专题14 一次函数的应用 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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1．确定一次函数解析式的方法：（1）依据题意中等量关系直接列出解析式；（2）待定系数法．
2．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx（k≠0）中的常数k．确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．（1）设出函数的一般形式．（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组．（3）解方程或方程组求出待定系数的值．（4）将所求得的系数的值代入到一般形式中．
3．确定正比例函数表达式，只需一对x与y的对应值（即已知正比例函数图象上的一个点即可）；确定一次函数的表达式，只需要两对x与y的对应值（即已知一次函数图象上的两个点即可）．
【例1】（2020•北京22/28）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．
【例2】（2019·泸州）一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，4），B（-4，-6），求该一次函数的解析式．
【分析】将点A（1，4），B（-4，-6）代入y=kx+b中，列出关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：把点A（1，4），B（-4，-6）代入y=kx+b中，得： ，解得： ，∴一次函数解析式为：y=2x+2．
【例3】（2019·柳州）己知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米／小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（ ） A． y=4x（x≥0） B． y=4x-3（x≥ ） C． y=3-4x（x≥0） D． y=3-4x（0≤x≤ ）
【解答】解：根据题意得：  全程需要的时间为：3÷4= （小时），∴y=3-4x（0≤x≤ ）．故答案为：D．
一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积：直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，b）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【例4】（2020•陕西7/25）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）A．2B．3C．4D．6
【解答】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，解 得： ，∴A（-3，0），B（-1，2），∴△AOB的面积 ．故选：B．
【例5】（2020•河北24/26）表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′． （1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l：y=kx+b中，当x=-1时，y=-2；当x=0时，y=1，∴ ，解得 ，∴直线l的解析式为y=3x+1；
（2）依题意可得直线l′的解析式为y=x+3如右图，解 得 ，∴两直线的交点为A（1，4），∵直线l′: y=x+3与y轴的交点为B（0，3），∴直线l′被直线l和y轴所截线段的长为： ；
（3）把y=a代入y=3x+1得，a=3x+1，解得 ；把y=a代入y=x+3得，a =x+3，解得x = a -3；分三种情况：①当第三点在y轴上时， ，解得 ；②当第三点在直l上时， ，解得a =7；
③当第三点在直线l′上时， ，解得 ；∴直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为 或7或 ．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
【例6】（2019·沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B． （1）k的值是________； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上． ①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求□OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
【解答】 （1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4， 解得： ． （2）①由（1）可知直线AB的解析式为 ． 当x＝0时， ，∴点B的坐标为（0，4），∴OB＝4．∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝ OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．∵四边形OCED是平行四边形，∴CE∥DA，∴ ，∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝ OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE＝ =2 ，∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 ．
②设点C的坐标为（x， x+4），则CE＝|x|，CD＝| x+4|，∴S△CDE＝ CD•CE＝| x2+2x|＝ ，∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．方程x2+8x+33＝0无解；解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）．
1．一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答．利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；（3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围．
【例7】（2020•吉林23/26）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为　　L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10=3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：(30-5)÷(60-10)=0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y=ax+b， ，解得： ，即机器工作时y关于x的函数解析式为y=-0.5 x +35（10＜x≤60）；
（3）当3x=30÷2时，得x =5，当-0.5 x +35=30÷2时，得x =40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【例8】（2020•福建20/25）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100- x）吨，10 x +(100- x)×1=235，解得，x =15，∴100- x =85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w=(10.5-10)a+(1.2-1)×(100-a)=0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a=20时，w取得最大值，此时w =26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
【例9】（2020•包头23/26）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元．已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元根据题意得： ，解得： ，答：A种商品的销售单价是140元，B种商品的销售单价是180元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（60﹣a）件，设总获利为w元，根据题意得：110a+140（60﹣a）≤7800，解得：a≥20，w＝（140﹣110）a+（180﹣140）（60﹣a）＝﹣10a+2400，∵﹣10＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝20时，w有最大值；答：商店购进A种商品20件，购进B种商品40件时，总获利最多．【点评】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式的综合运用，重点掌握解应用题的步骤．难点是正确列出相等关系和不等量关系．
【例10】（2020•新疆兵团21/23）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设A款保温杯的单价是a元，则B款保温杯的单价是(a+10)元， ，解得，a=30，经检验，a=30是原分式方程的解，则a+10=40，答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；
（2）设购买A款保温杯x个，则购买B款保温杯(120-x)个，利润为w元，w=(30-20) x+[40×(1-10%)-20]×(120-x)=-6x+1920，∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，∴x≥2(120-x)，解得，x≥80，∴当x=80时，w取得最大值，此时w=1440，120-x=40，答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1440元．【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．