2020-2021学年江西省上饶市高一（下）6月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）6月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点−3,4，则csθ=（ ）
A.45B.35C.−35D.−45

2. 已知非零向量a→，b→满足|b→|=2|a→|，且a→−b→⊥3a→+2b→，则a→与b→的夹角为（ ）
A.45∘B.135∘C.60∘D.120∘

3. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB=12.6cm，∠ACB=2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为( )（单位：cm）

A.12.6B.4πC.4.2πD.4.3π

4. 在△ABC中，已知b=2，B=45∘，c=6，则角C为（ ）
A.60∘B.150∘C.60∘或120∘D.120∘

5. 设等差数列an的前n项和为Sn，若a1+4=a2+a5，则S11=（ ）
A.28B.34C.40D.44

6. 圆O：x2+y2=9与圆O1：x−22+y−32=16 交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A.6B.5C.67813D.123913

7. 在空间直角坐标系中，已知点A3,1,2，B−1,−2,1及动点Mx,y,0，则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A.26B.34C.52D.41+612

8. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若△ABC的面积S△ABC=c2−a2−b24，则C=（ ）
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6

9. 在四边形ABCD中， AB//CD，设AC→=λAB→+μAD→λ,μ∈R，若λ+μ=43，则|CD||AB|=（ ）
A.23B.12C.13D.14

10. 已知α∈(π2, π)，sinα+csα=−15，那么tan(α+π4)的值为( )
A.−17B.17C.−7D.7

11. 已知函数fx=tanx−sinxcsx，则( )
A.fx的最小正周期为2πB.fx的图象关于y轴对称
C.fx的图象不关于π2,0对称D.fx的图象关于π,0对称

12. 已知数列an满足a1=1， an−an+1=anan+1n+1n+2n∈N∗，则nan的最小值是（ ）
A.25B.34C.1D.2
二、填空题

点P是直线y=kx−4上一动点，过点P作圆C:x2+y2−2y=0的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则实数k的值为________.
三、解答题

已知a→=(1, 0)，b→=(2, 1).
(1)当k为何值时，ka→−b→与a→+2b→共线？

(2)若AB→=2a→+3b→，BC→=a→+mb→且A、B、C三点共线，求m的值．

已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为边BC上的一点，∠DAC=90∘，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求△ABD的面积及BD的长．
条件①AB=6；
条件②cs∠BAC=−13；
条件③CD=36.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．


已知向量a→=sinx,3csx ，b→=3csx,−csx，函数fx=a→⋅b→+32.
(1)求函数y=fx图像的对称轴方程；

(2)若x∈0,3π4，求函数y=fx的值域．

已知sin(2α+β)=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f(x).
(1)求证：tan(α+β)=2tanα；

(2)求f(x)的表达式.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA+B=ba−csC．
(1)求角A；

(2)若b−c=4，△ABC的外接圆半径为32，试求△ABC的边BC上的高．

已知等比数列an为递增数列，a3+a4+a5=28，且a3,a4+2,a5成等差数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)若c1a1+c2a2+c3a3+⋯+cnan=n2+2n, cn=bn+1−bn,b1=a1．求bn的通项公式．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）6月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由任意角的三角函数的定义即可求解csθ的值．
【解答】
解：因为角θ以Ox为始边，终边经过点−3,4，
所以csθ=−3−32+42=−35.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力 .
【解答】
解：∵ |b→|=2|a→|，a→−b→⊥3a→+2b→，
∴ a→−b→⋅3a→+2b→=3a→2−a→⋅b→−2b→2
=−a→2−a→⋅b→=0，
∴ a→2=−a→⋅b→，
设a→与b→的夹角为θ，
csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−22.
∵ θ∈[0∘，180∘]，
∴ θ=135∘.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
弧长公式
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
设圆心为0，则由题意可得∠AOB=π3，从而可得△AOB为等边三角形，则OA=AB=12.6cm，然后利用弧长公式可求
得结果
【解答】
解：画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，设圆心为O，
依题意，OA⊥AC，OB⊥BC，且O，A，C，B四点共圆，
因为∠ACB=2π3，所以∠AOB=π3，
因为OA=OB，
所以△AOB为等边三角形，
OA=AB=12.6cm，
所以《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×π3=4.2πcm.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求出C的正弦函数值，即可得到结果．
【解答】
解：由正弦定理可得：sinC=csinBb=6×222=32，
∵ c>b，
∴ C>B，
∴ C=60∘或120∘.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列通项得到a6=4，再利用等差数列性质和求和求解即可.
【解答】
解：设等差数列an的公差为d，
由a1+4=a2+a5，
可得a1+4=a1+d+a1+4d，
∴ a1+5d=4，
即a6=4，
∴ S11=11a1+a112=11×2a62=44.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系及其判定
点到直线的距离公式
【解析】
根据题意，联立两个圆的方程可得直线AB的方程，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆O：x2+y2=9与圆O1：x−22+y−32=16 ，
即x2+y2−4x−6y−3=0，
联立可得： x2+y2=9,x2+y2−4x−6y−3=0,
可得： 2x+3y−3=0，
即AB所在直线的方程为2x+3y−3=0，
圆O:x2+y2=9 ，圆心为0,0 ，半径r=3，
圆心O到直线AB的距离d=|3|4+9=31313，
则|AB|=2×r2−d2=123913.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
由题可得|AM|+|BM|的最小值即为A到点B关于平面xOy的对称点B'的距离，点M为AB'与平面xOy的交点，计算AB′的长度即可.
【解答】
解：点A3,1,2，B−1,−2,1，点M在平面xOy上，
|AM|+|BM|的最小值即为A到点B关于平面xOy的对称点B′的距离，点M为AB′与平面xOy的交点，
因为B关于平面xOy的对称点B′的坐标为B′−1,−2,−1，
即|AM|+|BM|的最小值为|AB′|=3+12+1+22+2+12=34.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
利用三角形的面积公式结合余弦定理得到tanC=−1，即可得到答案.
【解答】
解：由题意，△ABC的面积S△ABC=c2−a2−b24=12absinC，
由余弦定理，sinC=c2−a2−b22ab=−csC,
显然C≠π2，
所以tanC=−1，
因为C为△ABC的内角，
所以C=3π4.
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
根据向量共线定理设出DC→=kAB→， k>0，然后根据向量分解，建立方程关系进行求解即可．
【解答】
解：∵ AB//CD，
∴ 设DC→=kAB→， k>0，
∵ AC→=AD→+DC→=kAB→+AD→=λAB→+μAD→，
∴ λ=k,μ=1,
∵ λ+μ=43，
∴ 1+k=43 ，
解得k=13，
∴ |CD→||AB→|=13.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的正切公式
【解析】
先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．
【解答】
解：已知α∈(π2, π)，sinα+csα=−15，
又∵ sin2α+cs2α=1，
则sinα=35,csα=−45，
则tanα=−34，
∴ tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=17.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
函数的对称性
奇偶函数图象的对称性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养．
【解答】
解：A，因为fx+π=fx，所以fx的最小正周期不是2π，故A错误；
B，因为f−x=−fx，所以fx是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；
C，因为fπ−x=−tanx+sinxcsx=−fx，所以fx的图象关于π2,0对称，故C错误；
D，因为f2π−x=−tanx+sinxcsx=−fx，所以fx的图象关于π,0对称，故D正确．
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
数列与函数最值问题
【解析】
两边同时除以anan+1 ，得1an+1−1an=1nn+1=1n−1n+1，利用累加法求出1an，最后求出nan的最小值．
【解答】
解： an−an+1=anan+1n+1n+2，
两边同时除以anan+1，得
1an+1−1an=1(n+1)n+2=1n+1−1n+2，
则1an=1an−1an−1+1an−1−1an−2+…+1a2−1a1+1a1
=1n−1n+1+1n−1−1n+…+12−13+11
=12−1n+1+1=3n+12n+2n≥2,
当n=1时，上式成立，故an=2n+23n+1, nan=2n2+2n3n+1,
设bn=2n2+2n3n+1,
则bn+1−bn=2n+12+2n+13n+1+1−2n2+2n3n+1=6n2+10n+43n+43n+1>0,
故数列bn是单调递增数列，
则当n=1时，bn即nan的最小值为1.
故选C．
二、填空题
【答案】
±2
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
利用已知条件，画出图形，通过四边形的面积，转化为点到直线的距离公式求出结果．
【解答】
解：圆C：x2+y2−2y=0的圆心0,1 ，半径是r=1，
由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC ，四边形PACB的最小面积是2，
∴ S△PBC的最小值S=1=12rd（d是切线长），
∴ d最小值=2，圆心0,1到直线的距离就是PC的最小值，
∴ 12+22=51+k2，
解得： k=±2.
故答案为：±2.
三、解答题
【答案】
解：(1)ka→−b→=k(1, 0)−(2, 1)=(k−2, −1)，
a→+2b→=(1, 0)+2(2, 1)=(5, 2)．
∵ ka→−b→与a→+2b→共线
∴ 2(k−2)−(−1)×5=0，
即2k−4+5=0，
解得k=−12．
(2)∵ A、B、C三点共线，
∴ AB→=λBC→，λ∈R，
即2a→+3b→=λ(a→+mb→)=λa→+λmb→，
又a→与b→不共线，
∴ 2=λ3=λm，
解得m=32．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】
解：(1)ka→−b→=k(1, 0)−(2, 1)=(k−2, −1)，
a→+2b→=(1, 0)+2(2, 1)=(5, 2)．
∵ ka→−b→与a→+2b→共线
∴ 2(k−2)−(−1)×5=0，
即2k−4+5=0，
解得k=−12．
(2)∵ A、B、C三点共线，
∴ AB→=λBC→，λ∈R，
即2a→+3b→=λ(a→+mb→)=λa→+λmb→，
又a→与b→不共线，
∴ 2=λ3=λm，
解得m=32．
【答案】
解：选择①②，
因为AB=AC ，AB=6 ，cs∠BAC=−13，
所以∠BAC∈π2,π， ∠B=∠C，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=96，
所以BC=46 ，sinC=sinB=1+cs∠BAC2=33．
因为∠DAC=90∘，
所以sin∠BAD=sin∠BAC−π2=−cs∠BAC=13.
在Rt△ACD中， DC=ACcsC=61−sin2C=36．
所以BD=BC−CD=6 ，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
选择①③，
因为∠DAC=90∘ ，AB=AC， AB=6，CD=36，
所以csB=csC=ACDC=63，
所以AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC，即BC=46，
所以BD=BC−CD=6 ，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
选择②③，
因为AB=AC ，cs∠BAC=−13，
所以sinC=sinB=1+cs∠BAC2=33．
因为∠DAC=90∘，CD=36，
所以AC=DC⋅csC=36×1−sin2C=6．
所以BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=46．
所以BD=BC−CD=6，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
【考点】
余弦定理
解三角形
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选择①②，
因为AB=AC ，AB=6 ，cs∠BAC=−13，
所以∠BAC∈π2,π， ∠B=∠C，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=96，
所以BC=46 ，sinC=sinB=1+cs∠BAC2=33．
因为∠DAC=90∘，
所以sin∠BAD=sin∠BAC−π2=−cs∠BAC=13.
在Rt△ACD中， DC=ACcsC=61−sin2C=36．
所以BD=BC−CD=6 ，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
选择①③，
因为∠DAC=90∘ ，AB=AC， AB=6，CD=36，
所以csB=csC=ACDC=63，
所以AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC，即BC=46，
所以BD=BC−CD=6 ，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
选择②③，
因为AB=AC ，cs∠BAC=−13，
所以sinC=sinB=1+cs∠BAC2=33．
因为∠DAC=90∘，CD=36，
所以AC=DC⋅csC=36×1−sin2C=6．
所以BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=46．
所以BD=BC−CD=6，
所以△ABD的面积为12BD×AB×sinB=32.
【答案】
解：(1)fx=3sinxcsx−3cs2x+32
=32sin2x−32cs2x
=3sin2x−π6，
令2x−π6=kπ+π2k∈Z，
解得：x=kπ2+π3k∈Z，
即函数y=fx的对称轴方程为x=kπ2+π3k∈Z.
2当x∈0,3π4时，2x−π6∈−π6,4π3，
∴ sin2x−π6∈−32,1
∴ 3sin2x−π6∈−32,3 ，
即y=fx的值域为−32,3.
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
平面向量数量积
正弦函数的对称性
三角函数的最值
正弦函数的单调性
【解析】
1先化简函数的解析式，再利用正弦函数性质求解即可；
2当x∈0,3π4时，2x−π6∈−π6,4π3，利用正弦函数的性质求值域即可.
【解答】
解：(1)fx=3sinxcsx−3cs2x+32
=32sin2x−32cs2x
=3sin2x−π6，
令2x−π6=kπ+π2k∈Z，
解得：x=kπ2+π3k∈Z，
即函数y=fx的对称轴方程为x=kπ2+π3k∈Z.
2当x∈0,3π4时，2x−π6∈−π6,4π3，
∴ sin2x−π6∈−32,1
∴ 3sin2x−π6∈−32,3 ，
即y=fx的值域为−32,3.
【答案】
(1)证明：∵ sin(2α+β)=3sinβ，
∴ sin(α+β+α)=3sin(α+β−α)，
∴ sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα=3sin(α+β)csα−3cs(α+β)sinα，
∴ sin(α+β)csα=2 cs(α+β)sinα，
∴ tan(α+β)=2tanα．
(2)解：设tanα=x，tanβ=y，
由(1)可得x+y1−xy=2x，∴ y=x1+2x2，
即f(x)=x1+2x2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正切公式
【解析】
（1）利用两角和差的正弦公式把sin(α+β+α)=3sin(α+β−α) 展开、移项化简可得sin(α+β)csα=2 cs(α+β)sinα，
再利用同角三角函数的基本关系可证得tan(α+β)=2tanα．
（2）把tan(α+β)=2tanα 利用两角和的正切公式 展开可得x+y1−xy=2x，即y=x1+2x2．
【解答】
(1)证明：∵ sin(2α+β)=3sinβ，
∴ sin(α+β+α)=3sin(α+β−α)，
∴ sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα=3sin(α+β)csα−3cs(α+β)sinα，
∴ sin(α+β)csα=2 cs(α+β)sinα，
∴ tan(α+β)=2tanα．
(2)解：设tanα=x，tanβ=y，
由(1)可得x+y1−xy=2x，∴ y=x1+2x2，
即f(x)=x1+2x2．
【答案】
解：(1)由sinA+B=ba−csC，
得sinC+csC=ba，即asinC+acsC=b，
由正弦定理，
得sinAsinC+sinAcsC=sinB
=sinAcsC+sinCcsA，
即sinAsinC=sinCcsA，
又sinC≠0，所以sinA=csA，即tanA=1，
又0(2)由正弦定理，得a=62sinπ4=6，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA
=b−c2+2−2bc=36，
所以bc=102+2，
设△ABC的BC边上的高为ℎ，
因为△ABC的面积S=12bcsinA=12aℎ，
所以△ABC的边BC上的高 ℎ=bcsinAa=102+2×226
=52+13．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由sinA+B=ba−csC，
得sinC+csC=ba，即asinC+acsC=b，
由正弦定理，
得sinAsinC+sinAcsC=sinB
=sinAcsC+sinCcsA，
即sinAsinC=sinCcsA，
又sinC≠0，所以sinA=csA，即tanA=1，
又0(2)由正弦定理，得a=62sinπ4=6，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA
=b−c2+2−2bc=36，
所以bc=102+2，
设△ABC的BC边上的高为ℎ，
因为△ABC的面积S=12bcsinA=12aℎ，
所以△ABC的边BC上的高 ℎ=bcsinAa=102+2×226
=52+13．
【答案】
解：(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4，
所以a3+a4+a5=3a4+4=28，解得a4=8，
由a3+a5=20，得8q+1q=20，解得q=2或q=12.
因为q>1，所以q=2,an=a4qn−4=2n−1.
(2)设Bn=cnan=bn+1−bnan，数列Bn的前n项和为Sn
则Sn=c1a1+c2a2+c3a3⋯+cnan=n2+2n,
由Bn=S1, n=1,Sn−Sn−1, n≥2,解得Bn=2n+1n≥2，
验证n=1也适合， Bn=2n+1,
由（1）知an=2n−1，所以bn+1−bn=2n+1⋅12n−1,
故bn−bn−1=2n−1⋅12n−2n≥2.
bn−b1=bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b3−b2+b2−b1,
=2n−1⋅12n−2+2n−3⋅12n−3+…+5⋅12+3,
设Tn=3+5⋅12+7⋅122+…+2n−1⋅12n−2n≥2,
则 12Tn=3⋅12+5⋅122+⋯+2n−3⋅12n−2+2n−1⋅12n−1,
所以12Tn=3+2⋅12+2⋅122+⋯+2⋅12n−2−2n−1⋅12n−1,
=3+21−12n−2−2n−1⋅12n−1=5−2n+32n−1,
因此Tn=10−2n+3⋅12n−2,n≥2,
又b1=1，所以 bn=11−2n+3⋅12n−2,n≥2,
经检验，当n=1时， bn也成立，故bn=11−2n+3⋅12n−2n∈N∗.
【考点】
等差中项
等比数列的通项公式
数列的求和
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4，
所以a3+a4+a5=3a4+4=28，解得a4=8，
由a3+a5=20，得8q+1q=20，解得q=2或q=12.
因为q>1，所以q=2,an=a4qn−4=2n−1.
(2)设Bn=cnan=bn+1−bnan，数列Bn的前n项和为Sn
则Sn=c1a1+c2a2+c3a3⋯+cnan=n2+2n,
由Bn=S1, n=1,Sn−Sn−1, n≥2,解得Bn=2n+1n≥2，
验证n=1也适合， Bn=2n+1,
由（1）知an=2n−1，所以bn+1−bn=2n+1⋅12n−1,
故bn−bn−1=2n−1⋅12n−2n≥2.
bn−b1=bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b3−b2+b2−b1,
=2n−1⋅12n−2+2n−3⋅12n−3+…+5⋅12+3,
设Tn=3+5⋅12+7⋅122+…+2n−1⋅12n−2n≥2,
则 12Tn=3⋅12+5⋅122+⋯+2n−3⋅12n−2+2n−1⋅12n−1,
所以12Tn=3+2⋅12+2⋅122+⋯+2⋅12n−2−2n−1⋅12n−1,
=3+21−12n−2−2n−1⋅12n−1=5−2n+32n−1,
因此Tn=10−2n+3⋅12n−2,n≥2,
又b1=1，所以 bn=11−2n+3⋅12n−2,n≥2,
经检验，当n=1时， bn也成立，故bn=11−2n+3⋅12n−2n∈N∗.