2022年中考数学专题复习类型四 二次函数与角度有关的问题（解析版）

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（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；
（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，,
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．
【详解】
（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，
，
解得，
，
当时，y=4，
（2）
令或x=3
设BC的解析式为
将点代入，得
，
解得，
设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，
将点E坐标代入中，得，
把x=m代入
即
解得m=2或m=-3
∵点E是BC上方抛物线上的点
∴m=-3舍去
∴点
（3）过点A作AN⊥HB，
∵点
∵点，点
设，把（-1，0）代入，得b=
设点
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR
且点S的坐标为
若
在和中，
或
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．
【典例2】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N．
（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接，C为抛物线上一点，且位于线段的上方，过C作垂直x轴于点D，交于点E，若，求点C坐标；
（3）已知点，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当时，求抛物线的解析式．

【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）．
【解析】
【分析】
（1）把代入即可求解；
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
【详解】
（1）把代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为；
（2）设C（t, ）,则E（t, ）,
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E（t, ）在直线AB上
∴=t+4
解得t=-2（舍去正值），
∴C（-2,4）；
（3）由=k（x-2）-x2,
当x-2=0即x=2时，y=-4
故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）
二次函数的顶点为N（）
1°如图，过H点做HI⊥x轴，若＞2时，则k＞4
∵，H（2，-4）
∴MI=，
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2，或k=4（舍）
2°如图，若＜2，则k＜4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH，即
解得k=4不符合题意；
3°若=2，N、H重合，舍去．
∴k=4+2
∴抛物线的解析式为．
【典例3】已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.
求此抛物线的解析式；
（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.
【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），
∴设点D的坐标为(x，3) ．
∵直线y= x+5经过D点，
∴3= x+5．∴x=－2．
即点D(－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），
又∵直线y= x+5经过M点，
∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．
∴设抛物线的解析式为．
∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．
即抛物线的解析式为．
（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．
由（1）中抛物线可得
点A（－3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=．
∴∠PAB＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．
∴PC=AC－PA=．
在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．
在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
tan∠NAM==2．
∴∠BCP＝∠NAM．
即∠ACB＝∠MAB．
【典例4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）∵过点M、N（2，－5），，
由题意，得M（，）.
∴
解得
∴此抛物线的解析式为.
（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则.
∴D1（，），（，）.
直线MD1为，直线为.
将P（x，）分别代入直线MD1，
的解析式，
得①，②.
解①得 ，（舍），
∴（1,0）.
解②得 ，（舍），
∴（3,－12）.
（3）设存在点Q（x，），
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则.
即.
解得，（舍）.
∴（，3）.
② 若点Q在MN下方，
同理可得（6，）.
【典例5】平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．

【答案】图9
（1）∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴ 点B的坐标为，OB＝3．
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵ 、都是弧AB所对的圆周角，
∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．
∴ 点E的坐标为．
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．
由对称性得点的坐标为．
∴符合题意的点P的坐标为、.
（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，
可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）
若设与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．
∵ ，
∴
作⊥x轴于点N．
∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，
∴ ，．
∴ 点的坐标为．
∵ 点Q在线段BD上，
∴ 设点Q的坐标为，其中．
∵ ，
∴ 由勾股定理得 ．
解得．
经检验，在的范围内．
∴ 点Q的坐标为．
此时．
【典例6】已知，抛物线与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小；
（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）
【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=．
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=∠DMF=45°．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得m=-．
【典例7】如图，抛物线，与轴交于点，且．
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，
的值．
【答案】解：（I），且．
．
代入，得
（II）①当可证∽
．
②同理: 如图当
③当
综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．
（III）．．
∴．
．
．
又．．
．
【典例8】如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．

图（1）
备用图
【答案】⑴解：由题意知：
解得：
∴抛物线的解析式为：
⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）
∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上
∴C点坐标为(－4，－4)
设直线BD解析式为：
有：，∴
∴BD解析式为
∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）
过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°
∴△CEB≌△BOA(SAS)
∴CB=AB, ∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示，
∵A′B′∥AB
∴∠OA′B′=∠BAO
易证:∠ECA′=∠OA′B′
图1
∴∠ECA′=∠BAO
∵tan∠BAO=
∴tan∠ECA′=
∴EA′=2
∴A′坐标为(－2,0)
∴直线l解析式为-
②当∠A′CB′=90°时，如图2所示，
图2
过点C作CE⊥轴于点E，
易证△A′FC≌△B′EC
∴A′F=B′E
∴由①tan∠B′A′O=
∴设B′坐标为（0，n）
∴有
∴
B′坐标为（0，）
∴直线l解析式为
【典例9】已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；
（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．
【答案】解：
（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分
（2）由得，
∴B（），C（）
B（）关于抛物线对称轴的
对称点为
可得直线的解析式为，
由，可得
∴
（3）当在抛物线上时，可得，，
当在抛物线上时，可得，，
舍去负值，所以t的取值范围是．