初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课后复习题

《12.3 角的平分线的性质》课时提升训练习题2020-2021学年人教版数学八（上）

一．选择题（共12小题）

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，且AE＝DE，BD平分∠EBC（　　）

A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 

C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB

2．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，若PD＝3，则PE的最小值（　　）

A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．无法确定

3．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　）

A．35° B．125° C．55° D．135°

4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC 的三条中线的交点 

B．△ABC 三边的垂直平分线的交点 

C．△ABC 三条角平分线的交点 

D．△ABC 三条高所在直线的交点

5．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：

①在∠B的平分线上；

②在∠DAC的平分线上；

③在∠ECA的平分线上；

④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．

上述结论中，正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，则点D到AB的距离是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处 

B．在AC、BC两边中线的交点处 

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

10．如图，△ABC中，∠C＝90°，CM＝20cm，那么M到AB的距离是（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm

11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，则P点是（　　）

A．线段CD的中点 

B．OA与OB的中垂线的交点 

C．OA与CD的中垂线的交点 

D．CD与∠AOB的平分线的交点

12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4

二．填空题（共10小题）

13．如图，OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M，点N是射线OB上的动点，则线段PN的最小值为　 　．

14．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，CE＝2BF，，连接BE，　 　．

15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，CD＝4　 　．

16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，那么△DEB的周长是　 　cm．

17．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，AC＝12cm，则△APC的面积是　   　cm2．

18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，BD＝4　 　．

19．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD＝5，BC＝4　 　．

20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OD⊥BC于D，且OD＝4　   　．

21．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，∠CED＝35°，则∠EAB是　   　度．

22．下列语句表示的图形是（只填序号）

①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：　    　．

②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：　    　．

③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：　    　．

三．解答题（共6小题）

23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是E，F

24．已知△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．

（1）∠B＝50°，∠C＝70°，求∠EDA的度数；

（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3△ABC．

25．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，且DB＝DC，

求证：AD是∠BAC的平分线．

26．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，若AB＝AC．

求证：AD平分∠BAC．

27．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，F在AC上，BD＝DF

（1）CF＝EB．

（2）AB＝AF+2EB．

28．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．

参考答案

一．选择题（共12小题）

1．解：A．∵AE＝DE，

∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；

B．∵BD平分∠EBC，

∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；

C．∵BD平分∠EBC，

∴∠2＝∠3，

但不能推出∠8、∠3和∠1相等；

D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，

∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；

故选：C．

2．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，

∴PH＝PD＝3，

∵点E是射线OB上的一个动点，

∴点E与H点重合时，PE有最小值．

故选：A．

3．解：∵∠A＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，

∵点O到△ABC三边的距离相等，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝55°，

∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°，

故选：B．

4．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，

∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC ．

故选：C．

5．解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．

故选：D．

6．解：

∵垂线段最短，

∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，

又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，

∴PQ＝PA＝2，

故选：B．

7．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，

∴DE＝CD＝3，

即点D到直线AB的距离是3．

故选：C．

8．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD，

∴S△ABD＝AB•DE＝，

解得DE＝3，

∴CD＝6．

故选：A．

9．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A．

故选：C．

10．解：如图，过点M作MN⊥AB于N，

∵∠C＝90°，AM平分∠CAB，

∴MN＝CM，

∵CM＝20cm，

∴MN＝20cm，

即M到AB的距离是20cm．

故选：C．

11．解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．

故选：D．

12．解：作EF⊥BC于F，

∵S△BCE＝10，

∴×BC×EF＝10，即，

解得，EF＝4，

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，

∴DE＝EF＝2，

故选：D．

二．填空题（共10小题）

13．解：

当PN⊥OB时，线段PN的值最小，

∵OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA，PM＝3，

∴PN＝PM＝3，

即PN的最小值是4，

故答案为：3．

14．解：∵∠CBF＝∠BCE，

∴可以假设∠BCE＝8x，则∠CBF＝5x，

∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，

∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，

∵AD∥BF，

∴∠A+∠ABF＝180°，

∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，

∴6y+13x＝180°①，

∵∠DEC＝115°，

∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65° ②，

由①②解得，

∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，

∴∠CFB＝90°，

∴BF⊥EC，

∴CE＝2BF，设BF＝m，

∵S△BCE＝•EC•BF＝，

∴×2m×m＝，

∴m＝或﹣，

∴CE＝2m＝6，

故答案为5．

15．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，

∴点D到AB的距离为4．

故答案为：4．

16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，

∴∠CAD＝∠BAD，∠C＝∠AED．

又∵AD＝AD，

∴△CAD≌△EAD，

∴AC＝AE，CD＝DE．

∵AC＝BC，

∴BC＝AE，

∴△DEB的周长为DB+DE+EB＝DB+CD+EB＝CB+BE＝AE+BE＝8cm．

故答案为：8．

17．解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC＝90°，

∴点P到AC的距离等于5cm，

∵AC＝12cm，∴△APC的面积＝12×5÷7＝30cm2，

故答案为30．

18．解：∵BC＝6，BD＝4

∴CD＝8

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB

∴点D到AB的距离＝CD＝2．

故填2．

19．解：如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，BD＝5，

∴由勾股定理得：CD＝3，

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴DE＝DC＝7，

即点D到AB的距离是3．

故答案为：3．

20．解：

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OE＝OD，OD＝OF，

即OE＝OF＝OD＝4，

∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC

＝×AB×OE+×BC×OD

＝×4×（AB+AC+BC）

＝×4×21＝42，

故答案为：42．

21．解：过点E作EF⊥AD，

∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，

∴CE＝EB＝EF，

又∵∠B＝90°，且AE＝AE，

∴△ABE≌△AFE，

∴∠EAB＝∠EAF．

又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，

∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，

∴∠CDA＝110°，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴DC∥AB，

∴∠CDA+∠DAB＝180°，

∴∠DAB＝70°，

∴∠EAB＝35°．

故答案为：35．

22．解：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；

②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；

③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．

故答案为：（3），（2）．

三．解答题（共6小题）

23．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE＝DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

24．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠BAC＝，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA＝90°，

∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）如图，过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DF＝DE＝3，

又∵AB＝10，AC＝7，

∴S△ABC＝×AB×DE+×10×3+．

25．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED＝∠CFD，

∴△BDE与△CDF是直角三角形，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE＝DF，

∴AD是∠BAC的平分线．

26．解：方法一：连接BC，

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，

∴∠CFB＝∠BEC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

在△BCF和△CBE中

∵

∴△BCF≌△CBE（AAS），

∴BF＝CE，

在△BFD和△CED中

∵，

∴△BFD≌△CED（AAS），

∴DF＝DE，

∴AD平分∠BAC．

方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，得到∠FAD＝∠EAD．

27．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，

∴DE＝DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，

∴CD＝DE．

在Rt△ADC与Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AC＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．

28．证明：在△ABD和△CBD中，AB＝BC（已知），

∠ABD＝∠CBD（角平分线的性质），

BD＝BD（公共边），

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）；

∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM＝PN（角平分线的性质）．