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陕西中考数学基础考点课件+练习题：第25课时 与圆有关的位置关系
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点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
1. 定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．2. 性质：圆的切线________于过切点的半径．3. 判定方法：(1)“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长．
4. 切线长及定理(*选学内容)(1)定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长，如图，线段PA、PB；(2)定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有PA＝PB，∠APO＝______＝ ∠APB.
1. 定义：与三角形各边都相切的圆．2. 圆心：内心(三角形的内切圆圆心或三角形____________的交点)．3. 性质：三角形的内心到三角形________的距离相等．
【提分要点】直角三角形内切圆的半径：r＝ (a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边)．
1. 如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与点A、C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交过点C的切线于点D.求证：DC＝DP.
突破设问一 证明线段的数量关系
【思维教练】要证DC＝DP，根据等角对等边，只需证∠DPC＝∠PCD，已知PE⊥AB，且CD与⊙O相切，则可连接OC.通过两角互余的性质及等角对等边的性质进行等量代换，从而得证．
2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，OP⊥BC于点D，交⊙O于点E.求证：PB·AC＝AB·CD.
【思维教练】注意利用OP⊥BC于点D，得到CD＝BD.已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，可得到直角，再进行等角代换得到相等角，进而得到四条线段所在的两个三角形相似，列出比例式即可得到所求关系式．
证明：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∠C＝90°，∴∠PBC＋∠ABC＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠PBC＝∠A，∴∠PBC＝∠A，
【提分要点】运用切线的性质进行证明或计算时，常作的辅助线有连接圆心与切点得垂直．1. 证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；(3)若所证两线段在不共线但有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明．2. 遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论．
突破设问二 证明角度相等
3. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D.求证：AC平分∠BAD.
【思维教练】要证AC平分∠BAD，连接OC，可得到AD∥CO，由平行线的性质进行等量代换即可得到∠DAC＝∠CAO.
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连接BD、AD.求证：∠BDC＝∠A.
【思维教练】连接OD，利用切线的性质和圆周角定理进行等角代换，进而得到∠BDC＝∠A.
【提分要点】证明两角相等的方法：1. 在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等证明；2. 利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角证明．3. 以上两种方法常结合使用．
突破设问三 证明线段的位置关系
5. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.求证：DF⊥AC.
【思维教练】要证DF⊥AC，即证∠CFD＝90°.连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF＝90°，再由BD＝CD，OA＝OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得∠CFD＝∠ODF＝90°.
【提分要点】证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等，内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90°，从而得证．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E，F.求证：EF∥BC.
【思维教练】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AE∥OD，由切线的性质和平行线的性质可得∠E＝∠ACB＝90°，即可得到EF∥BC.
【提分要点】证明线段平行的方法：根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补等方法，通过角度间等量代换找到相应的角之间的关系即可证明．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F.若OA＝3，DF＝4，求CF的长．
【思维教练】要求CF的长，题中无特殊角，且已知线段与所求线段无直接联系，故考虑利用相似三角形求解．结合EF是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换为证相似创造条件．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【思维教练】结合DE是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换证得∠ADE＝∠A，故AE＝DE，AC＝2DE＝10，然后将BC放在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用勾股定理列方程求解即可．
9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD.过点C作⊙O的切线CG，交AB的延长线于点G.若GE＝8，求⊙O的半径．
【思维教练】连接AC、OC，根据垂径定理可得△ADC为等边三角形，再根据圆周角定理求得相关角的度数，进而利用锐角三角函数可求得⊙O的半径．
【提分要点】陕西中考中，圆的综合题第2问在涉及求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此常考虑从以下方面来找突破口：1.勾股定理，2.锐角三角函数，3.相似三角形．若题目中含有30°，45°，60°特殊角，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解(陕西多结合相似三角形来考查)．通常利用相似三角形求解线段长度的一般步骤为：已知一组相等角→寻找一对相等锐角→得到相似三角形→写出相似比→代入已知量→得出所求线段长．
突破设问五 切线的判定
10. 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧 的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE.求证：AC是⊙O的切线．
【思维教练】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．
点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
1. 定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．2. 性质：圆的切线________于过切点的半径．3. 判定方法：(1)“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长．
4. 切线长及定理(*选学内容)(1)定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长，如图，线段PA、PB；(2)定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有PA＝PB，∠APO＝______＝ ∠APB.
1. 定义：与三角形各边都相切的圆．2. 圆心：内心(三角形的内切圆圆心或三角形____________的交点)．3. 性质：三角形的内心到三角形________的距离相等．
【提分要点】直角三角形内切圆的半径：r＝ (a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边)．
1. 如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与点A、C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交过点C的切线于点D.求证：DC＝DP.
突破设问一 证明线段的数量关系
【思维教练】要证DC＝DP，根据等角对等边，只需证∠DPC＝∠PCD，已知PE⊥AB，且CD与⊙O相切，则可连接OC.通过两角互余的性质及等角对等边的性质进行等量代换，从而得证．
2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，OP⊥BC于点D，交⊙O于点E.求证：PB·AC＝AB·CD.
【思维教练】注意利用OP⊥BC于点D，得到CD＝BD.已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，可得到直角，再进行等角代换得到相等角，进而得到四条线段所在的两个三角形相似，列出比例式即可得到所求关系式．
证明：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∠C＝90°，∴∠PBC＋∠ABC＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠PBC＝∠A，∴∠PBC＝∠A，
【提分要点】运用切线的性质进行证明或计算时，常作的辅助线有连接圆心与切点得垂直．1. 证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；(3)若所证两线段在不共线但有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明．2. 遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论．
突破设问二 证明角度相等
3. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D.求证：AC平分∠BAD.
【思维教练】要证AC平分∠BAD，连接OC，可得到AD∥CO，由平行线的性质进行等量代换即可得到∠DAC＝∠CAO.
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连接BD、AD.求证：∠BDC＝∠A.
【思维教练】连接OD，利用切线的性质和圆周角定理进行等角代换，进而得到∠BDC＝∠A.
【提分要点】证明两角相等的方法：1. 在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等证明；2. 利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角证明．3. 以上两种方法常结合使用．
突破设问三 证明线段的位置关系
5. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.求证：DF⊥AC.
【思维教练】要证DF⊥AC，即证∠CFD＝90°.连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF＝90°，再由BD＝CD，OA＝OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得∠CFD＝∠ODF＝90°.
【提分要点】证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等，内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90°，从而得证．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E，F.求证：EF∥BC.
【思维教练】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AE∥OD，由切线的性质和平行线的性质可得∠E＝∠ACB＝90°，即可得到EF∥BC.
【提分要点】证明线段平行的方法：根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补等方法，通过角度间等量代换找到相应的角之间的关系即可证明．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F.若OA＝3，DF＝4，求CF的长．
【思维教练】要求CF的长，题中无特殊角，且已知线段与所求线段无直接联系，故考虑利用相似三角形求解．结合EF是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换为证相似创造条件．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【思维教练】结合DE是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换证得∠ADE＝∠A，故AE＝DE，AC＝2DE＝10，然后将BC放在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用勾股定理列方程求解即可．
9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD.过点C作⊙O的切线CG，交AB的延长线于点G.若GE＝8，求⊙O的半径．
【思维教练】连接AC、OC，根据垂径定理可得△ADC为等边三角形，再根据圆周角定理求得相关角的度数，进而利用锐角三角函数可求得⊙O的半径．
【提分要点】陕西中考中，圆的综合题第2问在涉及求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此常考虑从以下方面来找突破口：1.勾股定理，2.锐角三角函数，3.相似三角形．若题目中含有30°，45°，60°特殊角，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解(陕西多结合相似三角形来考查)．通常利用相似三角形求解线段长度的一般步骤为：已知一组相等角→寻找一对相等锐角→得到相似三角形→写出相似比→代入已知量→得出所求线段长．
突破设问五 切线的判定
10. 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧 的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE.求证：AC是⊙O的切线．
【思维教练】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．
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