2020-2021学年广西省贺州市高二（上）10月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西省贺州市高二（上）10月月考数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在等差数列an中，a2=0，a3=4，则d=( )
A.1B.4C.2D.8

2. 已知an是等差数列，且a1+a4=15，则a2+a3的值是( )
A.20B.15C.10D.5

3. 数列2，43，85，167，329…的一个通项公式an等于( )
A.2n2n−1B.2nn C.2n2n−1D.2n2n+1

4. 若sin3π2+α=35，则csα=( )
A.−45B.−35C.45D.35

5. 若sinθ=14，则cs2θ=( )
A.78B.1516C.−1516D.−78

6. 已知tanθ=2，求sinθ+csθ2sinθ=( )
A.12B.1C.14D.34

7. 已知a→，b→均为单位向量，若|2a→−b→|=3，则a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π3C.π2D.2π3

8. 数列{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=3n+22n，则a7b7=( )
A.4126B.2314C.117D.116

9. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a8=m，S10=pm，则p=( )
A.3B.5C.6D.10

10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a7=24，S6=48，则{an}的公差为( )
A.8B.4C.2D.1

11. 如图，在△ABC中，AN→=12AC→，P是BN的中点，若AP→=mAB→+14AC→，则实数m的值是( )

A.14B.1C.12D.32

12. 已知函数fx=Asinωx+φ(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )

A.−3B.−1C.1D.3
二、填空题

实数3，7的等差中项是________．

已知向量a→=(2, 1)，b→=(x, −2)，若a→//b→，则x=________．

已知点P4,3是角α终边上一点，则csα的值是________.

数列{an}中，满足2an+1−an=0，且a2=12，则a4=________．
三、解答题

数列{an}的前n项和Sn=33n−n2，求{an}的通项公式.

设等差数列{an}满足a3=−9，a10=5．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值．

已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．
(1)求两个球中恰有一个黑球的概率；

(2)求两个球中至少有一个黑球的概率．

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)若PD=2，直线∠DBP=45∘，求四棱锥P−ABCD的体积．

已知等差数列an中， a1=1，Sn为其前n项和，且S5=3a5.
(1)求an的通项公式；

(2)求数列1an⋅an+1的前n项和Tn．

已知：a→=(2csx, sinx)，b→=(3csx, 2csx)，设函数f(x)=a→⋅b→−3(x∈R).
求：
(1)f(x)的最小正周期；

(2)当x取何值时，f(x)有最大值，最大值是多少.
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贺州市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
先求出公差d,再应用等差数列通项公式即可得出结果.
【解答】
解：∵ 在等差数列an中，a2=0，a3=4，
∴ 公差d=a3−a2=4−0=4.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ an是等差数列，a1+a4=15，
∴ a2+a3=a1+a4=15．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
观察该数列的前四项，知分子都是1，分母2，4，6，8…是偶数，由此可知an=12n．
【解答】
解：∵ a1=2=212×1−1，
a2=43=222×2−1，
a3=85=232×3−1，
a4=167=242×4−1，
a5=329=252×5−1，…
∴ an=2n2n−1.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
利用sin3π2+α=−csα直接求解即可.
【解答】
解：∵ sin3π2+α=35，
∴ −csα=35，
∴ csα=−35.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：cs2θ=1−2sin2θ=1−18=78．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
将sinθ+csθ2sinθ的分子分母同除以csθ，然后将tanθ=2代入即可求解.
【解答】
解：∵ tanθ=2，
∴ sinθ+csθ2sinθ=tanθ+12tanθ=34.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积
【解析】
设向量a→与b→的夹角为θ，把已知式子平方，代入已知数据可得csθ的方程，解得结合θ的范围可得．
【解答】
解：设向量a→与b→的夹角为θ，
∵ |2a→−b→|=3，
∴ 4a→2−4a→⋅b→+b→2=3，
∴ 4−4csθ+1=3，解得：csθ=12，
∵ θ∈[0,π]，
∴ θ=π3.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简a7b7，结合条件求出答案即可．
【解答】
解：因为{an}，{bn}为等差数列，且SnTn=3n+22n，
所以a7b7=2a72b7=a1+a13b1+b13=13(a1+a13)213(b1+b13)2=S13T13=3×13+22×13=4126.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的性质可得a3+a8=a1+a10，再利用等差数列的求和公式求解.
【解答】
解：因为数列an为等差数列，
所以a3+a8=a1+a10，
所以S10=10a1+a102=10a3+a82=5m=pm，
解得：p=5.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
【解答】
解：∵ Sn为等差数列{an}的前n项和，
a4+a7=24，S6=48，
∴ a1+3d+a1+6d=24，6a1+6×52d=48，
解得a1=3，d=2，
∴ {an}的公差为2．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ P,N分别是BN,AC的中点，
∴AP→=AB→+BP→=AB→+12BN→=AB→+12AN→−AB→
=12AB→+12AN→=12AB→+14AC→
又AP→=mAB→+14AC→，∴m=12 .
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据函数的部分图象求出函数解析式fx=2sinπx+5π6，即可求解f1=2sinπ+5π6=−1．
【解答】
解：由图可知，A=2， 12T=23−−13=1，
∴ T=2，ω=2π2=π,
∴ f23=2sinπ×23+φ=−2.
∵ 0<φ<π，
∴ φ=5π6，
∴ fx=2sinπx+5π6，
∴ f1=2sinπ+5π6=−1.
故选B．
二、填空题
【答案】
5
【考点】
等差中项
【解析】
由题意利用等差中项的定义，求得结果．
【解答】
解：实数3，7的等差中项为 3+72=5.
故答案为：5.
【答案】
−4
【考点】
平行向量的性质
【解析】
直接利用向量共线的坐标表示列式求解．
【解答】
解：∵ a→=(2, 1)，b→=(x, −2)，
由a→//b→，得2×(−2)−x=0，
解得x=−4．
故答案为：−4．
【答案】
45
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
直接利用三角函数的定义得到答案．
【解答】
解：点P4,3是角α终边上一点，
则 csα=432+42=45.
故答案为： 45.
【答案】
18
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
【解析】
推导出数列{an}是公比为12的等比数列，由此由a2=12，能求出a4．
【解答】
解：∵ 数列{an}中，满足2an+1−an=0，
∴ an+1an=12，
∴ 数列{an}是公比为12的等比数列，
∵ a2=12，
∴ a4=a2q2=12×(12)2=18．
故答案为：18.
三、解答题
【答案】
解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n=1时，a1=S1=32=34−2×1，
满足an=34−2n，
故数列{an}的通项公式为an=34−2n.
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝34−2n，验证当n＝1时，也满足，于是可求得{an}的通项公式为an＝34−2n，利用等差数列的定义证明即可；
【解答】
解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n=1时，a1=S1=32=34−2×1，
满足an=34−2n，
故数列{an}的通项公式为an=34−2n.
【答案】
解：(1)d=a10−a310−3=2，
∴ a1=a3−2d=−9−4=−13，
∴ an=−13+(n−1)×2=2n−15.
(2)Sn=n(−13+2n−15)2=n2−14n(n∈N∗).
由于Sn=n2−14n(n∈N∗)是二次函数，
∴ 当n=7时，Sn取得最小值．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）求出首项，公差，再求an，
（2）先求Sn，再根据二次函数性质计算最小值．
【解答】
解：(1)d=a10−a310−3=2，
∴ a1=a3−2d=−9−4=−13，
∴ an=−13+(n−1)×2=2n−15.
(2)Sn=n(−13+2n−15)2=n2−14n(n∈N∗).
由于Sn=n2−14n(n∈N∗)是二次函数，
∴ 当n=7时，Sn取得最小值．
【答案】
解：(1)解：从5个球中摸出两个球的基本事件有
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),
(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)，共10种可能．
记“两个球中恰有一个黑球”为事件M，
则事件M包含的基本事件有6个，分别为：
(A, a)，(A, b)，(B, a)，(B, b)，(C, a)，(C, b)，
∴ 两个球中恰有一个黑球的概率P(M)=610=35．
(2)设“两个球中至少有一个黑球”为事件N，
则事件N的对立事件N¯为“两个球中没有黑球”，
事件N¯包含的基本事件有：(a, b)，只有1个，
∴ 两个球中至少有一个黑球的概率：
P(N)=1−P(N¯)
=1−110=910．
【考点】
对立事件的概率公式及运用
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)解：从5个球中摸出两个球的基本事件有
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),
(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)，共10种可能．
记“两个球中恰有一个黑球”为事件M，
则事件M包含的基本事件有6个，分别为：
(A, a)，(A, b)，(B, a)，(B, b)，(C, a)，(C, b)，
∴ 两个球中恰有一个黑球的概率P(M)=610=35．
(2)设“两个球中至少有一个黑球”为事件N，
则事件N的对立事件N¯为“两个球中没有黑球”，
事件N¯包含的基本事件有：(a, b)，只有1个，
∴ 两个球中至少有一个黑球的概率：
P(N)=1−P(N¯)
=1−110=910．
【答案】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为∠DBP=45∘，PD⊥平面ABCD，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为∠DBP=45∘，PD⊥平面ABCD，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【答案】
解：(1)∵ S5=3a5，a1=1，
∴ 5×1+5×42d=31+4d
解得d=1 .
∴ an=1+n−1×1=n(n∈N+)，
即等差数列{an}的通项公式an=n(n∈N+)．
(2)Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1anan+1
=11×2+12×3+13×4+⋯+1nn−1
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1(n∈N+).
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ S5=3a5，a1=1，
∴ 5×1+5×42d=31+4d
解得d=1 .
∴ an=1+n−1×1=n(n∈N+)，
即等差数列{an}的通项公式an=n(n∈N+)．
(2)Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1anan+1
=11×2+12×3+13×4+⋯+1nn−1
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1(n∈N+).
【答案】
解：(1)∵ a→=(2csx, sinx)，b→=(3csx, 2csx)，
∴ 函数f(x)=a→⋅b→−3
=23cs2x+2sinxcsx−3
=sin2x+3(2cs2x−1)
=sin2x+3cs2x
=2sin(2x+π3).
∴ f(x)=2sin(2x+π3)(x∈R)，
∵ T=2π2=π，
∴ f(x)的最小正周期π.
(2)∵ −1≤sin(2x+π3)≤1，
∴ 当sin(2x+π3)=1时，函数有最大值2，
此时，2x+π3=π2+2kπ，k∈Z，
∴ x=π12+kπ，k∈Z，
∴ f(x)的最大值为2，取得最大值时x值为x=π12+kπ，k∈Z.
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
平面向量数量积的运算
正弦函数的定义域和值域
三角函数的周期性及其求法
【解析】
(1)首先，化简函数解析式：f(x)=2sin(2x+π3)，然后，利用周期公式进行求解；
(2)直接根据正弦函数的最值进行求解；
【解答】
解：(1)∵ a→=(2csx, sinx)，b→=(3csx, 2csx)，
∴ 函数f(x)=a→⋅b→−3
=23cs2x+2sinxcsx−3
=sin2x+3(2cs2x−1)
=sin2x+3cs2x
=2sin(2x+π3).
∴ f(x)=2sin(2x+π3)(x∈R)，
∵ T=2π2=π，
∴ f(x)的最小正周期π.
(2)∵ −1≤sin(2x+π3)≤1，
∴ 当sin(2x+π3)=1时，函数有最大值2，
此时，2x+π3=π2+2kπ，k∈Z，
∴ x=π12+kπ，k∈Z，
∴ f(x)的最大值为2，取得最大值时x值为x=π12+kπ，k∈Z.