初中数学北师大版九年级下册第三章 圆1 圆学案

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆1 圆学案，共6页。学案主要包含了要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。


【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1.圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
特别说明：
①圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条 .
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
特别说明：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是 ，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
① ：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是 图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
特别说明：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、与圆有关的概念
1. 弦 弦： 的线段叫做弦.
直径： 叫做直径.
弦心距： 叫做弦心距。
特别说明：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.


2. 弧
弧： 的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧： 半圆的弧叫做优弧；
劣弧： 半圆的弧叫做劣弧.
特别说明：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
的两个圆叫做同心圆.
的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在 或 中，能够完全重合的弧叫做等弧.
特别说明：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【典型例题】
类型一、圆的基本概念
1．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．

举一反三：
【变式1】 已知点P、Q，且PQ＝4cm，
（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．
（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
【变式2】如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.
【变式3】 如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD
（1）求证：∠C=∠D；
（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．
类型二、直径是最长的弦
2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

举一反三：
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【变式2】 如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于_____°．

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.
类型三、点与圆上距离的最值
3、若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
举一反三：
【变式1】如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．
【变式2】我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【变式3】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．
类型四、圆的周长与面积
4、如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积．
举一反三：
【变式1】两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位)
【变式2】（1）已知求xy的值。
（2）如图，一块半径为a+b的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆。
①求剩下的钢板的面积。
②若a=0.625cm, b=1.6cm,那么剩下的钢板面积为多少呢？（结果用表示）

【变式3】已知圆环的面积为，其中大圆与小圆周长的和为，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）.