=0时，ac2=bc2，故C选项错误；
D，由指数函数的单调性可知，2a>2b，故D选项正确.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6
【解答】
解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
∵ S3=15，
∴ a1+a2+a3=3a2=15，
解得a2=5，
又a1=2，
∴ d=a2−a1=5−2=3，
∴ a8=a1+7d=2+7×3=23.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
将抛物线的方程化为普通方程，再求焦点坐标即可.
【解答】
解：由题意，抛物线y=2x2化为标准方程为x2=12y，
则抛物线的焦点在y轴上，且p=14，
故抛物线的焦点坐标为(0,18).
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ C=120∘，
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−12，
即a2+b2−c2=−ab，
∴ a+b2−c2=ab，
又a+b2−c2=3，
∴ ab=3．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
四种命题的真假关系
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．
分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假的关系进行判断即可．
【解答】
解：当x0=1e时，lnx0=−1，
即∃x0∈0,+∞，lnx0=−1，故命题p是真命题；
方程x2+my2=1的标准方程为x2+y21m=1，
当m>1，即0<1m<1时，
方程表示焦点在x轴上的椭圆，故命题q是真命题.
综上所述，¬p是假命题，故A选项错误；
¬p∨¬q是假命题，故B选项错误；
p∧q是真命题，故C选项正确；
p∧(¬q)是假命题，故D选项错误.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，可行域如图，
目标函数z=2x+y可化为y=−2x+z，
则当函数经过点A时，z有最大值.
由x−2y=0,y−1=0,可得A(2,1).
故zmax=2×2+1=5.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，得f′x=2f′1+1x，
令x=1，得f′1=2f′1+1，
解得f′1=−1，
则f′x=−2+1x，
所以f′2=−2+12=−32．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 1−csA=c−bc，
即1−csA=1−bc，
∴ csA=bc，
由正弦定理，得csA=sinBsinC，
∴ sinB=csAsinC，
∴ sinA+C=csAsinC，
即sinAcsC+csAsinC=csAsinC，
∴ sinAcsC=0，
又角A，B，C为三角形内角，
∴ csC=0，
∴ C=π2，
∴ △ABC为直角三角形．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：若x≥1，则1x≤1，故充分性成立；
若当x=−1时，满足1x≤1，不满足x≥1，
故必要性不成立.
综上所述，“x≥1”是“1x≤1”的充分不必要条件.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
由双曲线的定义推出|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=4a，结合|AB|=|AF1|+|BF1|=6，利用△ABF2的周长为24，转化求解双曲线C的实轴长即可．
【解答】
解：由双曲线的定义，得|AF2|−|AF1|=|BF2|−|BF1|=2a，
则|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=4a，
∵ |AB|=|AF1|+|BF1|=6，
∴ |AF2|+|BF2|=4a+6.
∵ △ABF2的周长为24，
∴ |AB|+|AF2|+|BF2|=24，
∴ |AF2|+|BF2|=18，
即4a+6=18，
解得a=3，
∴ 双曲线C的实轴长是6．
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，令gx=xfx，
则g′x=fx+x⋅f′x，
当x<0时， g′x<0，
∴ gx在−∞,0上单调递减.
∵ fx是定义在R上的奇函数，
∴ g−x=−xf−x=xfx=gx，
∴ 函数gx为偶函数，
∴ gx在0,+∞上单调递增.
∵ f−3=0，
∴ g3=g−3=−3×f−3=0，
当x>0时，若fx<0，则gx<0，
解得0当x<0时，若fx<0，则gx>0，
解得x<−3.
综上所述，不等式fx<0的解集为−∞,−3∪0,3．
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】
解：如图，连接AF1.
∵ OD // AB，O为F1F2的中点，
∴ D为F1B的中点.
又AD⊥F1B，
∴ |AF1|=|AB|，
∴ |AF1|=2|AF2|．
设|AF2|=n，则|AF1|=2n，
∴ |F1F2|=3n，
∴ e=ca=2c2a=|F1F2||AF1|+|AF2|=3n3n=33．
故选B.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
利用公式得到方程，解出即可.
【解答】
解：由等比数列的性质可知，公比不为1，且q>0，
S4S2=a1+a2+a1+a2q2a1+a2=1+q2=3，
解得：q=2.
故答案为：2.
【答案】
1e3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得关于切点横坐标与k的方程组，求解得答案．
【解答】
解：设切点为x0,y0.
∵ y=lnx，
∴ y′=1x，
∴ k=1x0，
又y0=lnx0，y0=kx0+2，
∴ lnx0=3，
解得x0=e3 ，
∴ k=1e3.
故答案为：1e3.
【答案】
π6
【考点】
正弦定理
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ csB+3sinB=2，
∴ 2sinB+π6=2，
∴ sinB+π6=1.
又0∴ π6∴ B+π6=π2，
∴ B=π3.
由正弦定理，得asinA=bsinB，
即 2sinA=23sinπ3 ，
解得sinA=12，
∴ A=π6或5π6．
∵ b>a，
∴ B>A，
∴ A=π6．
故答案为：π6．
【答案】
22
【考点】
函数的零点与方程根的关系
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由条件求得a>1，ab=1，化简a2+b2a−b为 a−b+2a−b，利用基本不等式可得a4+1a3−a的最小值．
【解答】
解：∵ a>b，二次三项式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立，
∴ a>0，且Δ=4−4ab≤0，
解得ab≥1.
∵ ∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0，
∴ Δ=4−4ab≥0，
∴ Δ=4−4ab=0，
解得ab=1.
又∵ a>b，
∴ a>1，a−b>0，
∴ a2+b2a−b=(a−b)2+2aba−b=a−b+2a−b≥22，
当且仅当a−b=2时取等号，
∴ a2+b2a−b的最小值为22.
故答案为：22.
三、解答题
【答案】
解：∵ ∀x∈1,2，x2−a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，
解得a≤1，
即p:a≤1，
∴ ¬p:a>1.
又∃x∈R，使得x2+a−1x+1<0，
∴ Δ=a−12−4>0，
解得a>3或a<−1，
即q:a>3或a<−1，
∴ ¬q:−1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，
∴ p为真q为假或p为假q为真，
当p为真q为假时， a|a≤1∩a|−1≤a≤3=a|−1≤a≤1；
当p为假q为真时， {a|a>1}∩{a|a<−1或a>3}=a|a>3.
综上所述，实数a的取值范围为{a|−1≤a≤1或a>3}.
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
命题p:∀x∈[1, 2]，x2−a2≥0，可得a2≤(x2)min．命题q:∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0．可得△>0．由p或q为真，p且q为假，p与q必然一真一假．
【解答】
解：∵ ∀x∈1,2，x2−a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，
解得a≤1，
即p:a≤1，
∴ ¬p:a>1.
又∃x∈R，使得x2+a−1x+1<0，
∴ Δ=a−12−4>0，
解得a>3或a<−1，
即q:a>3或a<−1，
∴ ¬q:−1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，
∴ p为真q为假或p为假q为真，
当p为真q为假时， a|a≤1∩a|−1≤a≤3=a|−1≤a≤1；
当p为假q为真时， {a|a>1}∩{a|a<−1或a>3}=a|a>3.
综上所述，实数a的取值范围为{a|−1≤a≤1或a>3}.
【答案】
解：(1)∵ csA=14，
∴ sinA=154.
由正弦定理，得asinA=bsinB，且a=2b，
∴ sinB=bsinAa=158．
(2)由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=14，且a=2b，
∴ b2+c2−4b22bc=14，
整理得2c2−bc−6b2=0，
即2c+3bc−2b=0，
解得c=2b或c=−32b(负值，舍去)，
∴ a=c，
∴ S△ABC =12acsinB=12c2×158=15，
解得c=4．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ csA=14，
∴ sinA=154.
由正弦定理，得asinA=bsinB，且a=2b，
∴ sinB=bsinAa=158．
(2)由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=14，且a=2b，
∴ b2+c2−4b22bc=14，
整理得2c2−bc−6b2=0，
即2c+3bc−2b=0，
解得c=2b或c=−32b(负值，舍去)，
∴ a=c，
∴ S△ABC =12acsinB=12c2×158=15，
解得c=4．
【答案】
解：(1)当n=1时， a1=S1=2+m；
当n≥2时， an=Sn−Sn−1
=n2+n+m−(n−1)2−(n−1)−m=2n，
∵ 数列an是等差数列，
∴ a1满足an=2n，
则2+m=2，
解得m=0．
(2)由(1)可知，an=2n，
∴ 2an=22n=4n，
∴ 数列2an的前n项和为41−4n1−4=4n+1−43，
∵ Sn=n2+n，
∴ 1Sn=1n2+n=1nn+1=1n−1n+1，
∴ 数列1Sn的前n项和为1−12+12−13+⋯
+1n−1n+1=1−1n+1，
又bn=1Sn+2an，
∴ Tn=1−1n+1+4n+1−43
=4n+1−13−1n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当n=1时， a1=S1=2+m；
当n≥2时， an=Sn−Sn−1
=n2+n+m−(n−1)2−(n−1)−m=2n，
∵ 数列an是等差数列，
∴ a1满足an=2n，
则2+m=2，
解得m=0．
(2)由(1)可知，an=2n，
∴ 2an=22n=4n，
∴ 数列2an的前n项和为41−4n1−4=4n+1−43，
∵ Sn=n2+n，
∴ 1Sn=1n2+n=1nn+1=1n−1n+1，
∴ 数列1Sn的前n项和为1−12+12−13+⋯
+1n−1n+1=1−1n+1，
又bn=1Sn+2an，
∴ Tn=1−1n+1+4n+1−43
=4n+1−13−1n+1．
【答案】
解：(1)设f(n)为前n年的总盈利额.
由题意，得f(n)=95n−(10n2−5n)−90
=−10n2+100n−90=−10(n−1)(n−9)，
令f(n)>0，即−10(n−1)(n−9)>0，
解得1又n∈N∗，
所以该设备从第2年开始实现总盈利.
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)可知，总盈利额f(n)=−10n2+100n−90
=−10(n−5)2+160，
当n=5时，f(n)取得最大值，且f(n)max=160，
若处理掉设备，则总利润为160+20=180(万元)；
方案二：由(1)可知，平均盈利额为
f(n)n=−10n2+100n−90n=−10n+9n+100
≤100−20n⋅9n=40，
当且仅当n=9n，即n=3时，等号成立，
即当n=3时，平均盈利额最大，此时f(n)max=120，
若处理掉设备，总利润为120+60=180(万元).
综上所述，两种方案获利都是180万元，
但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【考点】
一元二次不等式的应用
二次函数在闭区间上的最值
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)设f(n)为前n年的总盈利额.
由题意，得f(n)=95n−(10n2−5n)−90
=−10n2+100n−90=−10(n−1)(n−9)，
令f(n)>0，即−10(n−1)(n−9)>0，
解得1又n∈N∗，
所以该设备从第2年开始实现总盈利.
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)可知，总盈利额f(n)=−10n2+100n−90
=−10(n−5)2+160，
当n=5时，f(n)取得最大值，且f(n)max=160，
若处理掉设备，则总利润为160+20=180(万元)；
方案二：由(1)可知，平均盈利额为
f(n)n=−10n2+100n−90n=−10n+9n+100
≤100−20n⋅9n=40，
当且仅当n=9n，即n=3时，等号成立，
即当n=3时，平均盈利额最大，此时f(n)max=120，
若处理掉设备，总利润为120+60=180(万元).
综上所述，两种方案获利都是180万元，
但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【答案】
解：由题意，得f′x=2x−(a+2)+ax
=2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x，
令f′x=0，即(2x−a)(x−1)x=0，
解得x=a2或x=1.
当a≤0时，令f′x>0，即(2x−a)(x−1)x>0，
解得x>1；
令f′x<0，即(2x−a)(x−1)x<0，
解得0当a2=1时，即a=2时，
f′x=(2x−a)(x−1)x=2x2−4x+2x，
令函数t(n)=2n2−4n+2，
则对称轴n=−(−4)2×2=1，
即t(n)min=(4×2×2)−(−4)24×2=0，
则t(n)>t(n)min=0，
故f′x≥0恒成立；
当a2>1时，即a>2时，
令f′x>0，即 (2x−a)(x−1)x>0，
解得0a2,
令f′x<0，即(2x−a)(x−1)x<0，
解得1当00，即(2x−a)(x−1)x>0，
综上所述，当a≤0时，fx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减；
当0当a=2时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>2时，fx在(0,1)和a2,+∞上单调递增，在1,a2上单调递减．
(2)由(1)可知，当a≤2时，fx在[1,e]上单调递增，
∴fxmin=f(1)=−a−1，
∴f(1)=−a−1≤0，
解得−1≤a≤2；
当2∴fxmin=fa2=−a24−a+alna2=alna2−a4−1，
又2∴0∴fa2=alna2−a4−1<0；
当a≥2e时，fx在[1,e]上单调递减，
∴fxmin=fe=e2−(a+2)e+a，
∵a≥2e>e2−2ee−1，
∴f(e)<0，
∴a≥2e．
综上所述，实数a的取值范围为a≥−1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意，得f′x=2x−(a+2)+ax
=2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x，
令f′x=0，即(2x−a)(x−1)x=0，
解得x=a2或x=1.
当a≤0时，令f′x>0，即(2x−a)(x−1)x>0，
解得x>1；
令f′x<0，即(2x−a)(x−1)x<0，
解得0当a2=1时，即a=2时，
f′x=(2x−a)(x−1)x=2x2−4x+2x，
令函数t(n)=2n2−4n+2，
则对称轴n=−(−4)2×2=1，
即t(n)min=(4×2×2)−(−4)24×2=0，
则t(n)>t(n)min=0，
故f′x≥0恒成立；
当a2>1时，即a>2时，
令f′x>0，即 (2x−a)(x−1)x>0，
解得0a2,
令f′x<0，即(2x−a)(x−1)x<0，
解得1当00，即(2x−a)(x−1)x>0，
解得01，令f′x<0，即(2x−a)(x−1)x<0，解得a2综上所述，当a≤0时，fx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减；
当0当a=2时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>2时，fx在(0,1)和a2,+∞上单调递增，在1,a2上单调递减．
(2)由(1)可知，当a≤2时，fx在[1,e]上单调递增，
∴fxmin=f(1)=−a−1，
∴f(1)=−a−1≤0，
解得−1≤a≤2；
当2∴fxmin=fa2=−a24−a+alna2=alna2−a4−1，
又2∴0∴fa2=alna2−a4−1<0；
当a≥2e时，fx在[1,e]上单调递减，
∴fxmin=fe=e2−(a+2)e+a，
∵a≥2e>e2−2ee−1，
∴f(e)<0，
∴a≥2e．
综上所述，实数a的取值范围为a≥−1．
【答案】
解：(1)联立直线l:y=−x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)，
整理，得(m+n)x2−6nx+9n−1=0，
由题意，得Δ=36n2−4(m+n)(9n−1)=0，
即9mn=m+n，
又P在椭圆上，则4m+n=1，
解得m=16，n=13，
即椭圆方程为x26+y23=1.
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线y=b−x和椭圆方程x26+y23=1，
整理，得3x2−4bx+2b2−6=0，
则Δ=16b2−12(2b2−6)>0，
解得−3又x1+x2=4b3，x1x2=2b2−63，
所以y1+y2=2b−(x1+x2)=2b3，
y1y2=(b−x1)(b−x2)=b2−b(x1+x2)+x1x2=b2−63，
由题意，设PA⊥PB，
即PA→⋅PB→=(x1−2)(x2−2)+(y1−1)(y2−1)
=x1x2−2(x1+x2)+4+y1y2−(y1+y2)+1
=2b2−63−2×4b3+b2−63−2b3+5=0，
解得b=3或13，
又−3所以b=13．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
数量积判断两个平面向量的垂直关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
(II)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线y＝b−x和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值．
【解答】
解：(1)联立直线l:y=−x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)，
整理，得(m+n)x2−6nx+9n−1=0，
由题意，得Δ=36n2−4(m+n)(9n−1)=0，
即9mn=m+n，
又P在椭圆上，则4m+n=1，
解得m=16，n=13，
即椭圆方程为x26+y23=1.
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线y=b−x和椭圆方程x26+y23=1，
整理，得3x2−4bx+2b2−6=0，
则Δ=16b2−12(2b2−6)>0，
解得−3又x1+x2=4b3，x1x2=2b2−63，
所以y1+y2=2b−(x1+x2)=2b3，
y1y2=(b−x1)(b−x2)=b2−b(x1+x2)+x1x2=b2−63，
由题意，设PA⊥PB，
即PA→⋅PB→=(x1−2)(x2−2)+(y1−1)(y2−1)
=x1x2−2(x1+x2)+4+y1y2−(y1+y2)+1
=2b2−63−2×4b3+b2−63−2b3+5=0，
解得b=3或13，
又−3所以b=13．