2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷（理）人教A版

这是一份2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷（理）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. sin11π3的值为( )
A.−12B.12C.−32D.32

2. 关于平面向量a→，b→，c→，下列结论正确的是( )
A.b→⋅a→=b→⋅c→，则a→=c→
B.a→⋅b→=0，则a→与b→中至少有一个为0→
C.a→⋅b→c→=b→⋅c→a→
D.|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|，则a→//b→

3. 在四边形ABCD中，AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形B.平行四边形C.梯形D.无法判断

4. 点P为圆x2+y2=4与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周顺时针旋转至点P′，当转过的弧长为23π时，点P′的坐标为( )
A.1,3B.1,−3C.−1,−3D.12,−32

5. 已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量AB→在BC→上的投影是( )
A.−1B.1C.−3D.3

6. 为了得到y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=cs2x，x∈R图象上所有的点( )
A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度

7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0，A，φ∈R）的部分图象如图所示，那么fπ4=( )

A.6+24B.12C.22D.32

8. 在△ABC中，若tanA⋅tanB>1，则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法判断

9. AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE→=3EO→，则EC→⋅ED→=( )
A.−45B.−1516C.−14D.−58

10. 已知函数fx=|csx|+|sinx|，下列结论正确的是( )
A.函数fx的最小正周期为π2，最小值为1
B.函数fx的最小正周期为π，最小值为0
C.函数fx的最小正周期为π2，最大值为2
D.函数fx的最小正周期为π，最大值为2

11. 函数fx=sinπx−lg5x的零点的个数为( )
A.3B.4C.5D.6

12. 已知向量a→≠e→，|e→|=1，对任意t∈R，恒有|a→−te→|≥|a→−e→|，那么( )
A.a→⊥e→B.a→⊥(a→−e→)
C.e→⊥(a→−e→)D.(a→+e→)⊥(a→−e→)
二、填空题


sin15∘+sin75∘=________．

已知向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，那么|a→−b→|=________.

若函数fx=2sinx+π4+msinx−π4是偶函数，则m=________.

已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么PA→⋅PB→的最小值为________．
三、解答题


(1)已知向量a→=1,−1，b→=6,−4．若a→⊥ta→+b→，求实数t的值；

(2)若向量m→，n→不共线，向量λm→+n→与m→+2n→共线，求实数λ的值．

已知sinθ−csθ=15，θ∈0,π．
(1)求sinθ，csθ的值；

(2)求sin2θ−π4的值．

如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，BG→=12GC→．设AB→=a→，AF→=b→.

(1)用a→，b→分别表示AO→及AG→；

(2)求|AG→|及AD→与AG→夹角θ的余弦．

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m→=−1,3，n→=csA,sinA，且m→⊥n→.
(1)求角A；

(2)若1+sin2Bcs2B−sin2B=−3，求tanC．

已知fx=2sinxsinx+csx．
(1)求函数fx的单调递增区间及最大值；

(2)用“五点法”画出函数y=fx在区间0,π上的图象．

已知向量a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，且x∈[0, π2].
(1)求a→⋅b→及|a→+b→|；

(2)若f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|的最小值是−32，求λ的值．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷（理）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式化简求值即可．
【解答】
解：sin11π3=sin(4π−π3)=sinπ3=−32．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
利用向量数量积的运算法则逐项求解即可.
【解答】
解：对于A，若b→=0→，则结论不一定成立，故错误；
对于B，a→⊥b→时，也有a→⋅b→=0，故错误；
对于C，a→⋅b→结果为数量，b→⋅c→结果也为数量，则结论不成立，故错误；
对于D，|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|cs=|a→|⋅|b→|，
所以cs=1，a→//b→，故正确.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
【解析】
由向量的知识可得AD→ // BC→，AB→与CD→不平行，进而可得四边形ABCD是梯形．
【解答】
解：∵ AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，
∴ AD→=AB→+BC→+CD→=−8a→−2b→=2(−4a→−b→)=2BC→，
∴ AD→ // BC→，
同理，得AB→与CD→不平行，
∴ 四边形ABCD是梯形．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
利用三角函数定义求解即可.
【解答】
解：由题意可得点P坐标为2,0，
沿圆周顺时针方向运动2π3弧长到达P′点，
则∠P′Ox=4π3，
由任意角的三角函数公式，得x=2×cs4π3=1，
y=2×sin4π3=−3.
所以点P′的坐标为1,−3.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
由题意可知，AB在BC上的投影为AB→cs120∘，代入可求．
【解答】
解：因为△ABC的边长为2，∠B=60∘，
所以AB→在BC→上的投影为AB→cs120∘=2×−12=−1.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用诱导公式以及y=Asinωx+φ的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：将函数gx=cs2x，x∈R的图象向右平移π4个单位，
得函数y=cs2x−π4=sin2x，x∈R的图象.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图，得fxmax=1，则A=1，
∵ T4=π3−π12=π4，
∴T=π，
又T=2πω，
∴ω=2πT=2ππ=2，
∴fx=sin2x+φ.
又fπ12=0，fπ3=1，
即sinπ6+φ=0，sin2π3+φ=1，
∴φ=−π6+kπ，φ=−π6+2kπ ，k∈Z，
∴ φ=−π6+2kπ，k∈Z，
∴fx=sin2x−π6+2kπ=sin2x−π6，
∴fπ4=sin2×π4−π6=sinπ3=32.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的正切公式
【解析】
由条件可得A、B都是锐角，tanA>0，tanB>0，再由 tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，可得A+B为钝角，C为锐角，与偶此得出结论．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，满足tanA⋅tanB>1，
∴ A，B都是锐角，
∴ tanA>0，tanB>0．
又tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，
∴ A+B为钝角，
∴ 由三角形内角和公式可知，C为锐角，
∴ △ABC是锐角三角形．
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
利用向量EO→,OC→表示EC→′,ED→，再求数量积，再由向量的平方即为向量模的平方，结合向量共线定理，即得结果．
【解答】
解：如图，
因为AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，
AE→=3EO→，OD→=−OC→ ，
所以EO→=14AO→，
所以EC→⋅ED→=(EO→+OC→)⋅(EO→+OD→)
=(EO→+OC→)⋅(EO→−OC→)
=EO→2−OC→2
=116−1=−1516.
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
【解析】
直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用及利用整体思想的应用判断即可．
【解答】
解：因为fx+π2=|sinx+π2|+|csx+π2|
=|csx|+|sinx|=fx，
所以x=π2是fx的一个周期.
当x∈0,π2时，x+π4∈π4,3π4，
fx=sinx+csx=2sinx+π4，
所以fx=2sinx+π4∈1,2，
由函数的周期性可知，fx的值域为1,2，
即最大值为2，最小值为1.
故选A.
11.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数的零点
【解析】
利用数形结合方法求解即可.
【解答】
解：函数y=sinπx和y=lg5x的图象如图，
由图可得，交点个数为5个，
即函数fx=sinπx−lg5x的零点个数为5.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
对|a→−t e→|≥|a→−e→|两边平方可得关于t的一元二次不等式 t2−2a→⋅e→t+2a→⋅e→−1≥0，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
【解答】
解：已知向量 a→≠e→，|e→|=1，
对任意t∈R，恒有|a→−t e→|≥|a→−e→|，
即|a→−t e→|2≥|a→−e→|2，
∴ t2−2a→⋅e→t+2a→⋅e→−1≥0，
即 Δ=(2a→⋅e→)2−4(2a→⋅e→−1)≤0，
即(a→⋅e→−1)2≤0，
∴ a→⋅e→−1=0，a→⋅e→−e→2=0，
∴ e→⋅(a→−e→)=0.
e→⊥(a→−e→).
故选C．
二、填空题
【答案】
62
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】
解：sin15∘+sin75∘
=sin15∘+cs15∘
=2(sin15∘cs45∘+cs15∘sin45∘)
=2sin60∘=62．
故答案为：62.
【答案】
3
【考点】
向量的概念与向量的模
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
利用向量数量积运算求得a→⋅b→=−12，再求模长即可.
【解答】
解：根据题意，向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，
则a→+b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1，
解得a→⋅b→=−12，
所以a→−b→=a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2
=1−2×−12+1=3.
故答案为：3.
【答案】
−2
【考点】
诱导公式
正弦函数的奇偶性
【解析】
利用偶函数的定义求解.
【解答】
解：∵fx=2sinx+π4+msinx−π4为偶函数，
∴f−x=2sin−x+π4+msin−x−π4
=2sin[−(x−π4)]+msin[−(x+π4)]
=−2sinx−π4−msinx+π4
=−msinx+π4−2sinx−π4
=2sinx+π4+msinx−π4
=fx，
∴m=−2.
故答案为：−2.
【答案】
−3+22
【考点】
平面向量数量积的运算
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出PA→⋅PB→；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．
【解答】
解：设PA与PO的夹角为α，则|PA|=|PB|=1tanα
y=PA→⋅PB→=|PA→||PB→|cs2α
=1(tanα)2⋅cs2α=cs2αsin2α⋅cs2α
=1+cs2α1−cs2α⋅cs2α，
记cs2a=u．
则y=u(u+1)1−u=(−u−2)+21−u
=−3+(1−u)+21−u≥−3+2(1−u)×21−u=−3+22，
即PA→⋅PB→的最小值为−3+22.
故答案为：−3+22.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，
∴ ta→+b→=6+t,−4−t.
∵ a→⊥ta→+b→，
∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，
解得t=−5．
(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，
∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．
即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．
∵ m→与n→不共线，
∴ λ−x=0,1−2x=0,
∴ λ=12．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平行向量的性质
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，
∴ ta→+b→=6+t,−4−t.
∵ a→⊥ta→+b→，
∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，
解得t=−5．
(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，
∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．
即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．
∵ m→与n→不共线，
∴ λ−x=0,1−2x=0,
∴ λ=12．
【答案】
解：(1)∵ sinθ−csθ=15，
两边平方，得2sinθcsθ=2425．
∵ θ∈0,π，
∴ sinθ≥0，csθ的正负不确定，
∴ sinθ+csθ=±1+2sinθcsθ=75，
设sinθ+csθ=a，
则sinθ=1215+a≥0，
解得a≥−15，
∴ sinθ+csθ=75，
解得sinθ=45，csθ=35.
(2)∵ sinθ=45，csθ=35，
∴ sin2θ=2425，cs2θ=2cs2θ−1=−725，
∴ sin2θ−π4=sin2θcsπ4−cs2θsinπ4
=22sin2θ−cs2θ=31250．
【考点】
三角函数的化简求值
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinθ−csθ=15，
两边平方，得2sinθcsθ=2425．
∵ θ∈0,π，
∴ sinθ≥0，csθ的正负不确定，
∴ sinθ+csθ=±1+2sinθcsθ=75，
设sinθ+csθ=a，
则sinθ=1215+a≥0，
解得a≥−15，
∴ sinθ+csθ=75，
解得sinθ=45，csθ=35.
(2)∵ sinθ=45，csθ=35，
∴ sin2θ=2425，cs2θ=2cs2θ−1=−725，
∴ sin2θ−π4=sin2θcsπ4−cs2θsinπ4
=22sin2θ−cs2θ=31250．
【答案】
解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，
AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.
(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cs120∘=−12，
|AG→|2=43a→+13b→2
=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，
∴ |AG→|=133，
又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，
∴ AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→
=23a→+b→⋅4a→+b→
=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，
∴ csθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，
即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.
【考点】
向量在几何中的应用
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，
AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.
(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cs120∘=−12，
|AG→|2=43a→+13b→2
=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，
∴ |AG→|=133，
又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，
∴ AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→
=23a→+b→⋅4a→+b→
=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，
∴ csθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，
即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.
【答案】
解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=csA,sinA，
∴ m→⋅n→=3sinA−csA=0，
∴ tanA=33．
∵ A∈0,π，
∴ A=π6．
(2)∵ 1+sin2Bcs2B−sin2B=sinB+csB2cs2B−sin2B=csB+sinBcsB−sinB=−3，
∴ 1+tanB1−tanB=−3，
∴ tanB=2．
又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B
=−tanA+tanB1−tanAtanB
=−33+21−233=6+323−3=8+53．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=csA,sinA，
∴ m→⋅n→=3sinA−csA=0，
∴ tanA=33．
∵ A∈0,π，
∴ A=π6．
(2)∵ 1+sin2Bcs2B−sin2B=sinB+csB2cs2B−sin2B=csB+sinBcsB−sinB=−3，
∴ 1+tanB1−tanB=−3，
∴ tanB=2．
又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B=−tanA+tanB1−tanAtanB
=−33+21−233=6+323−3=8+53．
【答案】
解：(1)∵ fx=2sinxsinx+csx
=2sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x+sin2x
=2sin2x−π4+1，
∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，
即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．
当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，
fx取得最大值，fxmax=2+1．
(2)列表如下：
所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
三角函数的最值
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=2sinxsinx+csx
=2sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x+sin2x
=2sin2x−π4+1，
∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，
即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．
当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，
fx取得最大值，fxmax=2+1．
(2)列表如下：
所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.
【答案】
解：(1)∵ a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=cs32xcsx2−sin32xsinx2=cs2x，
∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
且x∈[0, π2]，
∴ 1≥csx≥0，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|
=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，
∵ x∈0,π2，
∴ csx∈0,1，
当λ<0时，当且仅当csx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；
当0≤λ≤1时，当且仅当csx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，
∴ −2λ2−1=−32，
∴ λ=12；
当λ>1时，当且仅当csx=1时，fx取得最小值为1−4λ，
∴ 1−4λ=−32，
∴ λ=58<1，不合题意，舍去．
综上可知，λ=12.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
平面向量数量积坐标表示的应用
向量的模
三角函数的最值
【解析】
（1）利用向量数量积运算及三角函数公式求a→⋅b→，先求出，|a→+b→|2，再求|a→+b→|，
（2）f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，①由此利用分类讨论思想能求出实数λ的值．
【解答】
解：(1)∵ a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=cs32xcsx2−sin32xsinx2=cs2x，
∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
且x∈[0, π2]，
∴ 1≥csx≥0，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|
=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，
∵ x∈0,π2，
∴ csx∈0,1，
当λ<0时，当且仅当csx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；
当0≤λ≤1时，当且仅当csx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，
∴ −2λ2−1=−32，
∴ λ=12；
当λ>1时，当且仅当csx=1时，fx取得最小值为1−4λ，
∴ 1−4λ=−32，
∴ λ=58<1，不合题意，舍去．
综上可知，λ=12.2x−π4
−π4
0
π2
π
3π2
7π4
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
fx
0
1
2+1
1
1−2
0
2x−π4
−π4
0
π2
π
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7π4
x
0
π8
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7π8
π
fx
0
1
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1
1−2
0