2022年中考数学专题复习类型七 与面积有关的探究题（解析版）

这是一份2022年中考数学专题复习类型七 与面积有关的探究题（解析版），共9页。
类型七 与面积有关的探究题【典例1】已知，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合)，线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.(1)如图①，当AC＝BC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是________；(2)如图②，当AC＝BC，点P在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若＝，点P在线段CB的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面积．第1题图【答案】解：(1)PB＝2CM；【解法提示】如解图①，过点Q作QD⊥AC于点D，第1题解图①QE⊥BC交BC的延长线于点E.∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°，∴∠QAD＝∠APC，∴△ACP≌△QDA(AAS)，∴AC＝QD＝CE，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝EC，即点C为BE的中点，∴CM＝QE，即QE＝2CM，连接AE，∵AC＝CE＝BC，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ，又∵AP＝AQ，∴△APB≌△AQE(SAS)，∴BP＝QE＝2CM，∴PB＝2CM；(2)(1)中的结论PB＝2CM仍然成立； 证明：如解图②所示，过点Q作QG⊥BC交BC的延长线于点G，过点A作AF⊥QG交QG的延长线于点F.第1题解图②∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°，∴∠PAC＝∠QAF，∴△PAC≌△QAF(AAS)，∴AC＝AF，∴四边形AFGC为正方形，∴CG＝AC＝BC，即C为BG的中点，∴QG＝2CM，连接AG可得，△ABG为等腰直角三角形，∴AB＝AG，∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°，∴∠PAB＝∠QAG，∴△PAB≌△QAG(SAS)，∴PB＝QG＝2CM，∴PB＝2CM；(3)    如解图③所示，过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H.第1题解图③由题知，＝，设AC＝5a，BC＝2a，由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a，又∵△BCM∽△QHM，∴＝，∴＝，∴MH＝5，又∵AP＝AQ＝13，∴在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：QH2＋AH2＝AQ2，∴(5a)2＋(5a＋2＋5)2＝132，化简得：5a2＋7a－12＝0，即(a－1)(5a＋12)＝0，解得：a1＝1，a2＝－(舍)，∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5，∴BP＝PC－BC＝12－2＝10，∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.【典例2】如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．  （1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）（2）∵S△OMP =×OM×，∴S =×（6 -t）×=+2t．   ＝（0 < t <6）．∴当时，S有最大值．（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得∴直线ON与MT的交点R的坐标为．【典例3】如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面积为，AD＝．【解析】【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；（3）过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．【详解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如图2，过点A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．【典例4】阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．①若正方形的边长为4，求的长度；②若，求正方形的面积．【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．【解析】【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.【详解】（1）连接DE，如图，∵点O是的重心，，是，C边上的中线，为，边上的中点，为的中位线，，，，，，，，；（2）由（1）可知，是定值；是定值；（3）①∵四边形ABCD是正方形，，，为CD的中点，，即；②，且∴，，，，，又∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．