专题16 二次函数及其应用 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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2021年中考数学一轮专题复习16 二次函数及其应用
1.二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．
2. 二次函数的解析式： 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
【例1】（2019·甘肃）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1．【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
1.二次函数的图象：二次函数的图象是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线．（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线 ，顶点是（ ， ）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
2.二次函数图象的画法：五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
3.二次函数的性质： 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；b与对称轴有关：对称轴为 ；c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．
【例2】（2020•广东7/25）把函数y=(x-1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A．y=x2+2 B．y=(x-1)2+1 C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-1)2+3
【分析】先求出y=(x-1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y=(x-1)2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=(x-2)2+2．故选：C．
【例3】（2020•呼和浩特7/24）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a=-5B．当x=12时，y有最小值a-9 C．x=2对应的函数值比最小值大7 D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【解答】解：A、将二次函数 向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为： ，若过点（4，5），则 ，解得：a=-5，故选项正确；B、∵ ，开口向上，∴当x=12 时，y有最小值a-9，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-(a-9)=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、 ，当a＜0时，9-a＞0，即方程 有两个不同的实数根，即二次函数图象x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C．
【例4】（2019•呼和浩特3/25）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．
二次函数的最值：（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 时， ．（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看 是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大= ax12+bx1+c ，当x=x2时，y最小= ax22+bx2+c ．
【例5】（2020•安徽22/23）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y=x+m上，理由如下：∵直线y=x+m经过点A（1，2），∴2= 1+m，解得m=1，∴直线为y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，∴点B（2，3）在直线y=x+m上；
（2）∵直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y=ax2+bx+1得 ，解得a=-1，b=2；
（3）由（2）知，抛物线为y=-x2+2x+1，设平移后的抛物线为y=-x2+px+q，其顶点坐标为（ ， ），∵顶点仍在直线y=x+1上，∴ ，∴ ，∵抛物线y=-x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，∴ ，∴当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
1.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的 =b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．当 >0时，图象与x轴有两个交点；当 =0时，图象与x轴有一个交点；当 <0时，图象与x轴没有交点．①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有 实数根．
2.二次函数与不等式的关系:（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
【例6】（2020•呼和浩特6/24）已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为（ ） A．0 B．-1 C． D．
【解答】解：∵二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x =0，即y轴，则 ，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0为-4x2+1=0，则两根之积为 ，故选：D．
【例7】（2019•呼和浩特16/25）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是　 　．
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，∴ ＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0， ∴﹣6＜b＜6.故答案为﹣6＜b＜6.
二次函数的应用问题求解思路：建立 二次函数 模型→求出二次函数 解析式 →结合函数解析式、函数性质做出解答．
【例8】（2020•兴安盟•呼伦贝尔25/26）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：y=500-10(x-50)=1000-10x，w=(x-40)(1000-10x)=-10x2+1400x-40000；（2）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000，解得：x1=60，x2=80，当x=60时，成本=40×[500-10(60-50)]=16000＞10000不符合要求，舍去，当x=80时，成本=40×[500-10(80-50)]=8000＜10000符合要求，∴销售价应定为每件80元；
（3）w=-10x2+1400x-40000，当x=70时，w取最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
巩固训练及详细解析见学案．