2020-2021学年河南省信阳市高一（下）6月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省信阳市高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设α2是第一象限角，且csα=−csα，则α是第( )象限角.
A.一B.二C.三D.四

2. 一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为( )
A.1B.2C.3D.4

3. 已知tanα=2，则sinα+csα2sinα−csα=（ ）
A.1B.3C.32D.52

4. 设a<0，角α的终边经过点P−3a,4a，那么sinα+2csα=（ ）
A.25B.−23C.23D.−25

5. 已知在△ABC中，CD→=−2BD→，且AD→=xAB→+yAC→x,y∈R，则x−y的值为（ ）
A.12B.−12C.13D.−13

6. 设a=sin57π，b=cs27π，c=tan27π，则( )
A.a
7. 在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若AH→=λAB→+μBC→λ,μ∈R，则λ+μ=( )
A.34B.54C.32D.74

8. 把函数y=fx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图像，则fx=（ ）
A.sinx2−7π12B.sinx2+π12C.sin2x−7π12D.sin2x+π12

9. 若函数y=fx同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x=π3对称；(3)在区间−π6,π3上是增函数．则y=fx的解析式可以是( )
A.y=sin(x2+π6)B.y=cs(2x+π3)C.y=cs(2x−π6)D.y=sin(2x−π6)

10. 已知A(2, 3)，B(−4, 5)，则与AB→共线的单位向量是（ ）
A.e→=(−6, 2)或e→=(6, 2)
B.e→=(−31010, 1010)
C.e→=(−31010, 1010)或e→=(31010, −1010)
D.e→=(−6, 2)

11. 已知函数fx=|csx|+csx，则关于fx的说法不正确的是( )
A.是偶函数B.最小正周期为π
C.最大值为2D.最小值为0

12. 函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，当x∈[0, π]时函数f(x)的值域为[32,1]，则函数f(x)的最小正周期的取值范围是( )
A.[π, 3π]B.[π, 6π]C.[3π, 6π]D.[6π, 12π]
二、填空题

已知向量a→=csx,sinx ，b→=1,−3，x∈0,π．若a→//b→，则x的值为________.

已知tanα=2，π<α<3π2，则sinα+csα=________.

在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，2AE→=ED→，若OE→=xAB→+yBC→，则x+y=________．

设函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
三、解答题

已知平面内的三个向量a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)．
(1)若a→=λb→+μc→(λ,μ∈R)，求λ+μ的值；

(2)若向量a→+kb→与向量2b→−c→共线，求实数k的值．

已知α是第三象限角，fα=sinπ−α⋅cs2π−α⋅tan−α−πtan−α⋅sin−π−α．
(1)化简fα；

(2)若cs(α−32π)=15，求fα的值；

(3)若α=−1920∘，求fα的值．

如图，在△OCB中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2:1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→.

(1)用a→，b→表示向量OC→，DC→；

(2)若OE→=λOA→，求λ的值．

已知函数fx=sin2x+π4+1.

(1)用“五点法”作出f(x)在x∈[−π8,7π8]上的简图；

(2)写出fx的对称中心以及单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示：

(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标；

(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0, 76π]上的单调区间及最值.

已知函数fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,|φ|<π2的某一周期内的对应值如下表：

(1)根据表格提供的数据求函数fx的解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y=fnxn>0的最小正周期为2π3，当x∈0,π3时，方程fnx=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省信阳市高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ α2是第一象限角，
∴ k⋅360∘< α2< 90∘+k⋅360∘，k∈Z，
∴ k⋅720∘<α<180∘+k⋅720∘，k∈Z，
∴ α为第一象限角或第二象限角或终边在y轴正半轴上的轴线角.
∵ csα=−csα，
∴ csα<0，
∴ α是第二象限角．
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 弧长l=|α|⋅r=2r=4，
∴ r=2，
由扇形的面积公式可得：S=12lr=12×4×2=4.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
将所求式子的分子分母同除以csα，代入求解即可.
【解答】
解：∵ tanα=2，
∴ sinα+csα2sinα−csα=tanα+12tanα−1=2+12×2−1=1.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
求出OP的距离，利用三角函数的定义，求出sinα,csα，即可求解．
【解答】
解：因为角α的终边过点P−3a,4a，a<0，
所以|OP|=5|a|=−5a，
故sinα=−4a5a=−45 ，
csα=−3a−5a=35，
所以sinα+2csα=−45+2×35=25．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据三角形法则以及平面向量基本定理可得．
【解答】
解：由CD→=−2BD→得BD→=13BC→，
AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→
=AB→+13AC→−13AB→=23AB→+13AC→，
根据平面向量基本定理可得x=23 ，y=13，
∴ x−y=13.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
复合三角函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由诱导公式可知，
a=sin57π=sin27π，
∵14π<27π<12π，
由正弦与余弦函数图像得，
cs27π又因为tan27π=sin27πcs27π>1
∴cs27π即b故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
用AB→,AC→表示出AE→，由平面向量基本定义可得出入，μ的值即可得出答案．
【解答】
解：如图，
D为AB中点，H为CD中点，
AH→=12AD→+AC→=1212AB→+AC→
=14AB→+12AC→=14AB→+12BC→+AB→
=34AB→+12BC→，
λ=34，μ=12，λ+μ=54.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据正弦函数图像变换规律可知，
将函数y=sinx−π4图像上所有的点向左平移π3个单位长度，
得到函数y=sinx+π12，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，
即函数周期变为原来的2倍，因此得到函数y=sinx2+π12.
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
余弦函数的单调性
余弦函数的对称性
余弦函数的周期性
【解析】
根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．
【解答】
解：A．函数的周期T=2π12=4π，不满足条件．
B．函数的周期T=π，当x=π3时，y=cs(2π3+π3)=csπ=−1，则函数关于直线x=π3对称，在[−π6，π3]上是减函数，不满足条件．
C．函数的周期T=π，当x=π3时，y=cs(2π3−π6)=csπ2=0，则函数关于(π3, 0)对称，不满足条件．
D．函数的周期T=π，当x=π3时，y=sin(2π3−π6)=sinπ2=1，则函数关于关于直线x=π3对称，在[−π6，π3]上是增函数，满足条件．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
单位向量
【解析】
利用与AB→共线的单位向量是±AB→|AB→|即可得出．
【解答】
解：AB→=(−6, 2)，
则与AB→共线的单位向量是±AB→|AB→|=±(−6,2)210=±(−31010，1010)．
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的奇偶性
余弦函数的定义域和值域
余弦函数的周期性
【解析】
根据解析式，对其性质进行逐一分析即可．
【解答】
解：因为f−x=|cs−x|+cs−x=|csx|+csx，
所以fx是偶函数，故A正确；
因为fx+π=|csx+π|+csx+π
=|csx|−csx≠fx，
故B不正确；
当csx≥0时，fx=2csx∈0,2，当csx<0时，fx=0，
所以fx的最大值为2，最小值为0，故C，D均正确．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
由题意利用正弦函数的定义域和值域求出ω的范围，再利用正弦函数的周期性，求得函数f(x)的最小正周期的取值范围．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，当x∈[0, π]时，函数f(x)的值域为[32,1]，
当x=0时，ωx+π3=π3；
当x=π时，ωx+π3=ωπ+π3，
∴ π2≤ωπ+π3≤2π3，求出16≤ω≤13，
∴ T=2πω∈[6π, 12π]，
故函数f(x)的最小正周期的取值范围是[6π, 12π].
故选D.
二、填空题
【答案】
2π3
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
通过向量共线，列出方程求解即可．
【解答】
解：若a→//b→，
则−3csx=sinx，
∴ tanx=−3，
∵ x∈0,π，
∴ x=2π3.
故答案为：2π3.
【答案】
−355
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由题意得到sinαcsα=2，sin2α+cs2α=1，求解即可.
【解答】
解：∵ tanα=2，π<α<3π2，
∴ sinαcsα=2，sin2α+cs2α=1，
解得sinα=−255，csα=−55，
则sinα+csα=−355.
故答案为：−355.
【答案】
−23
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
由平面向量基本定理及线性运算得：OE→=AE→−AO→=13AD→−12AC→=13BC→−12(AB→+BC→)=−12AB→−16BC→，又OE→=xAB→+yBC→，所以x=−12，y=−16，所以x+y=−23，得解．
【解答】
解：如图，
OE→=AE→−AO→=13AD→−12AC→
=13BC→−12(AB→+BC→)=−12AB→−16BC→，
又OE→=xAB→+yBC→，
所以x=−12，y=−16，
所以x+y=−23.
故答案为：−23.
【答案】
23
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，
可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，ω>0，
则ω的最小值为：23．
故答案为：23．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
∴ λb→+μc→=λ(−1,2)+μ(4,1)=(4μ−λ, 2λ+μ)，
由a→=λb→+μc→，得4μ−λ=3,2λ+μ=2, 解得λ=59，μ=89，
∴ λ+μ=139.
(2)a→+kb→=(3, 2)+k(−1, 2)=(3−k, 2+2k)，
2b→−c→=(−2, 4)−(4, 1)=(−6, 3)，
∵ 向量a→+kb→与向量2b→−c→共线，
∴ 3(3−k)+6(2+2k)=0，得k=−73．
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）利用向量的数乘运算及向量相等的条件求解；
（2）利用向量的数乘与加减运算及向量共线的坐标运算求解．
【解答】
解：(1)∵ a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
∴ λb→+μc→=λ(−1,2)+μ(4,1)=(4μ−λ, 2λ+μ)，
由a→=λb→+μc→，得4μ−λ=3,2λ+μ=2, 解得λ=59，μ=89，
∴ λ+μ=139.
(2)a→+kb→=(3, 2)+k(−1, 2)=(3−k, 2+2k)，
2b→−c→=(−2, 4)−(4, 1)=(−6, 3)，
∵ 向量a→+kb→与向量2b→−c→共线，
∴ 3(3−k)+6(2+2k)=0，得k=−73．
【答案】
解：(1)已知α为第三象限角，
则f(α)=sin(π−α)⋅cs(2π−α)⋅tan(−α−π)tan(−α)⋅sin(−π−α)
=sinα⋅csα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=csα.
(2)已知cs(α−32π)=−sinα=15，
得sinα=−15，又α为第三象限角，
则csα=−1−sin2α=−265，
即f(α)=csα=−265.
(3)因为α=−1920∘，则
fα=f−1920∘=cs−1920∘=cs1920∘
=cs5×360∘+120∘=cs120∘=−12.
【考点】
三角函数的化简求值
同角三角函数间的基本关系
任意角的三角函数
【解析】
（1）按部就班进行化简即可.
（2）利用（1）中所得信息以及题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：(1)已知α为第三象限角，
则f(α)=sin(π−α)⋅cs(2π−α)⋅tan(−α−π)tan(−α)⋅sin(−π−α)
=sinα⋅csα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=csα.
(2)已知cs(α−32π)=−sinα=15，
得sinα=−15，又α为第三象限角，
则csα=−1−sin2α=−265，
即f(α)=csα=−265.
(3)因为α=−1920∘，则
fα=f−1920∘=cs−1920∘=cs1920∘
=cs5×360∘+120∘=cs120∘=−12.
【答案】
解：(1)∵ A是BC的中点，∴ BA→=AC→=12BC→.
由题意，OD→=2DB→=23OB→，
由向量加法的三角形法则可得
OC→=OA→+AC→=OA→+12BC→
=OA→+12(OC→−OB)→，
∴ OC→=2OA→−OB→=2a→−b→，
DC→=DB→+BC→=13OB→+(OC→−OB→)
=OC→−23OB→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→.
(2)因为C，E，D三点共线，所以存在实数μ，使得EC→=μDC→，
又EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→
=2−λa→−b→,DC→=2a→−53b→，
所以2−λa→−b→=μ2a→−53b→，
又a→,b→不共线，则2−λ=2μ,1=53μ,
解得λ=45.
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
【解析】
（1）利用向量共线的条件，用向量加法的三角形法则，可以用向量a→，b→表示向量OC→，DC→
（2）利用向量共线及向量相等的条件结合向量加法的三角形法则，可求λ的值
【解答】
解：(1)∵ A是BC的中点，∴ BA→=AC→=12BC→.
由题意，OD→=2DB→=23OB→，
由向量加法的三角形法则可得
OC→=OA→+AC→=OA→+12BC→
=OA→+12(OC→−OB)→，
∴ OC→=2OA→−OB→=2a→−b→，
DC→=DB→+BC→=13OB→+(OC→−OB→)
=OC→−23OB→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→.
(2)因为C，E，D三点共线，所以存在实数μ，使得EC→=μDC→，
又EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→
=2−λa→−b→,DC→=2a→−53b→，
所以2−λa→−b→=μ2a→−53b→，
又a→,b→不共线，则2−λ=2μ,1=53μ,
解得λ=45.
【答案】
解：(1)对于函数f(x)=2sin2x+π4+1，
在x∈−π8,7π8上，2x+π4∈[0,2π].
列表：
作图：
(2)令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ2+π8，k∈Z，
可得函数的图象的对称中心为kπ2+π8,0，k∈Z，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
可得函数的增区间为kπ−3π8,kπ+π8，k∈Z．
(3)令2x+π4=2kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的最大值为2，此时x=kπ+π8，k∈Z．
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
三角函数的图象
函数的单调性及单调区间
正弦函数的对称性
函数的最值及其几何意义
【解析】
左侧图片未提供解析．
左侧图片未提供解析．
左侧图片未提供解析．
【解答】
解：(1)对于函数f(x)=2sin2x+π4+1，
在x∈−π8,7π8上，2x+π4∈[0,2π].
列表：
作图：
(2)令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ2+π8，k∈Z，
可得函数的图象的对称中心为kπ2+π8,0，k∈Z，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
可得函数的增区间为kπ−3π8,kπ+π8，k∈Z．
(3)令2x+π4=2kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的最大值为2，此时x=kπ+π8，k∈Z．
【答案】
解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象，
可得B=1−32=−1，A=1−(−3)2=2，12⋅2πω=7π12−π12，
∴ ω=2．
再根据五点法作图可得2⋅π12+φ=π2，
∴ φ=π3，∴ f(x)=2sin(2x+π3)−1．
令2x+π3=kπ，求得x=kπ2−π6，k∈Z，
故函数的对称中心为(kπ2−π6, −1)，k∈Z．
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位，可得y=2sin(2x−π3+π3)−1=2sin2x−1的图象；
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sinx−1的图象；
最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)＝2sinx 的图象，
在x∈[0, 76π]上，sinx∈[−12, 1],g(x)∈[−1, 2]，
故函数y＝g(x)在x∈[0, 76π]上有最大值为2，此时，x=π2．
g(x)的增区间，即y=sinx的增区间，为[2kπ−π2, 2kπ+π2]，结合x∈[0, 76π]，可得增区间为[0, π2]；
g(x)的减区间，即y=sinx的减区间，为[2kπ+π2, 2kπ+3π2]，结合x∈[0, 76π]，可得减区间为[π2, 7π6]．
∴ g(x)max=g(π2)=2，
g(x)min=g(7π6)=−1.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】
(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．再根据正弦函数的图象的对称性对称中心坐标．
(Ⅱ)利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性和最值，得出结论．
【解答】
解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象，
可得B=1−32=−1，A=1−(−3)2=2，12⋅2πω=7π12−π12，
∴ ω=2．
再根据五点法作图可得2⋅π12+φ=π2，
∴ φ=π3，∴ f(x)=2sin(2x+π3)−1．
令2x+π3=kπ，求得x=kπ2−π6，k∈Z，
故函数的对称中心为(kπ2−π6, −1)，k∈Z．
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位，可得y=2sin(2x−π3+π3)−1=2sin2x−1的图象；
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sinx−1的图象；
最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)＝2sinx 的图象，
在x∈[0, 76π]上，sinx∈[−12, 1],g(x)∈[−1, 2]，
故函数y＝g(x)在x∈[0, 76π]上有最大值为2，此时，x=π2．
g(x)的增区间，即y=sinx的增区间，为[2kπ−π2, 2kπ+π2]，结合x∈[0, 76π]，可得增区间为[0, π2]；
g(x)的减区间，即y=sinx的减区间，为[2kπ+π2, 2kπ+3π2]，结合x∈[0, 76π]，可得减区间为[π2, 7π6]．
∴ g(x)max=g(π2)=2，
g(x)min=g(7π6)=−1.
【答案】
解：(1)设fx的最小正周期为T，则T=11π6−−π6=2π，
由T=2πω得ω=1．
又由B+A=3,B−A=−1,解得A=2,B=1,
令ω⋅5π6+φ=π2+2kπk∈Z，即5π6+φ=π2+2kπk∈Z
解得φ=−π3+2kπk∈Z，
∵ |φ|<π2，∴ φ=−π3，
∴ fx=2sinx−π3+1．
(2)∵ 函数y=fnx=2sinnx−π3+1的最小正周期为2π3，且n>0，∴ n=3．
令t=3x−π3，∵ x∈0,π3，∴ t∈−π3,2π3，
由2sint+1=m，得sint=m−12，
故y=sint的图象如图．
若m−12=sint在−π3,2π3上有两个不同的解，则m−12∈[32,1)，
即32≤m−12<1，解得3+1≤m<3，
∴ 方程fnx=m在x∈0,π3恰有两个不同的解时， m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3）.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设fx的最小正周期为T，则T=11π6−−π6=2π，
由T=2πω得ω=1．
又由B+A=3,B−A=−1,解得A=2,B=1,
令ω⋅5π6+φ=π2+2kπk∈Z，即5π6+φ=π2+2kπk∈Z
解得φ=−π3+2kπk∈Z，
∵ |φ|<π2，∴ φ=−π3，
∴ fx=2sinx−π3+1．
(2)∵ 函数y=fnx=2sinnx−π3+1的最小正周期为2π3，且n>0，∴ n=3．
令t=3x−π3，∵ x∈0,π3，∴ t∈−π3,2π3，
由2sint+1=m，得sint=m−12，
故y=sint的图象如图．
若m−12=sint在−π3,2π3上有两个不同的解，则m−12∈[32,1)，
即32≤m−12<1，解得3+1≤m<3，
∴ 方程fnx=m在x∈0,π3恰有两个不同的解时， m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3）.x
−π6
π3
5π6
4π3
11π6
fx
−1
1
3
1
−1
2x+π4
0
π2
π
3π2
2
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1
2x+π4
0
π2
π
3π2
2
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1